·69696444496969636464645446464646464645
THE
PRINCESS OF WALES
SARASVATI BHAVANA
UCUCUCUCL
No. 80
PuCNCRCUÇUCUCUCULUCULULLLLLLEUCLÇUCCULULL
(PART I )
EDITED
CUCLCLL
BY
Dr. MANGAL DEVA SHASTRI,
M. A., D, PILIL. (Oxon.),
PRINCIPAL,
Govt. SANSKRIT COLLEGE, BENARES
THE
VEUPLDUZUCUPUCUCUPU2UcUCIL
CUCUCURUCUCUCUCLCUCUCULUQueLCUCUCI
CHALARASIKALANA
(PART I)
UCUCURUCUCU
Whype
Printed by
M, V, Paradkar
Inanamandal Yantralaya, Benares City
L2UZUCULULUCULUCUCUCURL
1941.
CUC
46469
$$46969644464%.

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·म० म० सुधाकरद्विवेदिविरचितं
चलराशिकलनम्
DAY
चतुरध्यायात्मकः प्रथमो भाग:
TIME
CHALARASIKALANA
BY
M. M SUDHĀKARA DVIVEDI
( PART I)
EDITED
BY
Pt. BALDEVA MISHRA
Jyautishacharya Jyautislı Tırth
SARASVATI BHAVANA
BENARES.
RASEANIPATEMEmaintamansaan
1941.

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·PRIFACE, A SUFFICIENT account has been alıeady given in the preface of my Differential Calculus* of the giailual development of Differential and Integial Calculus in Europe, and also in whose mind the notion of this cience first aiose in India Therefore, here I only wish to say that the learned public inay not think it to be a meie translation or an abstract of some European book, but as a new treatise on the subject I have shown, as far as possible, all the important theoiems together with numerous examples, so that the students may be able to grasp the methods thoroughly and thereby solve problems without the least doubt Many new methods are described in different portions of this book, which will be found simple than those of Europeans For instance, Mi Todhunter in his Integral Calculus, article 11, for the integration of assumed ✓ Ha? The aine ussumption was w? I a? described by M. Williamson, Mi Hymers putting i tre into the form WE al fine + w p I a?) deduced the integral p + jam ta? Professor De Morgan worked thus Let? Er y, then ? Ea? 19. 2 il y or liter il Therefore, irrt yili = yil y + y alr, y (dy tida) by substituting er ty y (1l y tair) do + = Log (i + y) = Log (7" + 12 + 14"), ở (x + y) rty FOTO t 0 PER 9 WA Professor De Morgan dcduced a “ccond method of employing an imaginary yantity, thus Sta; also, by 1 -Sta-um=T==S il-1 (1/1) Nant a ܚܚܝܨ 1 w Sin 17 But by De Moiver's Theorem Cos 8 - Sın 8 -1 = 7cm-1 Named Chalana-Kalan, which is dedicated to His Honor Sir Alfred Lyall, K OB, CI, E late Lieutenant-Govornoi of the North-Western Provinces and Chief Commissioner of Oudh, and published by the order of Goverment in 1886 Extricts from newspapers and journals A ·w 01-07 Log ( l'os - Sm8-1) A HINDI TREATISE ON THE DIFFERENTIAL CALCULUS OPINIONS OF THE PRESS It has long been iegretted that, notwitnstanding the vist amount of tution coustantly given in India anl the undoubted intelligence of the people, that country We have to go has contuluted nothing to the general stock of suentihu knowledge back a thousand years to reach at penud ot mdependent scientific resonch, and from that remote time to these ad perod of intellectual stagnation appears to have supervened At last thit ieplourli has been removel, for a sholat his wise with sulticient mental force to grasp the lugliest problems of both Western and Eastern science, and with sufficient ouginality to weare the two together into an hurm lous systein), while criticising and improving on both The book to which we do now calling attention is therefore, diem kable one, and calls for special notice as the first lonward stop which ludia licis made m this department of stuly for centuries But the chief point to note in the book is that it is written in the Hindi language, which not only aftords another demonstration of the mc.easing prominence which that language is attaining, but enables the book to give to thousands of Indian mathematicians who are unfamiliar with tho English language the means of Callying then studies to a very high pont This is a most important fact, because it is well known that a scientist is not often at the same time a linguist, still loss is it given to niortals to gain such power over a foreign language is to permit them not only to acquire what that forcign language has to teach, but to cally on independent research beyond that point The work before us icmoves that obstacle by presenting to Indian scholuis in their own vernacular the highest facts of Western science The author has futhier more, had the judgment to unite with those luits the really conect ProSeych tlncient Indian mathematicians, and, in this w.ly, he ghults on to the Indian mind this additional knowlege of Europe To do this, it is cleau loc ll lo vugale processes uf his own, for, in « subicct like the Villaientual Calculus, lesting on the 1116 et 114Cri mination oi tho rosoning troully, meie turistatus of the ideas of one [iculoles into the language of another pouple would have been suply futile The uthor has proved himself to possess a masterly knowledge of mathematics hy tlo skill with which he has transfused-- not translated-- European ideas into Indian language, and there can be no doubt that his valuable work will give a real impetus to original scientiile rescuch among his countıynien It is not generally known tliat the old Indian mathematician Bhaskidcharya, su long ago us A D 1150 had deviseil a melhod ol calculation practically identical with the Differential Calculus, and the term tathalihiguti, which he applied lu the inciement he used, has much the sumo significance as that employed in tbe Differential Calculus He was right in his method, but wiong in his proof, und lus aucillacy 19 scen by the fact that he was able to demonstrate that when . Variable attains the Inaximum value its diflerential vanishes, and that when it planet is either in apogee or in perigee the equation of contie vanishes Ho was aware that the increment vanishes in some intermediate position, and from this the principle of continuous function follows in due course, which is the basis of the proof of Taylor's thcorem **Chalan.-Kalana" by Pandit Sudlokrila Devivedi Benares. Lazarus dort Co., 1886 ·( 3 ) 1 Ist sm 8 = 1; /=T, Cono -rí to -/-- 급 Log { -1?} = Log(*+^x=+ 7* Sin 1 1 - 1 W or Sın 10 Log /1+ 72 2 a' W (1 where we omit the constant quantity Log The learned Pandit makes use of these and other facts to interweave Western with Eastern science, and to lead bis couutiy-men to move onward from the basis of truth they alcady possess Pandit Sudhakara Dvivedi has done something to advance scientific knowledge in India, und it is to be hoped that he will be cncouraged to redeem his promise and complete seues of work on Analytical Geometry, tho Integral Calculus, and Quaternions The Indian Gorernment would do wisely by an culatiog this admuable book among the nativo students at colleges, and especially mong private students in the Hindi area of Northern Inilla -lhe Overland Murl, Feb 4, 1887 A REALLY Iemarkable book on the differential Calculus has just been published at Benales, which ought to be made known to Europe It is called Chalana Kalana, and it is written by Pandit Sudhakara Dviyedı, of the Sanskrit College, Benares It is the first forward step that India has made in independent scientific research in modern times, and the author deserves the highest praise for the masterly manner in wbich he has dealt with his difficult subject IIe has placed it in the power of Indian niathematicians to carry their studies to a very high point in their pative Hindi, and he has done this not by merely translating an English mathematical work, but by writing an entirely new treatise, deduced from the discoveries of Descartes, Newton, Leibratz, Bhaskaracharya and others The methods of these authonities are transfused into Indian processes, thereby onabling native scholars to follow Western methods and reasoning with confidence and intelligence He utilisest method of dealing with variables, devised by Bhaskarachary., which 19 practically identical with that of the differential calculus, and he cites other correct processes which that admirable old astronomer was able to formulate In this skilful way the author grafts Western science on to the Indian mind, while, in the general plan of his work, he follows Todhunter's well-known tieatise Originality is likewise shown by the author's simplification of Todhunter's method of tieating vanishing fractions ; and in the sections he has appended on analytical geometry and conic sections-addıtions rendered necessary by the fact that no treatise on them exists in the Hindi language The Pandit promises a series of works on the higher branches of mathematics, dealing fully with analytical geometry, the integral calculus, and quaternions He has shown in the present work that he thoroughly understands his subject, and it is to be hoped, for the advancement of science, that he will succeed in directing the acute reasoning powers of Indians to the mathematical and scientific problems of the Western world ---The Academy Feb 12, 1887. FP In view of the aptitude for numerical calculation which the Hindus are acknowledged to possess in a marked degree, it seens singular that India, in modern days, ·All the above aumptions that are descubril by the mathematicians can hardly be apprehended unles, it is nown that = Log ( 17) mi? Bu Therefore I have descubeil a new methoil in article !! tulee Let = log14 +/61? where I in a functwn of r; here the form of t() is to be found. By differentiating the above equation with respect to? l' (dit du (1) + ../(2) diy=f:1) l'unity! Dity By transposing f(241- (1)ily=+(1) di-ily = 1 (W)/'(...) diye 1 (2)/(x-urile By clivision dr 12-dy fa tut'IL) - and specially during the period in which it has been subject to the English, with their free-handed educational encouragement, should have contributed so little to the development of mathematical science It was not destined, however, that Bhaskalacharya, Brahmagupta, and their compears of ages for remote should he wholly without the nineteonth century successos Ramachandra, a native of Delhi, besides translating numcious works on mathematics, inoluling the highei, from English into Urdu produced, a generation ago, at least one work in the same language, distingushed by socredited originality Roter once is here intencil to luis Problems of Maxima and Minima,' the second odition of which, pretocol by the late Irof De Morgan, was pullished in London m 1459, under the 115pices of the Court of Directors, who signified their appreciation of illiy mesenting its author with €200, iter their liberal fashion And now we hureloannounce the pjelance last yell, oli kindred treatise, but one of much ample scope, 'Chulanakanel,' bouing the alternative title of "A Hindi Treatise on the Difterential Calculug" This admirably printeil volume, extending to nearly 500 pages, has for its authoi Pandit Sudhakara Dvivedi, Librarian of the Sanskrit College at Benales The learned Pandit, already tvourably known as a mathematician by what he has written, in Sanskrit, on the properties of the ellipse, lays claim to the introduction of many new methods, over and above demonstrating the validity of a certain method which had previously been pronounced unsound. In an English preface, abounding with interesting facts and cutieisms, he gives it as his opinion that Bhaskaracharya, who, though he flourished in the twelfth century, is supposed to have been indebted for nothing to European sources, "was in no way inferior to Archimedes, in respect of his methods of differential calculus." As the Pan lit expresses himself with perfect clearness in our language, it is due to his leputation that he should render into it those portions of his treatise in which, as he alleges, he has improved on what has been accomplished by his predecessors--Mr Todhunter and Mr IIall, in particular -The Nation Feb 10, 1887, ·( 5 ) 19- Site sont .. 2 M. st of f(2) f (2) = 2, da-dy 1 e. Log (x - ) – Log {1(1)+y} - y +(r) 2-f(c) and :: x-y=1(a) of y or 4 Log {f(2)+y 2 f(x) f (x) ti = Log f(x) + 22 where the constant Log 2 is omitted. Thus a theorem has been framed that when y (x,xf (C)=r then dr f (2) In f(1) = PER WX+Q T t" (.2) = Voto and f (") t' (r) =.= dc 17 f (a:) Nata DAVO Log f () + x Log W1+q?+2), by my method. In like manner many other new methods have been described. I have added many important theorems with numerous interesting examples regarding the Calculus of Variation and Dynamics of a Particle at the end of this book, It is advisable for the beginners first to read carefully the Differential Calculus, then to begin the Integral Calenlus, otherwise it is impossible for them to understand the latter In conclusion, I earnestly request all leained gentlemen to understand, that the book is not witten to show off talent, but to encourage and incite our own country men towards the cultivation of Western science. Why shoull we not improve our own language and advance our countıymen with the aid of Western science to the attainment of which we are applying our heart and soul ? Now-a-days there being more mutual communication between Europeans and Indians, the Europeans are very much interested in the study of Sanskrit and Hindı. Therefore this treatise will be also useful to those Europeans who are interested in the history and development of Indian Mathematics. I shall consider my labour not to have been in vain, even if my treatise should have no other result than to incite others to criticise my work and to produce more perfect tieatises on the subject. SUDHÁKARA DVÎVEDI Ovn

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·किञ्चिन्निवेदनम वाराणसेयराजकीयसंस्कृतपरीक्षायां गणितपरीक्षापाठ्यग्रन्थेषु गुरुवर म. म. सुधाकरद्विवेदिनश्चलराशिकलनस्य निर्धारणं जातम् । १९९५ ईशवीये वर्षे राजकीया- ज्ञया मुद्रितस्यास्य ग्रन्धरत्नस्यालभ्यत्वेन पुनर्मुद्रणस्यावश्यकत्वात् सरस्वतीभवनसिरी- जाध्यक्षस्तत्रैवास्य मुद्रणं समाज्ञप्तम् । गणितविपये प्रतिदिनं समुन्नतिदृश्यते, अतः १९९५ ईशवीये मुद्रिते पुस्तके या शैली स्वीकृता तत्रेदानी बहुत्र परिवर्तनं जातम् । तथापि परमविद्वद्भिर्महामहोपाध्यायैः स्वीकृतां शैली परिरक्ष्यैवास्य मुद्रणं संपादितम् । ग्रन्थान्ते प्राचीननवीनपरिपाट्योर्भेदं ग्रन्थग्रन्धिमोचनं च यथामति प्रदर्शयिष्ये । अतिशीघ्रतया संमुद्रितेऽस्मिन् दृष्टिदोषात्कण्टकदोषाद्वा यदि कुत्रापि त्रुटिः संलक्षिता भवे- तत्कृपया क्षमणीयोल्लेख्या च कृपालुभिर्विद्वद्भिः। अत्र हृद्यतः काशिकराजकीयसंस्कृत महाविद्यालयाध्यक्षेभ्यः परमविद्यारसिकेभ्यो विद्वद्वरेभ्यो डा० श्रीमङ्गलदेवशास्त्रिवर्येभ्यो धन्यवादान वितरामि येषां कृपालवेनैवेदानी गणितशास्त्रस्याभ्युदयो दृश्यते संस्कृत- विद्याजगति । इति निवेदयते बलदेव मिश्रः

·विषयसूचनिका (Contents)
maratapgNDApnbiansensonam
अध्याय
पृष्ठ
१
न
१-चलराशिकलन का अभिप्राय और साधारण चलानयन
२-अकरणीगत भिन्न संबन्ध का चलानयन
( Rational Fraction )
३-लघुकरण परम्परा ( Formulac of Reduction )
४-प्रकीर्णक ( Miscellaneous Remarks )
}
८२ -१०६
१०७ -१४४

·भूमिका। चलनकलन ( Differential calculus ) की भूमिका में विशेष रूप से लिन आये हैं कि यूरप में यह विद्या कैसे फैली और भारतवर्ष में सब से पहले किस विद्वान् के ग्रन्थ में चलनकलन ( Differential Calculus) और चलराशिकलन ( Integral Calculus ) संवन्धी सिद्धान्त पाये जाते हैं। यहां पर इतना ही आवश्यक समझ कर लिखा जाता है कि विद्वान् लोग यह न समझे कि यह ग्रन्थ किसी अङ्गरेज़ी अन्थ का अनुवाद और संक्षिप्त रूप है किन्तु जिसमें पढ़ने वालों को सब सिद्धान्तों से भली भांति परिचय हो जाय और उदाहरणों के उत्तर निकालने में संशय न हो इस लिये इसमें थोड़ा बहुत जहां तक हो सका हैचलराशिकलन (Integral Calculus) संबन्धी सभी सिद्धान्तों को उदाहरण समेत यूरप की युक्ति और अपनी कल्पना के बल से नूतन लघु प्रकार से दिखलाया है। जैसे यश इसकी सिद्धि के लिये टाडहण्टर (Todhunter ) साहब और विलियम्सन (Williamson ) साहब ने य+अ = लय, यह कल्पना किया। हाइमर्स ( Hymers ) ले । य+ य) (+/यअ ऐसा कर तब चलराशि को सिद्ध य+/य किया । प्रोफेसर डिमार्गन ( Demorgan) ने पहले / य+अ = र त्य य+अ = र..२य ताय = २र तार वा यताय = रतार इस लिये यताय + रताय र (तार+ताय) = र तार+र ताय ..ताय = AR इसका उत्थापन देने से र (तार + ताय) ताय+तार य र (य+र) = ला (य+र) य+स् प्रोफेसर डिमार्गन (Demorgan) ने असंभव संख्या का भी उत्थापन ताय इस का मान इस प्रकार से सिद्ध किया है कि य+अरे ·२ १ HINARISonf TERRORIEO -१ e- सकती जब तक यह ज्ञान न हो किया चलराशिकलन । ताय ताया। -१ य+अ V अ--(या -१) । अ-(य-१) य ज्या परन्तु डेमाइवर के सिद्धान्त से कोज्याष-ज्यापा/-१% इ -पर -१ वा,-ष/-१ = ला (कोज्याष-ज्याषा -१) कल्पना करो कि 'य/- V-१, कोज्याप = TV १+ अग वा, -श्य। -१ ला(१ -१ = ला (/ अ + य+य)-ला अ स्थिराङ्क को निकाल देने से पहिले ही के ऐसा फल उत्पन्न हुआ। ऊपर जितनी युक्तियाँ दिखलाई गई हैं वे कभी मन में नहीं आ ला(/ य+अ+य) -- १ २ aa १ mom- - - ज्या अ(-१))२ अ - DARBA भाग ताय-तार ताय लिये यहाँ पर हमने नया यह प्रकार ९वें प्रक्रम में लिखा कि कल्पना करो कि काय = ला फ(य)+र } जहां र, य का कोई फल - फे(य)ताय + तार है तो तात्कालिक गति से ताय फ(य)ताय + तायर फ(य) फ(य)+र = (य)ताय फ(य) + तार फ(य) पक्षान्तरानयन और परस्पर देने से फ(य)फ(य)-र- फ(य) अब यहाँ यदि फ(य)फ(य) = य तो 'ताय-तार फ(य) फ(य) वा ला(य-र) = ला { फ(य)+ र } '.य- रफ(य)+र र -य-फ(य) और फ( य ) + र = य+फ(य) ताय-तार ताय . ताय - - mom .

·भूमिका। ताय इसलिये = ला(य+ फ(य) फ (य) = ला { य+क(य)}-ला २ ला २ स्थिराङ्क को निकाल देने से ના ताय = ला ! य+ फ(य) , यह एक सिद्धान्त उत्पन्न हुआ अर्थात् काय फ(य) इसका मान अवश्य ला {य + फ(य)} इसके तुल्य होगा यदि फ(य)फ(य) हो तो। गणितज्ञों के बीच स्पष्ट है कि मेरा प्रकार एक प्रकार का सिद्धान्त है जो कि नियम से दिस्वलाता है कि जहाँ जहाँ फ(य) (य) = य ऐसा होगा तहाँ तहाँ ही चलराशि का मान ला य+ फ(य)} यह होगा। इसी प्रकार इस ग्रन्थ में बहुत नई युक्तियाँ दिखलाई गई हैं। इस के अन्त में बैशेषिकलन ( Calculus of variations ) और एक परमाणु की गतिविद्या ( Dynamics of a pa1 ticle) के भी अनेक सिद्धान्त लिखे गये हैं जिनके बल से अनेक चमत्कृत उदाहरण के उत्तर सहज में निकल आते हैं। विद्यार्थियों के अभ्यास के लिये इसमें अनेक उदाहरण लिखे गये हैं जिनके अभ्यास से सब सिद्धान्तों से भली भाँति परिचय हो सकता है। विद्यार्थियों को चाहिये कि पहले चलनकलन (Differential Calculus) को अच्छी तरह से सीखकर तब इसको पढ़ें अन्यथा इसका आना अत्यन्त दुर्घट है। अन्त में विद्वानों से यह सविनय प्रार्थना है कि मैंने अपनी पाण्डित्य दिखलाने के लिये इस ग्रन्थ को नहीं बनाया है किन्तु अपने देशवासियों के हृदय में यूरोप की विद्या का विशेष उत्साह दिलाने के लिये कि आप लोग कठिन परिश्रम से तन धन मन देकर जो यूरोप की विद्या सीखी उससे क्यों नहीं अपनी भाषा की पुष्टि कर अपने देश भाइयों का उपकार करते। भारतवर्ष में यूरप के लोगों का अब विशेष संवन्ध होने से यूरप के विद्वान् लोग भी संस्कृत और हिन्दी की ओर विशेष ध्यान देने लगे इसलिये यूरप के लोगों को भी हिन्दी में यह नया ग्रन्थ यूरोपियन रीति से कहाँ कहाँ बिशेष वाते प्रकाश करता है इसका परिचय करने के लिये इस ग्रन्थ को पढ़ने से विशेष उपकार होगा।

·४ चलराशिकलन। यदि विद्वान् लोग खण्डन की बुद्धि से भी मेरे ग्रन्थ को एक वार आद्यन्त पढ़ेंगे तो भी मैं अपने परिश्रम को सफल समझूगा । दोहा। गणित पयोनिधि सविधि मथि काढी सुधा सुहीर । अणित सुधाकर नहिं मुधा वसुधा भधि हे धीर ॥ १ ॥ कलन परत निज कैलन सौ कैलन बिना जौं तात। कल कलन हित कॅलन देहु यहि प्रात ॥२॥ सुधाकर द्विवेदी। ४ कल न कहहु । १ कल = विश्राम, = आराम = चैन कलन - करन = कर (हाथ) का बहुबचन । ३ कलन = कलना = गणना = हिसाब करना। कल दूसरा आनेवाला दिन । कल = सुन्दर = बढ़ियाँ। ६ कलन =चलराशिकलन = यह ग्रन्थ । कलन-करन = कर्ण = कान ।

·विशेष वर्णन। अध्याय १ ॥ प्रक्रम। पृष्ठा १। चलनकलन और चलराशिकलन में सम्बन्ध २॥ क फा (य) ताय इस का अर्थ ... -२ फा(य) ताय इस का रूपान्तर ४। फा(य) ताय इस को दिखाना कि फ (य) के समान है है ३ PARAN ताय ५। चलराशिकलन का अभिप्राय ६। फ+स्थि इस में स्थिर का मान जानने के लिये प्रकार ७ । साधारण गतियों से चलानयन ८। चलानयन के स्मरण के लिये श्लोक और दोहे ८। अभ्यास होने के लिये कुछ उदाहरण इस का मान जानना जहां फ(य) फ(य) = य, फ(य) १०। खण्डचलानयन ( Integration by parts ) और उस उदाहरण ११ । दूसरे प्रकार का खण्डचलानयन १२ । चलानयन में विशेष, खण्डचलानयन का श्लोक और दोहा, व्याप्ति के लिये कुछ उदाहरण और अभ्यासार्थ प्रश्न द्वितीयाध्याय २॥ १३ । अकरणीगत भिन्नसंबन्ध का चलानयन यदि तात्कालिक अं+कय+खय+ संबन्ध ऐसा हो अ+कय+खय+ +पयन PARAN .. ...+पंयम . फ(य) १४ । यदि संवन्ध का मान (य-क.)तफा(य) ऐसा हो तो चलानयन ३६-३७ ·२॥ विशेषवर्णन। पृष्ठ। प्रक्रमा १५ लाघव से आरकार इत्यादि के कुछ उदाहरण १६ । यदि फा(य) = (य-क)न फि(य) यदि ऐसा हो तो चलानयन मान और ३७-३२ और उदाहरण ३९-४१ . १७ । हर में एक जोड़ा असम्भव राशि भी हो तव चलानयन और उदाहरण १८ । यदि भिन्न के हर में एक जोड़ा असम्भव मान त वार हो तो चलानयन और उदाहरण १९ । अकरणीगत सिन्न संबन्ध में विशेष २०। ऊपर के प्रक्रमों से अनेक चलानयन ... mom- ४२ ताय २१॥ ... इस का सहज में चलानयन (य-अ)म(य-कन य (अ + गय)न मन का चलानयन जहां म और न अभिन्न हैं म+ताय २२॥ - का चलानयन जहां न धन और अभिन्न है HMA यन १ यम-'ताय का मान जहां न >म D २५ । (याताय का मान जहां न> म फ(य) २६॥ यन- का मान खण्डभिन्नों में ५५-५६ aay- फ(य) यन+१ का मान खण्डभिन्नों में २८ । उदाहरण और अभ्यास के लिये प्रश्न तृतीयाध्याय ३। ... ताय य ६६-६७ ... ३०॥ Se य+ अन का लघुकरण (Reduction) यमताय (अ+य) यत ताय का लघूकरण जहां का लघुकरण ६७-६९ ·विशेषवर्णन। ३। पृष्ठ। RAMA ७०-७१ ३४। लघूकरण प्रक्रम । त = आय+कायक, ३२ । यस्तताय यमतरताय का धूकरण जहां त = अ + कय + गर्य ३३। ३१वें प्रक्रम में विशेष के कुछ उदाहरण ३५ । लघूकरण से त्रिकोणमिति संबन्धिफलों का चलानयन, ३६। ३१वें प्रक्रम में और विशेष ३७। लघूकरण से सहज में सान्तचलानयन, कुछ उदाहरण, और अभ्यास के लिये प्रश्न चतुर्थाध्याय ४। ३८ । "फ(य) फ(य) ताय का मान २प्र० से तथा श्रेढी के योग से ७५-७७ ... ७७-७८ ... 'क जानना फ(य) ताय इस पर से श्रेढी का योग जानना ८७-८९ Sch ९०-९२ ६.७ ४०। श्रेढी के योग में विशेष ४१। सान्तचल के कुछ सिद्धान्त ४२। सान्तचल के सिद्धान्त में विशेष * फ(य) ताय के मान में विशेष ९२-९३ ४३॥ ... अ ४४। "फ(य) ताय के मान में दूसरा विशेष ९३-९४ ९८ ... ताय के मान में विशेष अ+य' ४६। तीन चलो में न्यूनाधिकता का विचार ४७। फ(अ)+ फ(अ+१)+फ(अ+२)+ ...इस श्रेढी और फ (य) ताय के मान का विचार 8 ९८-९९ ... अ १०० ४८। लाय पर से कुछ श्रेढी का विचार ४९। जिस श्रेढी का कोई पद हो उस के मान का फा(य) १

·विशेषवर्णन।
विचार
५० । टेलर के सिद्धान्त में न से ऊपर के पदों का योग
पृष्ठ
१००-१०३
१०३-१०४
...
१०५-१०६
.
५१। एक ही गति का प्रकारान्तर से चलानयन करने में
विशेष
५२ । सान्तचलज्ञान के लिये वनली (Berthoulh) की श्रेढी
५३। चार वार चलज्ञान करने का नियम और सङ्केत
५४। वर्नली के श्रेढी की मूल श्रेढी
५५। ५४वें प्रक्रम में विशेष
.. १०८-१०९
S
ज्यानर ताय इत्यादि के मान में विशेष
१०९
५७। क्रिया समेत कुछ उदाहरण और अभ्यास के लिये प्रश्न
१०९-१२०
.

·श्रीः। श्रीजानकीवल्लभो विजयते। चलराशिकलन। श्लोक। यल्लीला विमला विलोक्य विपुलप्रालेयबालालये भूपालेन्द्रललाटलालनकलालेपालिन्तक्ष्मातले । उल्लङ्थ्य स्वकुलालिकूलकलितां लजानदीं मैथिली यल्लोकाऽऽकुलिता चचाल चलवद्रामाय तस्मै नमः ॥१॥ १ प्र० । जैसे चलनकलन में स्वतन्त्रराशि के फलों पर से उनकी तात्कालिकी गति जानने के लिये अनेक प्रकार का वर्णन है उसी प्रकार से इस चलराशि- कलन में फलों की तात्कालिकी गति पर से उन फलों के जानने के लिये अनेक प्रकार लिखे हैं। ऐसी दशा में चलराशिकलन को चलनकलन का उलटा कह सकते हैं॥ कल्पना करो कि फ(य) का तात्कालिक संबंध फा(य) है तो चलनकलन से फ(य+च)-फ(य) = फा(य) + अ, (यहां जव च =०= ताय तो अ = 0) इस लिये फ( य+च )-फ (य) = च {फा (य) + अ.} फ(य+२च)-फ (य + च) = च { फा(य + च) + अ३ } फ(य+३च)-फ (य + २च)% च {फा (य + २च) + अ.} .. ... ... ... फ(य+न च)-फ{य+ –फ { य+ (न-१)व = -१)व = च[ फा {य + (न-१)च } + अन दोनों पक्षों को जोड़ने से फ(य+ न च)-फ(य) = च फा (य) + फा (य + च) + ... + च(अ + अ + अ + ... } ·२ चलराशिकलन । इस में य, य+च, य+२ च,......य + नच, इत्यादि के स्थान में अ, इ, उ,.....क इत्यादि का उत्थापन देने से फ (क)-फ(अ)= च { फा(अ) + फा(इ) + फा(उ) + ... } + च(अ + अ + ...) अब यहाँ यदि च% ० अर्थात् ताय के समान कल्पना करो तो ... फ (क)-फ(अ)=फा (अ) ताय +फा (इ) ताय +फा (उ) ताय + - १ ऐसा होगा। यहां जब य + नच = क और य = अ, . =च इससे यह सिद्ध होता है कि फल के तात्कालिक संबंध में स्वतन्त्र राशि के स्थान में क्रम से क-अ क-अ क-अ Aprom-MAKA अ+ , अ+२ अ+ क-च, का उत्थापन दकर , अलग अलग मान ले आवो फिर उनमानों को च से गुणकर जोड़ दो,योग में च के स्थान में शून्य अर्थात् ताय का उत्थापन दो तो योग, फल के उन दो मानों के अन्तर के तुल्य होगा जो कि स्वतन्त्रराशि के स्थान में अ, और क के उत्थापन से उत्पन्न होंगे। इस योग को संस्कृत में आख्य भी कहते हैं इस लिये लाघव से आढ्य के आदि अक्षर को लुप्ताऽकार के रूप में लिखने से पूर्व योग को क फा (य) ताय ऐसे लिख सकते हैं। यहां /फा ( य ) ताय इस से यह सम- झना चाहिये कि फा(य)ताय के य के स्थान में अ, अ+ ताय, अ+ २ ताय, अ+ ३ ताय, क-च, का उत्थापन देने से, जितने मान हैं उन सब का योग है। इस लिये प्रकारान्तर से जो योग पहले सिद्ध हुआ है इसे उसके समान करने से फ(क)-फ(अ) फा(य)ताय ऐसा हुआ। इस में यदि क के स्थान में य, और अ के स्थान में शून्य का उत्थापन दें तो फ(य)-फ(6) फा(य)ताय...(१) ३॥ चलनकलन से सिद्ध है कि फ(य) में केवल य चलराशि है और स्थिराङ्क हैं इस लिये फ(य) में य के स्थान में शून्य का उत्थापन देने से फ (०) यह अवश्य शून्य वा किसी स्थिराङ्क के तुल्य होगा। इस स्थिराङ्क को यदि स्थि ·चलराशिकलन का अभिप्राय। ३ यफा (य)ताय ऐसा कहो तो दूसरे प्रक्रम का (१) समीकरण फ(य)-स्थि = S हुआ इस में पक्षान्तरानयन से फ(य) = (फा(य)ताय + स्थि इसे लाघव से में फ(य) = [फा(य) ताय + स्थि ऐला लिखते हैं। जब फे(य) = /फा(य)ताय+स्थि तो दोनों की तात्कालिकी गति निकालने से ता {फ(य)} = फा(य)ताय = ता{ /फा( य)ताय + स्थि} = ता { /फा(य)ताय } + तास्थि = ता/फा(य) ताय } इस लिये fफा(य) ताय यह अवश्य फ(य) के समान हुआ। इस पर से यह भी कह सकते हो कि जिस फल की तात्कालिकी गति फा(य)ताय है वह फल फा(य) ताय के समान है वा /फा(य)ताय + स्थि इसके समान है। चलराशिकलन का अभिप्राय । वर . व S क ल ला कक्ष कर नीचे लिखे हुए उदाहरण से विद्यार्थियों को स्पष्ट जान पड़ेगा कि चलनकलन और चलराशिकलन में क्या भेद है। कल्पना करो कि अक:क,कव एक ऐसा वक्र है (जिसमें अम = य, और व म = र,) कि जिसके भुज, कोटि और चाप से जो वक्र त्रिभुज उत्पन्न होता है उस का क्षेत्रफल सर्वदा इ गुणित भुजघन के समान होता है तो बतावो कि य भुज में कोटि का क्या मान है ? यहाँ इ कोई स्थिर संख्या है। कल्पना करो कि अम = य, वम = र, तो अवम वक्रात्रिभुज का फल प्रश्न के अनुसार इय और अवाम, का क्षेत्रफल इ(य + मम.) होगा इस लिये इन दोनों का अन्तर, तुल्य हुआ व व म म के, अधिक हुआ ववम,म आयत से और अल्प हुआ व व.म. म आयत से तब इ (य + म म.)-इ.य>वम ४ मम, और<व म, ४ मम (य + म मर)-य म म, का भाग दे देने से व.म.>इ <वम, इसमें मम म , Enapp- -या (य + मम.) यदिमम = 0 तोव,म = वम और इ. ममा - (इय') ताय ·चलराशिकलना चलनकलन से। इसलिये चलनकलन से यह वात सिद्ध होती है कि फल के तात्कालिकसंबंध के समान र का मान है अर्थात् र = ३ इ य । इस प्रकार इस प्रश्न का उत्तर चलनकलन से सिद्ध हुआ। अब इसी वक्र में यदि ऐसा प्रश्न किया जाय कि एक वक्रक्षेत्र की कोटि गुणित त्रिगुणितभुजवर्ग के तुल्य है तो भुज, कोटि और वक्रकेचाप से जो त्रिभुज होगा उसका क्या क्षेत्रफल होगा? । इस का क्षेत्रफल जानने के लिये अम = य, कान तुल्य समान विभाग करो और मानो कि उन विभागों का मान क्रम से अ अ), अ, अ, अ. अ., अ. म, हैं जहाँ = अ अ = अ, अः = अ अ = अ.म, तो चक्रक्षेत्र के . SHAIN " लक्षण से क अ -३ (म) ३६ (न). कर . ३६ व म%D३३ . - , इन सब कोसे गुण कर जोड़ देने से, क; अ., ल', अ., इत्यादि आयतों के क्षेत्रफल का योग =३(4) + ३५ म (म) +३इन (न्य) म (१+४+९+ २) =३५सन (न + १) (२०११) ३५.य. (२ नं +३+१) = (२+३+1) ॥ - - ३ इस समीकरण में ज्यों ज्यों न की संख्या बढ़ाते जायँगे त्यो त्यो क., ल', ल', इत्यादि वक्र के पास पास आते जायँगे इस लिये यदि न तो ठीक वक्रत्रिभुज m - का फल = इय' हुआ परन्तु यदि इस का तात्कालिक संबंध निकालो तो (इ य) = ३ इ य यह तात्कालिक संबंध वक्र की कोटि के समान होता है ताय इस लिये ४ प्रक्रम से इय = ४३ इ यताय ऐसा हुआ। इस से यह सिद्ध होता है कि यदि तात्कालिक संबंध को उस वक्र की कोटि कल्पना करें जो कि मूलविन्दु में होकर जाता हो तो जिस फल का यह तात्कालिक संबंध है वह फल उस वक्र त्रिभुज का फल होगा जो कि भुज, कोटि और वक्र के चाप से बनता है। अब जिस प्रकार से---- ३ इ य ताय पर से इय का मान निकले उस प्रकार का जो वर्णन करे उसको चलराशिकलन कहते हैं । इस उदाहरण से स्पष्ट है कि यदि चलनकलन, ·चलराशिकलन का अभिप्राय । और चलराशिकलन का लक्षण लाघव से कहें तो ऐसा होगा कि स्वतन्त्रराशि के फल पर से उसकी तात्कालिकी गति ले आवे उसे चलनकलन और तात्कालिकी गति पर से जो स्वतन्त्रराशि का फल ले आवे उसे चलराशिकलन कहना चाहिये। ६ । चलनकलन से सिद्ध है कि ताफ(य) +स्थि } = ताफ (य) इस लिये/ताफ(य) = फ(य), वा फ (य)+ स्थि इस से यह समझना चाहिये कि तात्कालिकी गति पर से जो फल निकलता है उसमें यदि स्थिर संख्या जोड़ दें तो जोड़े हुए फल की भी वही तात्कालिकी गति आवेगी परन्तु चलराशिकलन से तात्कालिकी गति पर से जो फल आते हैं वे शुद्ध विना स्थिर के जोड़े आते हैं। विद्यार्थियों को चाहिये कि सर्वत्र जहां तात्कालिकी गति पर से चल- राशिकलन के प्रकार से फल सिद्ध हो वहां उस फल में कोई स्थिरसंख्या भी जोड़ें जिस स्थिर का मान, फल में स्वतन्त्रराशि के स्थान में शून्य का वा किसी विशेष संख्या का उत्थापन देने से, ज्ञात हो सकता है। जैसे ५ प्रक्रम के उदाहरण में फल = /३ इय ताय = फ+ स्थि = इय। अव फ+ स्थि = इय इस समीकरण में यदि य% 0 तो क्षेत्र देखने से स्पष्ट है कि क्षेत्र- फल शून्य होगा + स्थि = इ (०)..स्थि = 0, इसी प्रकार स्वतन्त्रराशि में ऐसी संख्या का उत्थापन देना चाहिये जिसमें फल का मान व्यक्त हो फिर उस मान पर से स्थिराङ्क का ज्ञान शीघ्र हो जायगा। चलनकलन की विपरीत क्रिया से स्पष्ट है कि, स्थिफ(योताय = स्थि./ फ(य) ताय... फ(य)ताय + फा(य) ताय) = / फ(य) ताय+ /फा(य) ताय - G याताय = यर ताय इताय = इच अयंताय लाया म+१ अय लाइअ' ज्यायनाय = -कोज्याय,/कोज्यायताय = ज्याय । ताय ताय =स्पय, -कोस्पय । कोज्याय ज्याय - News Home - ताय वा -- ज्या-- कोज्या-१ २

·६
वलराशिकलन।
य
१५
२
S
१
समयmmanga
R
वा
कोप-य
अ+य
८। इनका स्मरण होने के लिये श्लोक और दहे।
श्लोक।
चलः स्थिरघ्नविहनश्चलोऽन्यो यदि तद्गतिः ।
तुल्याऽऽद्यचलगत्या स्यात् स्थिर हतया तया ॥१॥
यद्गतिर्भुक्तियोगेन समा स्याद्यत्र तन्मितिः ।
भुक्त्युत्थचलयोगेन समाना चलकोविद ॥ २ ॥
सैकघातश्चलस्यातः सैकतद्घातसंख्यया ।
चलोऽन्यो यद्गती राशिघातराशिजवाहतिः ॥ ३ ॥
यस्य भुक्तौ हरगतिलवमानं भवेद्धि सः ।
हरस्य लघुरिक्थेन समानो भवति ध्रुवम् ॥ ४ ॥
चलराशिसमः स्थिराङ्कघातः
प्रथमस्तद्धतराशिभुक्तिरस्ति ।
अपरस्य गतिस्तदा स्थिराङ्क-
लघुरिक्थाप्त इहाऽऽ द्य एव चान्यः ॥५॥
चलज्या गुणिता भुक्तिर्यद्गतिस्तन्मितिर्भवेत् ।
चलकोटिज्यया तुल्या क्षयगा चलयुक्तितः ॥ ६ ॥
चलकोटिज्यया निन्नी भुक्तिर्यस्य गतिर्भवेत् ।
चलजीवात्मानं तन्मानं शेयं मनीपिभिः ॥ ७ ॥
चलकोटिज्यकावर्गभक्ता भुक्तिर्हि यद्दतिः ।
चलजस्पर्शरेखैव तन्मानं स्थाञ्चलोक्तितः ॥ ८ ॥
चलज्याकृतिसंभक्ता भुक्तिर्यस्य गतिर्भवेत् ।
तन्मानं चलजा कोटिस्पर्शरेखा क्षयात्मिका ॥९॥
राशिवर्गानितस्थैर्यवर्गमूलहृता गतिः ।
यद्गतिस्तन्मितिः स्थैर्यभक्तराशेधनुर्भवेत् ॥ १० ॥
स्थिरचञ्चलवर्गयोगभक्ता
गतिरस्तीह गतिर्यदान्यराशेः ।
स्थिरभक्तचलस्य यद्धनुर्भा-
शकलैस्तत्स्थिरभक्तमन्यमानम् ॥ ११ ॥

·चलराशि के आनयन के मूलप्रकार । दोहा। जो चल थिर से गुणित वा भाजित हो चल आन । आदि गती स्थिरगुणित वा भाजित ता गति जान ॥१॥ कइ गति के युति तुल्य हो जाकी गति ता मान सब गति के चल योगसम जानहु सकल सुजान ॥२॥ राशिघातहत राशिगति जाकी गति सो जान । सैकघात हत राशि को सैकघातसम मान जाकी गति में हर गती अंशमान जो होय अधार लघुरिक्थ जो हर को है वह सोय ॥४॥ चौपाई। चलराशी सम थिर को घाता । आदि सो गुणित राशिगति ताता ॥ जाकी गति सो आदि प्रमाना । थिर लघुरिक्थ विभाजित जाना ॥५॥ दोहा। चलजीवा से गुणित चलगति जाकी गति होय । चलकोटिज्या के करहु ऋण तुम जानहु सोय ॥६॥ चलकोटिज्यागुणित चलगति जाकी गति होय । चलजीवा के तुल्य तेहि कहहु युक्ति जिय जोय ॥ ७ ॥ चलकोटिज्यावर्गहृत चलगति जाकी भुक्ति । स्पर्शरेखिका चलहि को ताहि कहहु लखि सूक्ति ॥ ८ ॥ चलजीवाकृतिभक्त जो चलगति जाकी भुक्ति । चल को कोटिस्पर्श ऋण रेखा कहु लखि युक्ति ॥ ९ ॥ स्थिरकृति में चलवर्ग ऋण तेहि पदहृत गति होय । जाकी स्थिरहत चलहि को चाप कहहु तुम सोय ॥ १० ॥ चौपाई। स्थिरचञ्चलकृतियोगविभाजित । चलगति जाकी गति सो साधित ॥ स्थिरहत चलको चाप बनावहु । स्पर्शखण्ड से सो स्थिर भाजहु ॥ ११ ॥ ८। इस प्रक्रम में पूर्व प्रकारों का अभ्यास होने के लिये कुछ उदाहरण दिखाते हैं।

·सय यहाँ ताय Vय २ म(म-कम- चलराशिकलन। उदाहरण । (१) इस गति की चलराशिले आवो?। ताय य .. ताय य-३ = श्य, (३ सूत्र से) २॥ ताय (क + अ यन)मय", इस की चलराशि ले आवो ?। यहाँ द्वियुक्पदसिद्धान्त से (क +अ यन)म = कम + मकम-(अयन) + म (म-३)कम- कम-(अ यन) + .. ..ताय(क+अ.यन)मय" कमयगताय+अमकम-श्यना गताय + अं २ .../ताय(क + अ यन)मय = /'कम्यगताय + / अमकम-'यन । गताय + .. = कम /यगताय + अ म कम-१/यन+गताय २ सूत्र से) कम -यगर ग+१ न+ग+१ अ.म (म-१)क यन+ग+2+ ...(३सूत्र से (श्न+ग+१)२ याताय (अ+ क यान इस की चलराशि वतावो ? यहाँ म और न दोनों अभिन्न और धन संख्या है। % 3D म(म-१) कम-य गगताय + ... , BAR 7 + य .. न+गताय +" २ woman अमकम-१ यन ग+ ल-अ.और ताय% ताल यहाँ कल्पना करो कि अ+ क य = ल... य = यमताल MA m PM क.लन क . S - 4 ) कमलन कमर " लन यमताय ल-अ)मताल इन का उत्थापन देने से (अ+कयान 'लन यमता ल-अ)मताल (ल-अ)मताल (अ+कय)न अब इस पर से (द्वियुक्पदसिद्धान्त से) चलराशि जान सकते हो। ४। कोज्या य. ताय, ज्या यताय इन की चलराशि क्या है ? यहाँ त्रिकोणमिति से कोज्या'य = १+कोज्या २ य ', इस लिये २ ·उदाहरण। ९ तार २ २ कोज्याय ताय = १ + को ज्या २ यताय, यहाँ यदि श्य = र, तो ताथ = '१+को ज्याश्य (तार , कोज्या र ....कोज्यां यताय% ) (तार ताय + -तार तार) २ २ य+ज्याश्य (७ सूत्र से) IMA है/तार + १/कोज्यारतार = र + ज्यार इसी प्रकार १-कोज्या २ य. ताय . ज्याय ताय% श्य-ज्याश्य ज्याय ताय%3D - •. M २ ? ताय इस की चलराशि क्या V२अ य-या कल्पना करो कि य = अ-ल... ताय = -ताल, और /२ अ य य = २ अ (अ-ल) (अ-ल) = / अ ताय कोज्या- = को ज्या २ अय-य अल २ - - J - ww २ =उज्या- (१० सूत्र से) ताय इस की चलसंख्या वतावो? य+ २ कल्पना करो कि य+अ = ल-य.'. य-२ य ल + ल = य+ ४लताल-२ ताल (ल'-अ ... ताय = २ल और य = २ २ताल (ल+अ) ताल (ल+अ),और जब य memwwmom Mammad andsaemon २ल ल+ -इनका उत्थापन देने से ताय ताल (ल + अ) ताल S M भ- लाल य+ ल+अ ला( य+ अ + य) (४ सूत्र से) की चलसंख्या बतावो? MONDARMER ताय कोज्याय MEAN ·१० चलराशिकलन । ताल कोज्यायताय कोज्याय- कोज्याय emama कोज्यायताय १-ज्याय कोज्याय (यदि ल = ज्याय) ताल ताल ताल ताल + १+ल = ताल mumaamienten memories BHARMERestauda ][I ] Roard १ - buri ला (१+ल)-ला (१-ल) १+ज्याय १ज्याय लाकोस्प [ [-] य इसी प्रकार % ताय ज्याय लास्प ताय इसकी चलसंख्या क्या है ? Randee ताय me ताय १-या २ ताय १+य ७ उदाहरण के ऐसा -य १+य PARE ताय य स anama , इस में यदि य = या १ १+य/-१ ताय ला १+य २/-१ १+या १ muna परन्तु ११ सूत्र से तय स्प-य १+ य/- ... स्प- य% PAN Hawmumm -- ne १+ य -१ वा, स्पय% +स्थि १-य/ यहां कल्पना करो कि य = स्प प..स्प-यप १ १+य इस लिये ष= १-य + स्थि,यदि ष = 0,तो य = 0..स्थि = 0 १+ य/- ला २४ -१ Howroom १ - १+स्पष m- वाइ - - कोज्या प+ ज्या पV कोज्या ष-ज्या प/-१ -mmwee Ime M Pre- ·उदाहरण। = ( कोज्या ष + ज्या प/-३)२ ... इप/-२ = कोज्याष + ज्याष/-१, वा इ-प/-२ = कोज्याष-ज्याप/-१ (चलनकलन में डेमाइवर का सिद्धान्त देखो ) ताय इसकी चलसंख्या क्या है ? य/२ अ य ल+अरे कल्पना करो कि २ अ य-अलर MORADABAR लताल और ताय% २लताल २ लताल meta ताय इस लिये Sava - २ताल अ+ल २ २अ य-अ २ ताल अल -अ -१ / अय- 00 MA m ११ सूत्र से) १०॥ ताय अ+कय इस की चलसंख्या क्या है ? १ यहाँ यदि ल = य कतो यल - M ताय क १+ अ+कय अ 155 २ -य ..ताय = ताल क ताय ताल इस लिये - S ताल made अ - k Babla - १+ य अक m - स्प-( Hanumpto- 1618 १ य Vअक अक ताय.य -इस की चलसंख्या क्या है ? १+या - १+य = य-य + १+य इस लिये (यताय - याताय- यताय+ यताय १+य ·१२ चलराशिकलन। यय + ईला(१+य) २ (अ+क) ताय १२॥ इस की चलसंख्या क्या है? अय+क या १ तार क RALD कल्पना करो कि य = 4 इस लिया (अ+क)ताय अय+कय (अ+कतार रय (अ य+क) अ+क) तार (अ य+क) अ+क)र तार अ+कर and ॥ (अ+क)तार +कर र ताय(अ+क) य+कया अ+क - -- : ताया ----(अ+ क) रतार अ+कार maa अ+क -तार क (तार-बार) HAR remedium - अ + क अ+क सर (क)} =-अ+ (---स्प रक) क अ+क/१ अ Va य/अ - - अ ( अभ्यास के लिये और प्रश्न । ज्यायताय कोज्याय लाछेय। (१) । (२) । ताय उ०२ला (अ/ य+क अय+का काय य ३ २ य२.३ ३ . है (३) ताय (V य+Vय) wipe-- ताय (य-३ + य-+ अ) २अ य +२यला य--१ २य -- ·उदाहरण। १३ १ उ०, ला+य appearning CHA (५) ताय अ २ - (६) उ०, क. ला (लाय) . , ताय.क यलाय कोस्पयताय (७) उ० लाज्याय ताय उ० ज्या २ V४-य ताय (९) उ० ज्या-११+य MARA- Sawal उ०, स्प- य+१ .. (८) - त (१०) १० २० श्यय (११) तिर (१२) । (१३) ६ ताय य उ०, INDIA -- य ६ -य+ ८य-३२ला (य+ ४) य+४ १ १ ५ताय ध्य+य उ० ५(२स्प' - २ २य ताय अ+कय उ० ला (क/ अ+कय .. (१४) (१०य (१०य + ९य)ता य य+ य) उ० (य" + य') न.यन-१ +(न MENUARL -१)यन-२ -ताय - क(यन + यन-१) --- (१५) न (क-अ) (यन + यन-१)क य' +९ + य) ताय २ १ श्य ताय य+ १) .. २ (१६) / उ० (य + य +९) (१७) स्य उ०, (१८) कि.यता य क(य + ला य+१) (१९) (अ+य') (अ+य) ताय .. उ०, अय ४ या ૨ २ अ.य २ अ.या य ३ + ·মুখহাত্তল। उ०, अयं , अंय , अय' या . (२०) । (अ+य)(अ + य)य ताय, (२९) (६+ य)(१–योता य उ०,३ उ०, लाय-य T १ २ 56 य, २ य। य ताय (२२) +रयर-२ स्प-'य ३ १+य (अ + क यन)म१ (२३)/( अ + क यन)मन क.यन-'ताय, उ०, म+१ PAHAL , उदाहरण (२४) एक चोर अ स्थान से एक हीरे को चुरा कर भागा। जब अ स्थान से पौन मील दूर जा चुका तव उस को पकड़ने के लिये एक सिपाही अ स्थान से दौड़ा इस सिपाही के प्रतिक्षण की गति चोर की गति से अ स्थान से चोर की दूरी जो हो उतनी गुणित है तो बतावो कि अ स्थान से कितनी दूर पर चोर पकड़ा गया ? । उत्तर, २४ मील । (२५) एक हीरे के मोल की बाढ़ एक राजा के आमदनी की बाढ़ से आमदनी के वर्ग को गुणने से जो हो सो होती है तो वताओ कि जब राजा की आमदनी तीन लाख हो तो हीरे का क्या मोल होगा? उत्तर, ९४ १० १५ हीरे का मोल । ९ । कल्पना करो कि काय = ला फ(य)+ र } जहाँ र, य का कोई फल है तो तात्कालिक गति बनाने से फ(य)ताय + तार '. फ(य)ताय + ताय.र फ(य) फ(य) र फ(य)ताय फ(य) + तारफ(य), पक्षान्तरानयन से और परस्पर भाग देने से ताय s - ताय-तार ताय यहाँ यदि फ (य)फ(य) = य, तो फ(य) फ(य)-र फाय) तार-तार ताय . "ताय-तार -- - M How awe . 'ताय फ(य) फ(य) ..ला(य-र) = ला { फ(य)+र} ... य-र = फ(य)+र य+फ(य) य-फ(य) और फ(य)+रm २ ·अभ्यास के लिये प्रश्न । 'य+ फ(य) इस लिये MAA ताय फ(य) लिये कि स्थिराङ्क को छोड़ देने से फाय) = ला{ य+फ(य) -ला ताय = ला ( य+फ(य)} ताय जैसे (१) उदाहरण, यहाँ फ(य) = य, और फा(य) = १ .. फ(य) फा(य) = य, इस लिये ताय = ला {य+फ(य)} = ला २ य = लाय+ ला २ स्थिराङ्क को निकास लेने से ऐसा ही पहले भी सिद्ध है। %3D =लाय। (२) उदाहरण, ताय य यहाँ फ(य) = / य+ २ इस लिये फ (य) = और फ(य) फ'(य) = य, इस लिये २ य ऊपर की युक्ति से न (य+/यअ) यही पहले भी सिद्ध हुआ है। ताय ताय तार (३) उदाहरण, Wi- - S २ V (य+२अय (य+अ)-अ स यदि र = य+अ, तब दूसरे उदाहरण से तार- २ अय %3 य-२ अय ला(र+/र-अ) = ला (य-अ+ V य+२ अय) (२) उदाहरण की सिद्धि के लिये टाहण्टर ( Todhunter ) और विलिअमसन् (Williamson) साहव ने /यअ = ल-य, यह कल्पना किया। (य) (य+/य हाइमर्स ( Hymers) ने य+अ' य+/ य+ ऐसा कर तव चलराशि सिद्ध किया, डिमार्गन ( Demorgan ) ने पहले य+अ = र तब य = र = र तब य = र... २सताय = २रतार और वा, यताय = रतार इस लिये य.ताय+र-ताय = रतार+रताय %3D ·ammeone ram V+ य १६ चलराशिकलन। .. ताय = र(ताय+ तार) इस का उत्थापन देने से य+र ताय र(ताय+तार) 'ताय+तार = ला(य+र) र(य+र) य+र = ला (य+/ य+अ) ऐसा सिद्ध किया, डिमार्गन साहब ने असंभव संख्या का भी उत्थापन देकर चलराशि ले आने के लिये एक दूसरी रीति लिखी है परन्तु ये सव कल्पनायें शीघ्र मन में नहीं आ सकती जब तक कि पहले से यह ज्ञान न हो कि ताय = ला (य + / य+अ) ऐसा होता है इस लिये हमारी समझ में इस प्रक्रम के आदि में हमने जो सिद्धान्त लिखा है उस से बहुत ही सहज में चलराशि सिद्ध हो जाता है। १० । चलनकलन से सिद्ध है कि ता (च+ज) = ताच.ज+च-ताज .../ता (चxज ताच ज+च ताज .../ताचज = च-ज--/च ताज इसे खण्डचलानयन कहते हैं इस पर से अनेक उदाहरण की सिद्धि बड़े लाघव से हो जाती है जैसे। (१) उदाहरण, ज्याय ताय यहां यदि ताय = ताच और ज्या-'य =ज ताय तो च = य, और ताज १ - इस लिये ज्या'य ताय = च • ज-च · ताज यताय % = य. ज्या-'य- -- = य. ज्या'य+/१-य th (२) उदाहरण, /ताया य+यहां ताय = ताच... य = च और य+ अ =ज. याताय / य - ताज, . इस लिये, ताय/य+अ = या य+अ- यताय Vय ताय (य'+AF) = य/य s RAM २ य ·उदाहरण। १७ = यय- S ताया य+अ+ .य पक्षान्तरानयन से और ६ प्रक्रम से २./ताया य+अ = या य++ अला (य+ V य + अं) २ 1/ य + अ + अ२ : ताय, य + अ = ला (य+य + अ)। (३) उदाहरण, /यकोज्याअय-ताय यहां ताच = कोज्याअय-ताय ૨ ज्याअय_ और ज= य . A - ताज:ताय याज्याअय इस लिये, / यकोज्याअय-ताय ज्याअयाताय अ SUB- 뽐 यज्याअय HAR - MINS कोज्याअय अ यदि /यकोज्याअयताय तो पूर्व युक्ति से यज्याअय २ य'कोज्याअयताय यज्याअयताय यज्याअय + ) यकोज्याअय ज्याअय अ २यकोज्याअय ज्याअय अ" यज्याअय = - . (४) उदाहरण, ./यनकोज्याअयताय यहाँ भी ताच कोज्याअयताय और ज = यन मानने ले - यनज्या अय १ ./यनकोज्याअयताय *नयन-'ज्याअयताय यन ज्याअय_नयन-' ज्याअयताय - फिर यन-ज्याअयताय यन-कोज्याअय +./ (न-१)यन-कोज्याअय यन-कोज्याअय mammeena + -peewana य कोज्याअय AAndh- - अ ३ ·चलराशिकलन। यो बार बार क्रिया करने से. यनकोज्याअयताय इस का मान आजायगा। ज्याअय (५) इयज्याअयताय = { ता (इक्य) ज्याअय - अ.कोज्याअय -इकयताय ज्याअयकय - - अ.कोज्याअय -ता (इक्य) क अकोज्याअय जर अज्याशय इयताय क ज्याअय -इकय--- upsamment । Annuman- MARIA २ पक्षान्तरानयन से अ ( इकयज्याअयताय+ इयज्याअयताय २ कय अ+क अ.कोज्याअय इकयज्याअयताय न ज्याअय- Aap Jabaraat webmasuate इ. कय(क ज्याअय -अकोज्याअय) अ+क IOR .:. इनवज्याअय ताय = ज-ताच चताज ११ । यह चलनकलन से सिद्ध है कि ता Jawa - जताच-चताज ताच च'ताज m Ama इस लिये - (च) 4. madam ताच - m (जहाँ च, और ज दोनों य स्वतन्त्रराशि के फल है ) लिये () ज-ताच - चिता ( ()यह भी एक दूसरे प्रकार का खण्ड- चलानयन है। इसको 'च-ताज से भी लिख सकते हो। १२ । स्वतन्त्रराशि का चाहे जैसा फल हो परन्तु चलनकलन से उसका तात्कालिक सम्बन्ध जान सकते हो परन्तु यदि तात्कालिक सम्बन्ध ज्ञात हो तो चलराशिकलन से साक्षात् उसी तात्कालिक सम्बन्ध से प्रायः फल का ज्ञान नहीं होता जैसे इस तात्कालिक सम्बन्ध में जब तक एक य-२अय ताच + bammar ज ·उदाहरण। १९ दूसरा स्वतन्त्रराशि र, = य+अ ऐसा न मानोगे तब तक चलसंख्या का जानना कठिन है। एक स्वतन्त्रराशि के स्थान में क्या जोड़ घटा वा किससे गुण भाग कर दूसरी स्वतन्त्रराशि कल्पना करें जिसमें तात्कालिक सम्वन्ध वा तात्कालिकी गति पर से सहज में चलसंख्या सिद्ध हो जाय इस के लिये अनेक उदाहरणों के क्रियाओं का जानना और अभ्यास करना इनको छोड़ और कोई उपाय नहीं है। इस लिये विद्यार्थियों को अभ्यास करने के लिये हम यहाँ पर कुछ उदा- हरणों को क्रिया समेत दिखाते हैं । उदाहरणों के करने के पहले खण्डचलायन की क्रिया समझने के लिये नीचे लिखे हुए श्लोक वा दोहे को अभ्यास कर रक्खो। श्लोक। इष्टाप्तभुक्तिं परिकल्प्य भुक्ति तजं चलं चैकमथाहतिर्या । एकटयोरिटजवाहतैक- गतेश्चलोना स्वगतेश्चल: स्यात् ॥ १२॥ दोहा इटभक्त गति मानि गति जो चल सो है एक । एक इष्ट को घात करि राखहु धारि विवेक ।। इष्टभुक्ति हत एक को मानि मुक्ति चल लाय । तामें याको हीन करि गतिचल कहो वनाय ॥ १२ ॥ उदाहरण। (१) या य+अताय = /( य+ अ-अ) य+अ ताय = ./ (य + अ) (य+अ)ताय-/अ/ य+अ ताय -- . AR २ ३ = ./ (य+अ)ताय-अ / ताय (य+अ) (य+अ) अ (य+ अ)। माया य+अ-ताय य+क २) - य+अ+/ य+क ताया = २ { (य + अ)-(य+क) । दोनों उदाहरणों में र= य+अ ३ ( अ-क) कल्पना करने से भीचलराशिसिद्ध हुए ताय nama A -क Ipp .

·चलराशिकलन। १ यताय - (३) याताय याताय य--अ यताय य+ क -- २" namaAINABAmare '२ ताय.य ४अय-अ यताय । य+अU Roman २तायय य+ Descentioned or य- १ - याताय य+अ. ॥ १ M २यताय य+अ. 3 ला य+ ४अ' १ -अ ८अ "य+ १ ला -स्प - प - प म म %3D म (४) | (अ + कयन)वयम-' ताय यन-(अ + कयन)यम-ननाय = यन-(अ+ कयन) (यन) . 'ताय क'-ने कन-'यन-' (अ + कयन) (यन) ने 'ताय यन-' (अ+ कयन)वक में' (यन म-ताय यन-' (अ+ कयन) (कयन) -'ताय = क'ने (यन (अ+ कयन) (अ + कय--अ) में ताय । अब यहां मानो कि र= अ+ कयन ...तार = न कयन-' न'ताय और - करन म कर ॥ ताय नकायनर म म इस लिये क'-न | यन-' (अ+ कयन) (अ+कयन-अ) HAM A कर यन-(अ+ कयन) (अ+कयन..--अ) न- नकयन- - अ)न तार । अब यहां यदि यह अभिन्न mutnyandeep नक और धन हो तो द्वियुक्पदसिद्धान्त से (र-अ) न-' इस का मान फैला कर उसे रवैतार इस से गुण फिर सहज में चलराशि जान सकते हो ·अभ्यास के लिये प्रश्न । २१ जैसे या V+य ताय यहां न = - क = १, और म-१२ - اسعه = ३, और र = अ+ य,तब कर रव(र-अ)नतार- १ र(र-अ) तार = | (र–२रअ + अ)तार = [र 'तार-२अ र तार +अ र तार और -अर+ D (अ+य) अ (अ+ य) + अ (अ+य)। प - और य (अ+कय) ताय । यहां न = २, म-१ = ३, POIN CARD m स =२, र-अ+कय तारwin ३ १६क ३ १०क अथवा, इस लिये, न (३५-४) कर(र-अ)'तार अर) (अ+कय) (अ + कया)। (अ + कयन) यम-' x ताय = f (अयन + क)य = यन-(अय यन-(अयन+क) वैय के +म+न = + ++ x यन-' (अयन + क)व(अथ न + क-क) (म+4) यहां भी यदि र = अय-न+क तो तार = ---अनय-न-१४ ताय प नप +मxताय प नप xताय म प प - xताय तार ताय - ROIN Ama- अनय-न-१ इस लिये ++? अनं x य-न-(अयन + क-क) (न + ब+ (न+व+ १)x ताय(अयन + क)व ·२२ चलराशिकलन । ++१ अन म++१) x तार । यहां यदि DAIL methun परर–८)(4+६+१) RAHA अन यह ऋणात्मक अभिन्न संख्या हो तो द्वियुक्पद से चलराशि जान न सकते हो ताय जैसे - य य(अ+य) ताय य/+य यहाँ म- - - १ - Mummaa २ .म म = -- १, न = २, और १ १ और क = १, - Home i andmaa न riar Fr अ++१ इस लिये-- Pawara (र-क) - (++१) अन x तार m र- ३(र--क) x तार १ अ २ र-तार P- Himans- HDNAND- १. यहाँ र = अय + १, और त ताय अॅ+य य(अ+य)-३ ताय यहाँ म-१ = ०.'. म = १, ३ .१ - Hapna - भाम m- प ब --- = --१ और अॅ = अ, र = (अय-+ १) ૨ २ प अन ++१ MANA इस लिये- Sekce +4+१) xतार १ (र-क) तार -तार = -- १ Paneemlmer र - १ RAMMAR marana m Im अर - अ/अय-+१ / अ+य ·म -र-मअ-रम-+अं. उदाहरणा यमताय १ अ+कय-अ (अ+कय) (अ+कय) (र-अ)म तार यदि र = अ+ कय, कम म(म-१)म- रन (५) MAN म -- BARDAamin As.... १ w कर 'तार Ja रम-न-मअरम-न-'+अम(म-१)म-न- ...)तार कमा रम-न+१ { रम-न+ + अरम(म-१) रम--न-५ MAD } म-न+१ २ - - ताय अ+कय गय - ४ग-ताय ४अग+४कगय+४गय अग २ (६) =SA = गताय (२गय+क+४अग-क ४गताय र+४अग-क - S २तार +४अग- ( यदि २गय+कर) wal कर २ १ HIGHOOFROHI V४अग-की यदि ४अग>क' और अ, क, ग लब धन हों १ वा, २तार र+४अग--क - (तरच तारण) तार र+ख AAM - र+ख ( यदि ख = क अग और ४ अग /क) स्गय + क-क-४अग ला र+ख का ४अग गय+क+ V क-४अग manane maARAMER buwand (७) (य+बजारयका- १ ताय ताय ताय (य+अ) (य+क) अ-काय+क य+अ १ ताय ताय य+क य+क य+अ य+अ (त+नयोताय रतग+न (क+२ गय-क)} ताय (८) अ+कय गय अ+कय+गया - wammelan amavunt १ - - f{२तग + न किये गयटक) } ताय ·चलराशिकलन। - Home- न(क+२गय)ताय (२ तग-नक)ताय। २गो अ+कय गय अ+कय गय । '२तग-नक ताय ला (अ+कय+गय) + २ग अ+कय+गय दूसरे खण्ड का चल दवे उदाहरण से स्पष्ट है। (अ+कय)ताय अ+कम+क(य-अ.) ताय (९). य-२अध्य+अ+को य -२अ.य+अ+का (अ+कअ.)ताय क(य-अ)ताय य-अ.)+क, य-अ.)+कर +ला : (य-अ.) + क : कर कर (१०)९ वै उदाहरण में यदि, अ = १,-क = अ. कोज्याइ,और क, = ज्याइ -कोज्याइ-य)ताय १-कोज्या इ. य-कोज्याइ -२कोज्याइx य+य ज्या ज्याइ अ+ कम्प - तो - कोज्याइ.. 'ला । (य-कोज्याइ) + ज्याइ। २ य-कोज्याइ कोज्याइला(य--२कोज्याइ ४ य+ १)। =ज्याइ स्प ज्याइ २ अताय यताय (अ+य)२ ताय (११) (अ+य) R SE + - 1+य य। अ+य १ m १ २ +ताय (य) +./'अय (अ य +१) ताय / अय+१ + ला( य+ \ अ + य) यदि धन चिह्न हो । अय-१-ज्या यदि ऋण हो । - य १ (१२) या अंताय यय-अ अय (+अय+१) रताय - . = (अय -१)(अय+१) ताय, + चिन्ह से =f(अय + १) ताय अब यहां(अय+१) Vअय+१ ताय १ और का मान द्वियुक्पदसिद्धान्त से ले आकर एक श्रेढी (अय+१)२ ·उदाहरण । में चलराशि का मान जान सकते हो इसी प्रकार-चिन्ह से भी जान लो ताय ताय-य- तायाय-३ (१३) । य+१ य/अं+य अ+य ब -३ २ तायय (+ +य) --(अ+य)। ताय (१४) CVARA ताय अ+ककोज्याय - अ(ज्याय +कोज्या +क(कोज्याय -ज्या २ ताय ताय छेय २ २ S (अ + क)कोज्या + (अ-क)ज्या अ+ क + (अ-क)स्प यदि ल = स्प स्पन अ+क+ (अ. क)ल इस लिये यदि अ>क तो www ताल ताल २ ताल २/- EMAIL- - - ma ॥ 3 अ+क+ल ग+ल अ+क+ (अ-कल' अ-क mulima अ+ क तो ११ सूत्र से यदि ग = २ २ १ e- MMS more- Hanimallamma Memom ग+ल अ- भा ग mp4 dawonlod २ अ-क अ+क m स्प? और यदि अ<क तो ताल २ ताल अ+क+ (अ-काल ताल अ+क Pawan - अ+क- क-अल क-अ lantamnow ma २ २. तालु , यदिशक - ग' २ ताल १ m a MAnand १ ताल २ग ग-ल न ग+ल) गिताल) ग(क drama M OM ·चलगाशिकलन। १ Budo allam + ग(क-अ ग+ल (- ल) [ला(ग+ल)—ला(ग-ल) - ग(क-अ १ १० " + -met" ग(क-अ)ग-ल -अ \ अ+ क +\ क-अ स्पः ला \ अ+क-क-अस्प २ यदि अ+ क-1 क-अ स्प यह ऋणात्मक हो तो १ ताय अ+काकोज्याय ताज्याय 1 क-अ २+ अ+क 'ला me mahwa nant अ+क यदि यहां ताय यह जानना हो तो ग+कज्याय woma = +ल कल्पना करने से ज्याय - ताल अ+ ककोज्याल यह ठीक १४ वे उदाहरण के ऐसा हो गया । १५ । जैसे ज्याय = र तो ज्या'र = य अर्थात् ज्या से जिसका बोध होता है उस से उलटा ज्या" से बोध होता है। इसी प्रकार कल्पना करो कि फ से जो बोध होता है उस से उलटा फ' से तब फ { फ' (य) = य ऐसा होगा अर्थात् फ' से यदि ज्या- यहण करो तो इसे ऐसे बोलेंगे कि य का जो क्रमज्या खण्ड पर से चाप हो उस की क्रमज्या य के बरावर है। इस पर से यदि फ(य) ताय इस का ज्ञान हो तो S(योताय इसका भी ज्ञान हो सकता है जैसे यदि फ-(य) = ल तो य = फल) तब ताय ताल-यल- लताल फ-(य) ताय = यताल = य ल फल)ताल। ऊपर जो उदाहरण दिखाये गये हैं उनके बल से हज़ारहों चलानयन कर सकते हो और ·उदाहरण । जव अनन्त चल का मान आ गया तब उस में स्थिराङ्कों का उत्थापन देने से सान्तचलानयन भी सहज में कर सकते हो। जैसे खण्ड चलानयन से ज्यानयताय ताकोज्याय, ज्यान-श्यताय ताय S -- -SE ना A -कोज्यायज्यान-'य+ (न-१ कोज्या यज्या ) को यताय a- = ---कोज्यायज्यान-'य + (न-१) (१-ज्याय)ज्यान यताय = ---कोज्यायज्यान-'य + (-१) ज्यान-यताय –(न-१) ज्या यताय सम शोधन से meros- न ज्यानयताय =-कोज्यायज्यान-श्य + (न-१) ज्यान यताय इस लिये ज्या यताय =- कोज्यायज्यान-यन- ज्यान-यताय यहां पर यदि न एक से अधिक और धन हो तो स्पष्ट है कि य के स्थान में और का उत्थापन देने से २ T T -१ ज्यानयताय = ज्यान यताय। न इसी प्रकार यदि न धन और ३ से अधिक हो तो In Point ज्यान-यताय 3 ज्यान-"यताय। mammm इसी प्रकार यदि न धन और सम हो तो लगातार यही विधि करने से T स ताय और यदि धन न विषम हो तो अन्त में - Gione २ ज्यायताय = १ यह होगा । इस लिये ·चलराशिकलन । ज्यानयताय% (न-१) (न-३) (न-५) ...१ । न (न-२) (न-४)....२ २ (यदि न सम )। (यदि न विषम)। ज्यानयताय (न-१) (न-३) (न-५)...२ न (न-२) (न-३)....३ यहाँ कल्पना करो कि न धन और सम है तो Eloy ज्यानयताय = न-न-३ न-५.३ १.. (१) - in- Has- ज्यान-'यताय = " weawadaimonomina * . २ ३ (२) अब यहाँ स्पष्ट है कि (२) प्रक्रम से श्रेढी में यदि मान ले आवो तो ज्यान-'यताय यह ज्यान-यताय इस से छोटा और ज्यानयताय इस से बड़ा है क्योंकि ऊपर के मान नीचे के मान से उत्तरोत्तर छोटे हैं । परन्तु पूर्व सिद्ध है कि ज्यानयताय ज्यानयताय m यह १ से ज्यान- यताय ज्यान-'यताय maa छोटा और से बड़ा है। इस लिये (१) और (२) के दहिने पक्ष का संबन्ध १ से न्यून और न-१ से बड़ा हुआ। इस प्रकार से V मले (न-२) (न न-३) (न- और -- ·उदाहरण। २९ ...... IND- T ३ ...... २.२४.४.६,६ (न-३) (न-२) न यह सिद्ध हुआ। १.३ ३.५५.७ (न–२) (न-१)न-२ रूप व्यालार्द्ध की परिधि जानने के लिये इसे वालिस का सूत्र Wallis's Formula कहते हैं। इस प्रकार से अनेक चमत्कृत सिद्धान्त नये उत्पन्न हो सकते हैं। अभ्यास के लिये और उदाहरण ताय -कय-य क+२य ज्या" V४+क 7 ताय ५+२य . 1 ज्या १-५य-य २९ ३। कायनलायताय me - न+१ 'यन+१ १) यलायताय ६ लायताय D य (लाय ---१) अय य+१ = । काय नक (लाय न) ४।। २ य लायताय ३य ( (लाय- ५।। - ईय (लाय -१) । । - २१ ( य+१ ) – २७ (य+१) 15 ताय या ३ { (य+२) + (य+ १)} ९॥ ॥ य (३+य ३) -६ (३+ य३) ३(३+य/३) (अ. १३अर' अर' + ६अर-और+अर) यदि र = अ+ कय ११ ।। १०। अ+कय) य ताय, यताय (१+२य) ·L+ चलराशिकलन । [ इर+१०० र+१०लार+ ----- २३] १ र ३र यदि र १+२य। ३य +१ - १२। f १+२य+३य २ १ ला [य] १ १३॥ ताय ४+५य+य ३ य+४ य+५ ताय (य+४)(य+५) (१+श्य)ताय १+श्य+३य १ سرا २ ३य+2 ला (१+ श्य+३य)+ AANTayana - 1 १६। १+२य)ताय ४+५ य+य ला (४+श्य+य) - ला OCIw mom (१+२य) ताय य-अ)+क २ १+२ . - anam- + ला! ( य-अ ) + क स्पयरे { (य-२) +४ } १८॥ S १+२य)ताय -४य+८ Man - १ Ja १ { (य--१) + ४यज्या रताय र. -यकोज्याइ+य य-कोज्याइ कोज्याइ = ज्याई स्प-१ ज्याइ २ यदि र १-य-कोज्याइ । 'ताय+य ला (य+/+य)य २०। य २ २ ता १+य AN २१। HANDRA त -य ताया य iame - ज्या-'य २२ । सिद्ध करो कि Japan ज्या-१ MAntinue यय य ·उदाहरण। ३१ अन्ताय कोज्या- HOM aupanema : -अ अताय ला २ अ+/ य+अ २३ । सिद्ध करो कि यय कि लि ওনা २४ । सिद्ध करो कि - wonlaena य/अ-य अ+/ अभ PA ताय २५। -- (१+य- य/य+१ ताय Howww Human [स्पय] २+कोज्याय । ३ २६ । - SE १ २७॥ ताय १+२कोज्याय hdmus- स्पइय+V३ स्पइयः ३ ३ २८ । पज्याप कोज्यापताष = ज्यारेष_पकोज्यारप ४ इकयताय +१ - १स्प' (इकय) इकय क य+क ताय = / य+कय + कला(/ य+क+/ य) 각 ज्यान्य - mometason ३य ८ + ज्यास्य १६ DARADosanon RAND २ | ज्या ३ यताथ = प-स्पष छे षताप = छेपण- १ स्पप २ ३३। हलयकोज्याअयताथ = खण्डचलानयन से सिद्ध करो कि इकय(ककोज्याअय + अज्याअय) अ+क सिद्ध करो कि अयज्यामय कोज्यानयताय m mes इअय { अज्या (म+न)य-(म+न) कोज्या(म+न)य } २ {+ (म+न) { अज्या (म-न) य-(म-न) कोज्या(म-न) य} २ { अ+ (म-न)} अय ·३२ चलराशिकलन । ३५। ताय ज्यायकोज्याय = ला (स्पय) ३६। S mpos- ताय ज्याय ताय २कोज्याय = ला (स्पद), और = ला (कोस्प (६-य)} = ला स्प (+)}} -- - ३७ । A ३८। कयताय २(अन्य) २+कोज्याय -ताय =ला ( २ य+ज्याय) २य+ज्याय ताय(लाय)म (लाय)म।' य म+१ ३९। त २ताय कोज्याय+ज्याय = १/२ ला स्प(+)} श्य+२ज्याय १+ कोज्याय ताय = २य स्प . गय स्पया HAAR - ग[+] MASH ommen गज्या यताय अ+ 1. कोज्याय क अ+क ताय ताय अ+कज्याय+गकोज्याय - अ+ग(गज्याय + कोज्याय) ताल ताय w - अ+ कोज्या(य-इ) -कोज्याल कोज्याइ Map कोज्याइ यदि = स्पइ, य-३% ल अब १४वें उदाहरण से सिद्ध कर लो। अन्यताय य - = उज्या अ/अय-य २अय-य ताय { S य-४+Vय-८य+२ om य-दय+२ ग्न-५ यन- रन- यन-५ Romami ---- ४६। S तापस्पनष = २न-१ mam ·उदाहरण । .....mom ant + ४७। नय य ला (अ)} न १)नय + (-१)नप यदि य = स्पष | {ला() ताथ = य'ला () + न(न-१)य ला (8) -न(न–१) (न-२)य ला ()} ४८। । ला (2) ताय = ला (१)} + १२य ला (इ) २–२४य ला (2) ला (अ) + २४य श (लाय)य ताय = लाय ला (लाय)-२ } { -४य ला (इ) १३ क क उज्या अंताय = र अय-यो उज्या । (२अय-य) - ५०। ५१ । सिद्ध करो कि अपज्यापताप - T. अ ताय अ य ला (लाय) ताय Pain D T २ इयकोज्या यताय = (१+ इ-") T पस्पपछे पताप = ५६ । अकग वृत्तार्द्ध के के केन्द्र पर एक कीट बैठाथा और दूसरा अ विन्दु पर । दूसरा परिधि के राह से और पहला केग व्यासाध के राह से ग विन्दु पर आने के लिये चला। दूसरा परिधि में अ विन्दु से जितनी चापात्मक दूरी पर पहुँचता था उसकी कोटिज्या से उस के प्रतिक्षण की गति को गुण देने और व्यासार्द्ध का भाग देने से जो हो उतना प्रतिक्षण पहला चलता था तो वतावो कि जव दूसरा ग विन्दु पर पहुँचा उस समय पहला कहाँ पर पहुँचा। ३० के ही विन्दु पर लौट कर फिर पहुँचा।

·चलराशिकलन। ५० । एक लड़के ने एक सीधी १० हाथ की पङ्क्ति में चावलों को बिछा दिया । उन चावलों को खाने के लिये एक जोड़ा कबूतर उतरे । नर एक सिरे से खाने लगा और मादा दूसरे सिर से। नर उस सिरे से जितना हटता जाता था उससे उसके प्रतिक्षण की गति में भाग देने से जो लब्ध हो उतनी माद की प्राति- क्षणिकगति है तो वतावो कि उस सिरे से कितनी दूरी पर नर मादा से मिलेगा। उ०७.९३ हाथ इति प्रथमाध्याय ।

·उदाहरण। द्वितीयाध्याय अकरणीगत भिन्न संवन्ध का चलानयन । ... , , १३ । यदि तात्कालिक सम्बन्ध का रूप *+कय+खय + ...+प्रयम ऐसा हो अ+कय+खय+ +पयन जहाँ अं, के, अ, क इत्यादि स्थिराङ्क हों और म, न धन और अभिन्न हों। यहाँ यदि न ले म बड़ा हो तो बीजगणित की साधारण भागविधि से अंश में हर का भाग देकर अभिन्न लब्धि ले आ सकते हो और शेष (जिस में कि सब से बड़ा य का घात न घात से अल्प रहेगा) के नीचे हर का हर लगा दो। इस प्रकार पूर्व भिन्न का रूप अभिन्न और भिन्न दो खण्डों के योग तुल्य जो होगा उस में अभिन्न का चल तो पहले अध्याय के सूत्रों से सहज में जाना जायगा परन्तु भिन्न के चलानयन के लिये पहले इस भिन्न को अनेक भिन्नों के योग के रूप में ले आने का यत्न करते हैं। कल्पना करो कि वह भिन्न है। जहाँ व और भ दोनों य के फल हैं और भ के मान में य का सव से बड़ा घात न है। लाघव के लिये मान लो कि भ में यन का गुणक १ है। कल्पना करो कि भ = (य-अ.)(य: -क)(य-२अश्य+अ+क)(य-रग य+ग+घ)थ अब यहाँ यदि भ = 0 ऐसा समीकरण हो तो इस में य का (१) एक मान = अ, सम्भव संख्या। (२) त तुल्य सम्भव मान = कर (३) दो असम्भव मान = अर+क:/-१ (४) थ जोड़े असम्भव मान, हर एक = ग.+घ/-१ समीकरणों के सिद्धान्त से स्पष्ट है कि सब खण्डों का घात अवश्य भ के तुल्य होगा जहाँ १+त+२+२थ =न । मानो कि कार काइ आ. य-अ. + +.. - mastepmoment कर)त- कार + (य-क) य-क.)तर खाय+गा २अध्य+अ+का + कात य-कर ·३६ चलगशिकलन +... d च य+जर च.य+ज. (य -गाय+ ग + घ) । (य-गाय + ग+घ)- चश्य+जब + य-गल्य+गः + घरे जहाँ आ, का,, का., खा, गा, चा, ज,, इत्यादि सब स्थिगई है। यहाँ यदि दहिने पक्ष के सब भिन्नों का समच्छेद विधि से योग करें तो स्पष्ट है कि अंश मान व के तुल्य होगा। अब इस सरूप कमीकरण में य के समान घातो के गुणकों को समान करने से स्थिगकों का मान व्यक्त हो जायगा। १४ । भ के मान में (य-क.)इसके अवशिष्ट खण्डों के घात को फा(य) कल्पना कगे और व को फ(य) मानो तो फ(क) फ(क.) फ(य) फा(य) फ(य) फा(का) फा(क.) य-क.) फा(य) (य-क.)नफा(य) (य-कान यहाँ स्पष्ट देख पड़ता है कि यदि य = क तो फ(य) फ(कर) फा(य) फा(क) फ(कर) इस लिये (य-क.) इससे फ(य) फा(य) यह निःशेष होगा । फा(क.) मानो कि य कर इस का भाग देने से लब्धि = फि(य) तो फ(य) फि(य) फ(कर) (य-क.)तफा(य) य-का 'फा(य)' फा(क.) (य-क.) इसी रीति से फि(कर) फि(क) फि(य)- -फाय) फा(कर फा(कर) क)त-'फा(य) (य-करतफा(य) य-कन फि(क) फा(य)निःशेष फा(क) होगा। मानो कि भाग देने से लब्धि = फी(य) तो फ(य) फी(य) फ(क.) (य-क) फा(य) (य-कर)त-फा(य) 'फा(य) 'फा(कर) फि(क) फा(क) (य-क)त- - ब १ %3D RAMA फि(य) mammamm यहाँ भी यदि य = कर तो य-का से फि(य)- Anand २ - य -का + - ·उदाहरण। १ फि(क) १ RMEDIANP यो बार बार क्रिया करने से भी स्पष्ट हो जायगा कि फ(य) इस का मान अनेक खण्ड भिन्नों में ला सकते हैं। (य-क)फा(य) जिनके मान क्रम से फ(क.) फा(क) यकत' फा(क) (य-क.)न-- इत्यादि हैं । यहाँ अत्यन्त स्पष्ट है कि फ(क.) फि(का इत्यादि फा(कर)' फा(कर) स्थिराङ्क है इस लिये १३वें प्रक्रम में जो आ, कार, काः इत्यादि स्थिराङ्क कल्पना किया है वह ठीक है । इस प्रकार आ,का, का, इत्यादि कोस्थिराङ्क ठहराना मिस्टर होमरशम काकस (Mr Homersham Cox ) ने अपने चलराशिकलन (Integral Calcul11s) में लिखा है । इस प्रकार अकरणीगत भिन्न को खण्ड भिन्नों के रूप में ला सकते हैं। इसी तरह यदि भ = (य-अ) (य-कर) (य-ख,) • ऐसा हो जहाँ अ., कर, ख., इत्यादि सब परस्पर भिन्न और सम्भाव्य संख्या कार तो +... ऐसा कल्पना कर सकते य-अ. हो फिर पूर्ववत् सरूप समीकरण से आ१, का, खा, इत्यादि के मान जान सकते हो। १५ । लाघव से भी आ१, का, इत्यादि का मान निकाल सकते हो कल्पना करो कि व - फ(य) और फा(य) = (य-अ) (य-क). तो भ फा(य) फ(य) फा(य) य-अ, ब आ१ - + mom य. कर य-ख खार । - + RAMANOHarawwwmore- MAR १ इस लिये फ(य) = आ. (य-क) (य---ख.) +का, (य-अ.) (य-ख.) ... + खा. (य-अ.) (य-क) इस सरूप समीकरण में चाहे य का मान जो मानो परन्तु समीकरण सत्य ही रहेगा इस लिये मानो कि य = अ, तो फ(अ.) = आ. (अ.-कर) (अ,-ख.) . . . (१) क्योंकि और खण्ड = 0 परन्तु फा(य) = (य-अ.) (य-कर) (य-ख)...

·चलराशिकलन। . .... इस लिये फा(य) = (य-क.) (य-ख.) + (य-अ.) (य-ग्व.) .. + (य-अ) (य-क) ..+ . . . य के स्थान में अ, का उत्थापन देने से फा (अ.) = (अ,-क,) (अ.-ख.). इस लिये (१) समीकरण का रूप फ(अ.) = आ. फा(अ.).. आ, = फ(अ) फा(अ.) फ(क) इसी तरह का = फ(ख) इत्यादि। फा(क.) फा(म्ब,) ५य-१००+१५१ (१) उदाहरण ताय इस का मान बतावा । य' य+६ रखा १ यहाँ ५य ....-१००य+१५१ य-५य+६ = ५य+२५+ MAMALRaathone ----य+? प-य+६ आ. कार =५य+२५ + MARomans + समच्छेद करने से, -५य+ १ = य(आ. + का.)-(३आ, +२का.) इस लिये सरूप समीकरण से .५आ.+कार -१ % ३आर+२का, .. आ, = ९, का, = ---१४, इस लिये ५य-----१००य+ १५१ ताय य-५य+६ १ ताय ताय = ६५य ताय + २५ २५ ताय+९ Hainment wom m श्य +२५ य+९ला(य-२)-१४ला(य--- यह तेरहवें प्रक्रम की विधि से आया है। १५वे प्रक्रम से निकालना हो तो अभिन्न खण्ड को छोड़ कर फ(य). यहाँ अ = २,क = ३, -५य+१ -५य+१ य-५य+६ (य-२) (य-३) फा(य) फ(य) = --५य + १, फा(य) = (य-२) (य-३) और फा(य) = २य-५ इस लिये आ. = फ(अ.) --५४२+१ फा(अ.) spirman - seal ·उदाहरण । - ॥ Motorammam १४, - फ(क) -५४३+१ -१४ और का, = फा(क) २४३-५ १ फिर पूर्ववत् क्रिया करो। देखो १५वें प्रक्रम से कैसा लाघव से आ और का, का मान आया है। S य य+१ (२) उ०। ताय इस का मान जानना है । १) (य+२) (य-३) यहाँ अ = १, क, = - २, ख, = ३, फ(य) = य + १ फा(य) = (य-१) (य+२) (य-३), फा(य) = (य + २) (य-३) + (य--१) (य-३) + (य-१) (य +२) इस लिये आ. Re- Mommam फ(अ.) फा(अ) ३ (-२) फ(कर) ३ online for का -- - ॥ , फार(क(शका ३ - फ(ख) १० खा, फा(ख) २४५ इन का उत्थापन देने से १ १ १ य+१ (य--१) (य+२) (य-३) य- १ ३ -- .) (य--) रय + ३) (य-३ य+२ ताय य--१) (य+२) (य-३) Aman ama mememoramme + = ला (य-३) + ला य+२)-ला (य-१) १६ । पूर्व भिन्न में यदि फा(य) = (य-क,)न फि(य) ऐसा हो तो पूर्ववत् कल्पना करो कि फ(य) फ(य) का का भ फा(य) य-क.)नफि(य) य-क.)न य-क.)न-१ कान फी(य) य-क, फि(य) जहाँ फी(य) और खण्डभिन्नों का योग है। फि(य) + यह ·चलगशिकलन । % 3D ऊपर के समीकरण में दोनों पक्षों को (य-~-क.)न से गुण देने से फ(य) फ (य) = का, + का. (य-क.)+ का. (य-क.) + .... फि(य) फी(य) (य-क.)न + फि(य) य के स्थान में क, का उत्थापन देने से फ,(क) कार फ (क) फ' (क) फ" (क) । २का. न-(क) - . इस लिये २.३का न-.-१ कान १श्य +९य+य+५ (१) उदाहरण ताय इसका मान जानना है तो य'-.---'५य+दय +४य---- ८ यहाँ ११य +९य +७य+५ ११य +९य + ७य +', य-यय +४य-८ (य-२)(य+१) ११य' +९य + ७य+५ कर = २, न = ३, फि(य) = य+ १ . फ.(य) = य+१ ३३य +१८य+७ ११य९य+७य ५ फै(य) य१ (य+१) ६दय+१८ २(३३य + १८य+७), २(११य +९य + ज्य+ ५) य+१ (य+१) (य+१) इस लिये फ.(क.) = ११४८+९४४+ ७४ २+५ _ ८८ + ३६+ १४+', ३ - ७ - wwm फ' (य) mpana amous % कार ३ फ.(क) = ३३४४+१८४२+७ २+१ १४३ = १३२ + ३६५७ १४३ ३८२ = १७५ ... १४३ ५२५ कार २(१३२+३६+७). १४३४२ और फ (क) + -- ९ . - १३५० २७ - planationmdham Aalaptopwimwami १०५०, १४३४२ ३००, २८६ ५८६ + + २७ २७ ms- काः ·अभ्यास के लिये प्रश्न । इस लिये भिन्न का रूपान्तर १४३ ३८२ + ३ (य-२) OM १ ११य+९य+जय+५ य-५य+दय+४य-८ - ताय २९३ १४३ ३ + ३८२/ + 6 ANIMAmatalaASARASHTRA ताय य+१ T काryana PaIA छ आर - -- - HANA + + २९३ १४३ ३८२ ला(य---२)+ ला(य + १) २७ ६(य-२) ९(य- १७। यदि भिन्न के हर में एक जोड़ा असम्भव राशि भी हो अर्थात् एक मान अ + क -१ हो और दूसरा अ--का तो मानो कि फ(य) फी(य) फा(य) य-(अ+का -१) य–(अ य-(अ-का का-१) 'फि(य) जहाँ फी(य) और खण्डों का योग है तो समच्छेद करने से फि(य) फ(य) = आ. { य-(अ---क/-१) } फि(य) + आइय-(अ+ क -१)} फि(य) + फी(य) { य--(अ+क/-१)। य-(अ-क -१)} {(आ, + आ.)य-(आ+ आ.)अ+क(आ.आ.)/-१ } फि(य) +फी(य) । य-अय+अ+क अब यहाँ य के मान में अ+क/ --१ अ-का .१ का उत्थापन कि य--२अय+अ+क= 0 अर्थात् य--२ अय-(अ+क) तव ऊपर के समीकरण का रूप फ(य)= { (आ, + आ३)य-(आर + आ३)अ + क(आ-आ.)/-१ } फि(य)...(१) ऐसा होगा। (१) इस में बार बार यदि य के स्थान में अय-(अ+क) का उत्थापन दो तो स्पष्ट है कि अन्त में दाय +ध = दाय+धं ऐसा स्वरूप होगा फिर इस में य के स्थान में अ+क/-१ वा अ-क/-१काउत्थापन देने से और असम्भाव्य तथा सम्भाव्य संख्याओं के गुणक समान करने से दा और धं - nion वा albul दने से स्पष्ट ६ ·चलराशिकलन । प्रकट हो जायँगे इन पर से (आ+ आ.) और (आ.+ आइ)अ भी प्रकट हो जायंगे। अथवा फ(य) आर आर फी(य) फा(य) य-(अ+कर -१) य-(अ-कर फि(य) आ,य-(आ अ-आ,क/-१)+ आइय-(आरअ + आइक फी(य) य-२अय+अ+क फि(य) + Rela aremeena MARDENdANIRUDROIN + - खाय+गा य-२अय+अ+क' फी(य) जहाँ य का गुणक ख है और अब. फि(य) शिष्ट गा हैं । अब पूर्ववत् समच्छेद करने से और य के समान घातों के गुणक समान करने से खा, और गा व्यक्त हो जायंगे । (१) उदाहरण - ताय अन्य इस का मान जानना है। १ १ men - + 3 यहाँ आ खाय+गा अभय अ+य)(अ-अय+य) य+ य-अय+अ समच्छेद कर अंश को रूप के तुल्य करने से = आध्य-अआल्य+आहे+खाय + अखाय+ गाय+गाअ य(आर+खा)+ य(अखा+गा-अआर) + आ + गाअ - - इस लिये आर+खा 01 अखा+गा-अ आ. १ = अ (आ,अ+गा) अ आ + अ खाः =0 गा+२अखा ...गा=-२ अ. खा -अ आर+अखा अआर अखा..१ = अ(आ, अ+ गा) == अ(-अखा-२अखा) ३ अखा - HIN ra wom M और गा -- ३- खा, आ, = २ अखा AMAN ww mmansamar २ ३अ इस लिये इनके उत्थापन से maina m S ताय +यर ताय ३(य + अ) - ताय य-अय+ १ - य--२ m ला (य+अ) meen ३ ताय प ३ Shreemand -अय+ ·अभ्यास के लिये प्रश्न । १ १ ला (य + अ) २य-अ-३ अय+अरे ताय - १ १ - ला (य+ अ) २य य-अय+ अ ताय १ Munam ताय 4 -अय+अ १ ताय % 3D ला( य+ अ) ला(य-अय + अं) + ३ २ ६ य-अय+अ १ १ ला(य + अ)- immatep- ला(य-अय+ अं) १ ताय यदि ल = य- - २अ ३ ૨ (य Mammion + mom १ १ १ Inted HINDI इला(य-अय+ अ)+ ३ २ ल+ ला ( य + अ)-अला(य- ला(य + अ)- १ २ १ D Home ला(य-अय+ अ)+ HEADLINE स्प१ श्या अ/३ २ ३ ६ ३ २ १ ANDROI स्प-१ - PEGaane श्य- ला(य --अय + अ)+ अ./३ अV ३ वा, १ = आ,(य-अय + अ)+ (खाय + गा)(य + अ) इस में यदि य = --अ तो १ = आर(अ + अ + अ) = ३ आ.... आ. = समीकरण में ३ इस का उत्थापन देने से ३अ = यअ य+अ+३अ (वाय+गा) (य+ अ) समशोधन से ३(खाय + गा) (य + अ) = २अ + अयय' दोनों पक्षों में य + अ का भाग देने से ३ (खाय + गा) = २अ-य ..खाय+गा%D इन पर से फिर पूर्वोक्त क्रिया करो। ३ अथवा इसी प्रक्रम के (१) समीकरण से यहाँ फ(य) = १ % { (आर+आ.)य-(आ. + आर)अ + क(आ,--आ.)V-१ } फि(य) (खाय + गा) (य+ अ) = खाय' + गाय + अखाय + गाअ = खाय' + (गा+ अखा)य + गाअ २ ma ·चलराशिकलन। खा(अय-अ)+ (गा+अखा)य+ गाअ = य(गा । अवा) +गाअmetime अखा (यहाँ खा = आ. + आ. । गा = (आ, + आ.)अ + क(आ.-आ.) -१ अ+अ. ३ । २ १मानने से अब य- (अ+ अ ३ -१) (गा + २अखा) + गाअ-अ खा । अ. ३१ -१ (गा+ अखा) * (गा +२अखा) + गाथ-अखा+ सम्भाव्य और असम्भाव्य के गुणक को तुल्य करने से अ (गा + २अखा) + गाअ-अ खा । गा + २अखा = ० .१ गाअ---अखा और गा=-२अखा गाअ-अखा -रखा-अंखा -३अखा ...खा- फिर अब पूर्ववत् क्रिया करो। १ D . १ % 3D - १ ३२ - - - 4. भ + १८ । यदि भिन्न के हर में एक जोड़ा असम्भव मान त वार हो तो पूर्ववत् व _ फ(य) खानय+गान खात,य+गात- + फा(य) (य-दय+घ)न । (य-दय +ध खाय+गार फी(य) सा मानने से य-दय+ध फि(य) फा(य) = (य-दय +ध)फि(य) ऐसा हुआ । फिर समच्छेद करने से फ(य) = (खान्य + गात) फि(य) + (खात-श्य+गात-) (य-दय+ध) फि(य) + .... + (य-दय+ध)नफी(य) (१) अब यहाँ य के स्थान में उसके असम्भव मान का उत्थापन दो अर्थात् य-दय+ध = ० के मानो तो ..... (१) का लघुरूप फ(य) = (खात + गात) फि(य) यहाँ १७वें प्रक्रम से खात और गात का मान निकाल समशोधन करने से (१) समीकरण का रूप ·अभ्यास के लिये प्रश्न । हुआ। .. (२) Loanta फ(य) - (खान + गात) फि(य) = (खान-- + गान-) (य-दय+ध) फि(य)+. यह सरूप समीकरण है और यहाँ इहिना पक्ष य-दय +ध इससेनिःशेष होता है इस लिये वायाँ पक्ष भी निःशेष होगा कल्पना करो कि भाग देने से लब्धि फ (य) है तो फ(य) = (खान- + गात-.) फि(य) + (खान-- + गान-२) (य-दय+ध) फि(य)+ . . यहाँ भी यदि य -दय + ध= 0 तो (२) का रूप फर(य) = (खान-- + गात-,) फि(य) इस से १७ प्रक्रम से खान-१ और गान- निकाल फिर समशोधन और य-य+ध का दोनों पक्षों में भाग देने से बायें पक्ष को फ.(य) मानने से और य-दय +ध = ० करने से इसी प्रकार खात-२, गान-२ इत्यादि भी व्यक्त हो जायंगे। (१) उदाहरण क(य-३य-२) ताय इसका मान जानना है तो (य+ य+१) (य+१) य-३य-२ यहाँ खाइय+गार खाय+गार (य +य+१) (य+१) (य+य+१) य+य+१ फी(य) (य+१) तब य-३य--२ = (खाय + गा३) (य + १) + (खाय + गार) (य + य + १) (य + १) + (य+ य + १) फी(य).....(३) इस में य+ य+ १ = ० करने से २ = (खाश्य+गा.) (य + १) : (खाश्य + गा) (य+२य+१) य' के स्थान में - य - १ का उत्थापन देने से ३= (खाश्य + गार) य खाइय+गाश्य =-- खाश्य खा+गाय इस लिये-४ = गा.-खा, और -खा...३%= खार और खागा. (३) इनका उत्थापन देकर समशोधन करने से य ३य ૨ (३य --- १) (य+१) - wwwned m mamme MA - wwomen -- -- १-गार mummpua ·चलगशिकलन । - . Mustan फिर इस - (ग्वा,य + गा.) (य + य + १) (य+ १) + (य + य + १) फी(य) दोनों पक्षों में य + य+ १ का भाग देने से (३य + १) = (खा.य + गा.)(य + १) + (य + य +१)फी(य). (४) में य+य+१=0 मानने से (श्य + १) = (खात्य + गा.)(य+ १) = (खा,य+गा.) (य + य+१+ य) - (खा.य+गा.) य=-खा. (य+१)+गाय । इस लिये-३ = --खा+गा, और -१ =-खा... १ = खा. और -२-गा. अब (४) में इनका उत्थापन दे समशोधन कर य+य +१ का भाग देने से - (य-१)= फी(य) फी(य) य+१ (य+१) (य+१) (य+१ (य+१) PORATARA - + DAARAMBINA इस लिये १ + य+१ (य +१) Sou 40 हत्य S ताय Name memama य+य+१) य-२ २ताय ताय ताय+ य+य+१ (य+१) य+१ यहाँ बारहवें प्रक्रम से सब का मान जान सकते हो पहले खण्ड का यदि मान व्यक्त हो तो । पहले का मान जानने के लिये पहले मानो कि तार इस का मान जानना है तो (र+अ)न तार १ (र+अर)तार- तार (र+) (र + अ)न-२ S ~ enc ap (+ अन रतार-र manupa अं(र+अ)न परन्तु खण्ड चलानयन से रवान *शन कर++S अरे २(न +अ)न अ (न- लिये (र+अ)न १) (र+अ)न- १ oM तार - mamimaan (र+अ)न तार इस लिये - twitte अ रन ·अभ्यास के लिये प्रश्न । १ तार १ +अन-२)) (र + अ)न- (अ) इस (अ) सिद्धान्त को अच्छी तरह से सीखो। ३य--१ ऊपर के उदाहरण में ३(य-3) (य + य +१) (य + य+१) ३(२य +१-१-३) ३(२य + १) (य+य+१) (य+य+१) (य+य+१) - १ इस लिये ताय (य+य +१) | (२य + १) ताय (य + य +१)--2) (य+य+8 पर (+य ३ य+य+१ य+य+१) तार ताय (य+३) +। यदि र = य+३ - , (र अ) ताय (य+य+१) और = (अ) सिद्धान्त से - houTION ताय य+य+१) (र+अं) २य+१ २(र अ) +.३ - र+ २ alona M MEANMARRIA स्प? S في العا २ २य+१ ३ य+य+१ २य Pawarmernmover-EASON २य+१ ३ m - Mun. ताय रय+१ D + य+य+१ य+य+१ ३ ३(२य-४) - ३(२य + १-५)_ ३(य + १) य+य+१ य+य+१ य+य+१ १ और य-२ amam - य+य+१ य+य+१ इसलिये -ताय = 2 / (२य + १)ताय - (य+ य+ १)-५ य+य+१ ताय य+य+१ तार स्प-२ य - ३ला(य' + य+१)- २ ताय । और ताय = ला(य + १) इन सबको इकट्ठा करने से - इला(य+य+१)-५. aan २य+१ V३ R V३ ·१ S - ParPORN -स्प १ २य+१ 1/३ (य+१) ) य+१ चलराशिकलन। ३य- 'य + य+१) ३ २य+१ २ २(य+य+१) य+य+१ 1' ३ रस्प २य+१ इला(य+ य+ १)-५ य+य+१ ३ २ताय ૨ (य+१) य+१ ताय ला(य+१) य+१ २ २ताय ताय+ ताय+ (य+य+१) य+य+१ ream 4 Reemaamanner । Ram ( - इस लिये ताय (य देय - 5 ३ य+१ - DHAR Tar २य+१ य+य+१ -स्प २(य+य+१) ३ ३ + ला (य+ य+१)- animal Gawatabaswoman २ -ला (य+ १)। य+१ तार S (र अ)न इस में यदि अ. स्पष = र तो- अ.ताप कोज्याप -तार और (र+अ)= अॅस्पष+ अ अॅ अॅ(छेष) कोज्याप इस लिये S - अ.ताप कोज्याप अ कोज्याष अ.ताप.कोज्यान अनकोज्याष (र+अ)न प[- अनन-ताषकोज्यान-प %D ज्याष म-१कोज्याम- (म-१)(म-३)कोज्याम-'प+... wa मन-र । कोज्याम-घ (म-२)(म-४) (म-१) (म--३) (म-५)....१, अरेन-'म(म-२) (म-४)......२ १२वें प्रक्रम के १५ वे उदाहरण की विधि से। यहाँ २न-२ = म । इस तरह सेभी स्नान इसका मान जान सकते हो ।

·अभ्यास के लिये प्रश्न । १९ । ऊपर के प्रक्रमों से स्पष्ट है कि किसी अकरणीगत भिन्न सम्बन्ध के चलानयन के लिये जो खण्ड भिन्न किये गये हैं उनका चार प्रकार का रूप होता है an - आ.ताय (२) काश्ताय य-अ य-क.)त (खाय+गा)ताय खाय+गा (३) य-अ.य+अ+क: य-अ.)+कर चाय+जा (४) ताय इन में (१), (२), (३) का चलानयन तो । (य-ग.)+घ, पहले कर आये हैं रहा चौथा उसको यदि चाय+ज चय---च ग+च,ग+जर ताय । (य-ग.) +घ । । (य-ग.)+घ, च,(य-ग.)ताय च,ग+ज, ताय (य-ग.)+घ । । (य-ग.) +घर यहां पहले खण्ड का चल पिछले प्रक्रमों से स्पष्ट है कि मा - - यह है (य-ग) + य ताय = २(थ-१ (य-ग.)+घरे दूसरे खण्ड में यदि य-ग) = र ता च,ग, + जर स्थितार । इसका मान १८वें प्रक्रम के (र +1) (अ) सिद्धान्त से स्पष्ट है, यहाँ च,ग, +जर = स्थि । अब इन चारों भदों के चल से अकरणीगत भिन्न सम्बन्ध का चलानयन कर सकते हो। २० । ऊपर के प्रकारों के बल से अनेक चलानयन कर सकते हो। जैसे यदि 'फ(य)ताय इस का मान जानना हो तो यदि र = य तो तार = २यताय फा(य') इस लिये ताय = तार और (फ(य)- फ(र) अब यहाँ यदि र के मान फा(य) फा(र) सब सम्भव और परस्पर भिन्न हो तो खण्ड भिन्न का कोई मान फ(अ). १ NATIONAVE १ एसा होगा जहाँ अ.,र का कोई मान है। फा(अ) र -अ फा(अ.) य-अ, फ(अ.) फा(अ.) य-अ. फा(अ) ताय से ताय फ(अ) इस पर ·चलगशिकलन। ताय maa का ma- RAM यहाँ चाहे अ, धनात्मक वा ऋणात्मक हो १२वं प्रक्रम से । मान जान सकते हो। यदि र के मान में एक जोड़ा असम्भाव्य राशि हो जिनका मान अ+का -१ और अ-का-१ हो तो इनके वश से खण्ड भिन्न संबंध का मान (खाय+गा)ताय (खाय+गा)ताय जहां ग = अॅ+क। यहां यदि (य-अ) + क य--२अय+ग अ-गकोज्यारइ तो इस भिन्न का रूप : (खाय + गा)ताय य-२गय काज्यारह - ग (खाय+गा)ताय (य-रय ग कोज्याइ+ग)(य+रय ग कोज्याइ-ग) इस लिये पूर्ववत् कल्पना करो कि खाय+गा खा.य+गा, य-२यगकोज्यार+ग यं-रयाग कोज्याइ+ग RS HISTLNDAR खाश्य+गार य+२य ग कोज्याइ+ग इस पर से पूर्ववत् स्पष्ट है कि खा. - mue Namaste . खाग-गा गा खार गा=गा इनका उत्थापन ऊपर के २ग ८गरेकोज्याई खण्ड भिन्नों में देने से और थोड़ा सा परिवर्तन करने से (खाय + गा)ताय खाग--गा य-श्या ग कोज्याइ+ग य--२अय+ग ८ग'कोज्याइ य +२य ग कोज्याइ+ग amaANSINGH wwamren WIRTH real खाग+गा + [स्था गज्याइ] २य ग ज्याइ -य wmummoner ४गज्याइ ताय HIRODHNAKoom २१ । यदि इस का चल जानना हो तो इसे खण्ड (य-अ)म(य-क)न भिन्नों के रूप में न ला कर भी नीचे की युक्ति से सहज में चल मान जान सकते हो। कल्पना करो कि य-अ = ( य-क) र तो य% mite १ . अ-कोर ..य-अ = अ-क और ताय% - . MINImamsamwadualsin -क)तार (१ ऊपर कमान ma ·उदाहरण । में इनका उत्थापन देने से ) (य-अम(य-क) ताय -रम म+न- तार र (अ-क)म+न-र इस का मान अव द्वियुकपदसिद्धान्त से सहज में जान सकते हो। जैसे। ताय (य-अ) (य-क) यहाँ म = १ । न = ३, म+न-२% 31म+न-१=३ - इस लिये र)म+न- Imausam तार RAMA ताय य -अ)(य-क) -२र+र तार र(अ--क) '(अ-क)म+न- र(अ-क or । - लार---र+ इस मेंर के स्थान में अ क) का उत्थापन देने से य के रूप में ऊपर का चल सिद्ध हो जायगा । यहाँ यदि अ = क तो ऊपर के सिद्धान्त का व्यभिचार होगा। य माताय २२॥ (अ + गय)न इस के चलानयन के लिये जहाँ म और न अभिन्न संख्या है और य = म।'ताय मानो कि अ+गय =र तो तार-गयताय'. ताय :- २ गय इन का उत्थापन देने से य यम- यताय _यम . तार (य)मतार (अ+गय)न गरन (र-अ)मतार यह ऐसे रूप में आ गया जिसका चल द्वियुक्पद्- २गमारन सिद्धान्त से ला सकते हो। MAM - asini wwwe andom रन गरन m ऊपर की युक्ति से स्पष्ट है कि फ(य) यताय इस का चलानयन भी (अ+गय)न अत्यन्त सुगम है यदि फ(य) में य का कोई अभिन्न ही घात हो तो। ताय mammelanmaaminim यन-१ इस के चलानयन के लिये जहाँ न धन और अभिन्न है मानो कि यन...-१ = ० इस समीकरण = 0 इस समीकरण से य का एक असम्भव मान अ. तो दूसरा असम्भव मान अ यह होगा यहाँ रत V अ = कोज्यात है HORAHIMA ·चलगाशिकलन। , (चलनकलन का ८८वाँ प्रक्रम देखो वा डेमाइवर का सिद्धान्त ) जहाँ त का मान १, २, ३ इत्यादि धन संख्या है। यहाँ १४वें प्रक्रम से यन.--१ इस के एक खण्ड भिन्न का मान जब १ तो नअन (य-अ. नअन (य--अ.) अ. यह होगा और दूसरे का न(य-अ.) न(य-अ) जहाँ य = अ. इन दोनों खण्डभिन्नों का योग करने से sautana D MANOHina D १ अ. [ -] Aman योग य--अ. (अ. + अ) य--२ एसा हुआ । नय अ+ अय+१) ता इस में अ+ अ = के स्थान में २कोज्या का उत्थापन देने से MOHARAJ Ham Awapana २ता २ यकोज्याप-१ और -=ष मानने से योग पेसा होगा न य-२यकोज्याप+१ जिस का चल १२वें प्रक्रम के १०वें उदाहरण से कोज्याष ला (१-२यकोज्याष + य) २ज्याष [ य-कोज्याप सा होगा। HAMARI ज्याप यहाँ न के सम और विषम के वश से दो भेद होंगे। (१) मानो कि न = २म । इस स्थिति में यन.--१ = यम-१ = ० इस में य के दो मान+१,-१ ये सम्भव होंगे, इस लिये ताय १ S २म त त १ Dont- य+१ ++ १. से गुणित कोज्या ला (१-२य कोज्या +य) इनके मान जो त के स्थान में १ से ले म-१ तक उत्थापन देने से हो और उस में य-कोज्या इन के मान me १ से गुणित ज्या ताप १ [- maunimom ज्या म ·उदाहरण। जो त के स्थान में १ से लेम-१ तक उत्थापन देने से हों। यहाँ त के स्थान में १, २, म-१ इन का उत्थापन देने से जो मान हो उन का योग क्रम से यौ कोज्यानला (१-२ य कोज्यान" + य') और . 4 -7 यौ ज्या स्प य-कोज्या मानो तो ऊपर का समीकरण म ताय न omteam Waisa - ĐT यम २म य+१ -- ता १ . ना ज्या wp- (१) [- Awana RAATMIDDHISMILINOMARA यो कोज्याला (१ -२य कोज्यात" + य) २म य-कोज्यान ज्या त (२) कल्पना करो कि न = २ म+१ तो ताय ला(य-१) .१ २म+१ S Human म+ १ + यो कोज्या २त २म १ ला(१-२यकोज्या २त + य२) २म+१ २म+१ योज्या-श्ता य-कोज्या स्तर २ म+१ MAwammam २+ ज्या AMNAMA २म+१ यहाँ यो का मान त के स्थान में १, २, ३ . . . . म का उत्थापन देने से जानो। २४। 'यम-ताय इस का मान जानना हो जहाँ म, न से छोटा HOMEma- Husha है तो यहाँ भी पहले के ऐसी क्रिया करने से पक खण्ड भिन्न का मान अम- अभ न अन-' (य-अ) न(य-~-अ.) यह होगा यहाँ भी अ, , अ- दोनों य के यह और दूसरा न(य-अ कोई एक जोड़ा असम्भव मान हैं । इस लिये दोनों खण्ड भिन्नों का योग करने से । [य -म ने Ammad २ m न य(अ + अम)-(अम +अ (म-१)) य-य(अ+ अ)+१ ॥

·चलगशिकलन। २ यकोज्यामष-कोज्या (म----१) य-२यकोज्याप+१ -यह हुआ। जहाँप = रता । यहाँ त्रिकोणमिति से यदि कोज्या (म-१)प का मान Jo- कोज्यामप. कोज्याष+ज्यामष. ज्याप इस रूप में ले आवो तो वही मान २ यकोज्यामष--कोज्यामपकोज्याष-ज्यामपज्याप य-२यकोज्याप+2 १ । (२य-२कोज्याप)कोज्यामप ज्याप य-२ यकोज्याप+१ (य-कोज्याप) + ज्या प ऐसा हुआ इस लिये १२वें प्रक्रम से - यो कोज्यामप-ला(य -२यकोज्याप + १) - mundatimemutne यम-'ताय Am mumAMHAMONDAama meya- (-१)मा womanamam Gana- RameemaandaashINA - यौज्यामष स्प | य-कोज्याप। + ने ला (य-१) + "ला(य+ १) ज्याप यदि न सम हो जहाँ यो का मान त के स्थान में १ से लेन १तक का उत्थापन देने से है। यमताय इस के मान में असम्भव के वश से जो खण्ड चल यन-१ उन को पहले दो खण्डों में लिखा है और सम्भव के दो चल अन्त में हैं क्यों कि न का मान सम होने से य.---१ = ० इस में य का एक मान + १ दूसरा -१ दो सम्भव आते हैं और भिन्न का मान कोज्यामप(य-कोज्याप)--ज्यामपज्याप = नत्यन) नियम + २ यौ य-रयकोज्याप+१ और यदि न विषम हो तो यन-१ = ० इस में य का एक ही सम्भाव्य मान + १ होगा, इस लिये भिन्न का मान 르 कोज्यामष(य-कोज्याप)-ज्यामपज्याप य-२यकोज्याप+१ तब पहले के ऐसा यम-ताय यं मला (य-१) + + यौकोज्यामपला(य-२यकोज्याप + १) यन 획서 १ - AAMAN nudo- Immumnamam MAAMADAMILMORA यह होगा - -१ यौज्यामप स्प य–कोज्याप] यहाँ त के स्थान में R AN ज्याप ·उदाहरण। S - - - made १, सेन- तक का उत्थापन देने से यो का मान जानना । यम-'ताय इस का मान जानना हो जहाँ मन से छोटा यन+१ है तो यदि न सम हो तो यन + १ = 0 इस में य का कोई सम्भव मान न आवेगा इस लिये एक सम्भव मान यदि अक्ष १ कोज्या + ज्यान/-१ और दूसरा अ' कोज्या + ज्या/-१ कोज्यान ज्याम -१ मानो तो एक खण्ड भिन्न का मान अम- अम अनन(य-अ३) न(य--अ.) यह हुआ इस लिये कोई दो मानों का योग कोज्यामप(य-कोज्याप)-उमामपज्याप जहाँ प = ना य-रयकोज्याप+१ तब पूर्वप्रकार के ऐला। १ यौकोज्यामपला (य-२यकोज्याप + १) यन+१ य-कोज्याप योज्यामप स्प-१ जहाँ त के स्थान में १, ३, ५, - यह और दूसरा- न(य-अ) मारमा - - न यम-ताय 믹 १ - होगा इस - mummen- ज्याप ७ . . • न-१ का उन्थापन दे कर यो का मान जानना होगा। और यदि न विषम हो तो यन + १ = ० इस में य का एक मान -१ यह सम्भाव्य लिये यम-ताय _(-१)म-१ ला(य+१) यन +१ य-कोज्याप - यौकोज्यामषला(य-२यकोज्याप +१) + यौज्यामपस्प' यह होगा जहाँ न के स्थान में १, ३, ५ . . • न-२ का उत्थान देकर यो का मान जानना है। फ(य) २६। इस का मान खण्ड भिन्न में जानना हो जहाँ = ग.+ग,य+गाय +...+गम--यम- जहाँ न से म छोटा है वा समान । तो न के सम मान में यन..--१ = 0 इस में य = + १, ---१ ये दो यन ·+ १ परन्तु अ, = कोज्या २त . %- बलराशिकलन। मान सम्भाव्य हैं और असम्भव मान में कोई एक जोड़े का मान अ., अ मानो तो इन दोनों से उत्पन्न खण्ड भिन्न क्रम से अफ(अ.) और अफ(अ) होंगे, इन दोनों का योग न(य-अ.) न(य-अ) १ { अफ(अ) + अ 'फा(अ.)} य-फ(अ.) + फ(अ.-१)} (अ.+अ )य+१ २" + ज्या अ. कोज्या ज्या त - फ(अ.) = ग. + ग, अ + ग, अ+ ग, अ + . . . . अफ(अ) = ग. अ.+ग, अ+ग,+ग, अॅ+ अफ(अ.) = ग. अ. + ग, अ + ग, अ + ग. अ." +. इस लिये अफ(अ)+ अफ(अ) = २गकोज्याष + २गकोज्यारष + . . . + २गम-कोज्यामप और फ(अ.) + फ(अ) = २ग. + ग,कोज्याष + ग:कोज्यारप+ . . +२गम-कोज्या (म-१)ष फ(य) _फ(-१) (-१)न-'. फ(१) १ तब य--१ ने यौ(गकोज्याप + · · · + गम- + गम-कोज्यामप)य य-श्यकोज्याप+१ यौ । ग+गकोज्याप+. . . • + गम-कोज्या(म-१)प । य--२यकोज्याप+१ यहाँ त के स्थान में १, २, का उत्थापन देकर यो का मान जानना । यदि न विषम हो तो य--१ = ० इस में य का एक ही + १मान सम्भाव्य होगा इस लिये ऊपर के मान में पहला खण्ड छोड़ देना चाहिये और त के स्थान में १, २, का उत्थापन देकर यो का मान ले आना चाहिये। फ(य) २७ । इसी प्रकार यदि इस का रूप खण्ड भिन्नों में लाना हो तो यन+१ ऊपर की युक्ति से ला सकते हो विशेष इतना ही है कि अ, का मान कोज्याम + ज्यानग/-१ यह कल्पना करना चाहिये जहाँ त के स्थान में १, ३, ५, न-१ इत्यादि का उत्थापन देना चाहिये यदि न सम हो और यदि न विषम हो तो १. ३. ५. . . • न--२ का । + यन - suman-mornimammy Imp4 meas- ·उदाहरण । २८ । इस प्रक्रम में क्रिया समेत कुछ उदाहरणों को दिखा कर इस अध्याय को समाप्त करते हैं। यताय (१) उदा० इस का कत्रा मान है। (अ-~-य) यहाँ २२वें प्रक्रम से ५ = २म + १..म = २। न = २। ग = -१ और अ के स्थान में अॅऔर (अं—य') के स्थान में र का उत्थापन देने से । यताय (र -अ)मतार (अ-य) ग २गर - Ja तार मनन १ तार र-२रअ+ २गर - BARSHAN + अ तार तार तर तार र 므 OM १ -२अलार- १] १. [र- [अ- MonADURI --२अंला(अं-य)- को छोड़ देने से wmommmon- + अला(अ-य)। स्थिराक + २ - २ २(अ-य) यही उत्तर हुआ। ताय (२) उदा० । य-१ इस का क्या मान है। OM me- यहाँ २३वे प्रक्रम के प्रथम समीकरण से न = ४। म = २ और त के स्थान में १ का उत्थापन देने से ताय य-१ यम-१ २म य+१ + यौकोज्यानम ला (य-२यकोज्यानम + १) -योज्यात स्प S + त 'य-कोज्याम ज्याम mms Pame + कोज्याला (य-२कोज्या + १) य+१ य-कोज्याई - ज्या इस्प-१ ज्या ताय यही उत्तर हुआ। amitter =1ला स्प- य% Repres ईस्प-१ न य+१ ·चलराशिकलन । ताय १ १ (३) उदा० इस का क्या मान है। यहाँ भी २३वे प्रक्रम से न = ६। म =३ और त के स्थान में १, २, का उत्था- पन देने से क्योकि २=म -- यौकोज्या ताला (य-२यकोज्या म+१) कोज्या मुला (य--२यकोज्या + १) + कोज्याला (य--२यकोज्या २+१) =३ ला (य'-य+१)-ला (य + य + १ और यौज्यात स्प ज्याम = ज्यास्प य-कोज्या + ज्यास्प य-कोज्या ज्या ज्या V३ ३ २य १ २ इन सब का (१) में उत्थापन देने से [य--कोज्याङ्क . avran 3 १ १ य १ - साथ - लाय-१ ला(य-य+१) ला(य + य + )} स्प [य] स [य] ]} यही उ J हुआ। (४) उदा० ताय इस का क्या मान है - ' १ यहाँ २३वें प्रक्रम के (२) समीकरण से न ३। म = १ और त = १ । तब - S- ताय यम- - ला(य-१) २म+१ + यौकोज्या३ता ला(१-२कोज्या २तम +य) २म+१ योज्या २ तात २म+१ स्प-१ [थ-कोज्या य-कोज्या २तम समा१ २म+१ T २म+9 water = लाय-) +3 कोज्या में ला (१-२यकोज्या+य) ई ज्या भू स्प- [य-कोज्या ] ·अभ्यास के लिये प्रश्न । श्य+१ = ला(य-१)- ला(१+ य + य)- 1 ] (य-१) य+य+१ tand- ला स्प [२थ ) va याताय (५) उदा० इसका मान क्या होगा। २४ २ता यहाँ २४वें प्रक्रम से म=५। न ६ त१,२। ष = - तव , S nilioni यम-'ताय _ ला(य-१) . (-१)म यन-२ ला (य+१) + यौकोज्यामपला (य-२यकोज्याष + १) योज्यामप स्प-२ य-कोज्याष । न ज्याष - ला(य-१) ला(य + १) ६ ६ + 4 { कोज्या ५४४ ६ Nama कोज्या ५२ लाय-२यकोज्या ३ + १)} ला (य-श्यकोज्या + १)} { ज्या ५४ .]} -: {ज्या ४ प [ य-कोज्या ] ५४२ य-कोज्या है usta T ६ ज्या HARA ज्यान - - य-१ +ला (य-य+ १)-ला(य + य+१) य+१ + १ (स्व [२२-१] + स्प- [२य+]] श्या 'श्य+ BANGA य-य+१ +वला य+ य+१ २/३ स्प +स्प य+]} - य+१ यही उत्तर हुआ। यताय (६)उदा० इसका क्या मान है। य-१ यहाँ भी २४ वे प्रक्रम से म= ४ । न = ५। त= १, २, ष = २.४ इस लिये य , .

·६० মুহাঙ্গণ। १ यन-१ ज्याप T PREDIOMAHAPOONALIta anemmom ३ यताय = ला(य-) + यौकोज्यामपला(य -२यकोज्या + ?) य-कोज्याप २ यौज्यामप स्प ला(य-१) - १ कोज्या ला(य-२यकोज्या२+१) + कोज्या 144 ला(य-श्यकोज्या + १) } - ज्या स्प य-कोज्यारे + ज्या-१६ स्प- य-कोज्या ज्या ज्या ला(य-१) + : ज्याला (य -२यकोज्या७२+१), Feed ५ } UNOPHESAR up . - -१ कोज्या३६ला(य' + २यज्या५४+ १); य-कोज्या७२ + ३ कोज्या१८स्प- + ज्या३६ स्प- Marathi य+कोज्या३६ ज्या३६ ज्या७२ ला(य-१) ज्या१८ . ला(य--२यकोज्या७२ + १) २) ज्या१८ २कोज्या१८ला(य+ यज्या५४ + १) २कोज्या१८ + स्थ- [र- कोज्या७२] + २ज्या१८५ [य + कोज्या३६ ३६] AM- ज्या७२ ज्या३६ - -१ यि इसका क्या मान है। यताय यही उत्तर हुआ। य 'याताय (७) उदा० यहाँ २५वे प्रक्रम से न = ६ । म = ५, त = १,३,५ और ष = F", यम-'ताय ने यौकोज्यामषला(य-२यकोज्याष + यन+१ य-कोज्याष यताय यौज्यामप स्प-१ ज्याष य+१ ५ OM लिये HMM- इस लिये ] = या Pawan ·अभ्यास के लिये प्रश्न । A ६ =-६ । कोज्याला(य-२यकोज्या + १) + कोज्या"ला(य-श्यकोज्याइ + १) + कोज्याला(य-श्यकोच्या + १) +-+ ज्या स्प- [य-कोज्या ] + ज्यासा [य-योज्या] 'य-कोज्या + ज्या२५"स्प ज्या ३ला(य -य'३+ १)- ३ला(य +य/३+ १)} + {१ स्प" [ २३] + स्प'य + स्पा [ २य ११३]] १. स्प स्प' (२य- ३) + स्प" (२य +\v ३) स्थय लाय-या ३+ यही उत्तर हुआ। V olur ॥ २ । १ 'यताय (८) उदा० इसका क्या मान है। य+१ ५ hemama यहाँ भी२५वे प्रक्रम से न = ५ । मत १,३१५%, इस लिये (-१) मला(य-१) यम-'ताय यना Homen ~ला(य-१) - यौकोज्यामपला(य-२यकोज्याप + १) + * यौज्यामप स्प- [थ-योज्याप] - ('यताय ११ कोज्या ला(य-२यकोज्या ६ +१) ला(य-१) - ५ -]} TO T ज्या + कोज्या १२"ला(य-२यकोज्या +१ 'य-कोज्या य-कोज्या +३ ज्या स्य + ज्या-२" स्प- ज्या ला(य-१) + { कोज्या३६ला(य-२यकोज्या ३६ + १) - कोज्या ७२ला (य+२यकोज्या७२+ १)} thma- ·चलराशिकलन । + ६१ ६ य+कोज्या७२ +ज्यार स्प [य "यकोज्या३६ ज्या३६ स्प-१ ज्या३६ ला(य-१) ७२] ७ ज्या७२ - कोज्या३६, ला(य-श्यकोज्या३६ + १)-२च्या३६ला(य + २यकोज्या७२ + १ + SAROO २ज्या३६ | mmumpinema SEAN ताय 약 य-कोज्या३६ य+कोज्या७२ +२कोज्या३६ स्प स्प ज्या३६ ভয়ই यही उत्तर हुआ। '२+य (९) उदा० यः-१ इस का क्या मान होगा। यहाँ २६वें प्रक्रम से ग. = २। ग = 0। गः = १ । फ(य) = २ + य । न = ६ और, त = १, २ । ष = २.४" इस लिये फ(य) - फ(-१) (-१)न-१ . फ(१) १ यन-१ य+१ न य-१ + यौ(गकोज्याष + .. + गम-कोज्यामष)य य-२यकोज्याष+१ यो ग. + ग,कोज्याप + ... + गम-२कोज्या(म-१)प } य-२यकोज्याप+१ mamm-- TT १ +9 + य-२यकोज्या २+१ (२कोज्या + कोज्या३")य-२-कोज्या" +3. य-स्यकोज्या "+१ (१-१)य-२+३.१(-१+ १)य-२+३ = ३ - -३ या +3 य-य+१ य+य+१ २+या य-य+१ य+य+१ य-१ २+य लिये ताय ताय ताय =३ ला य- य+१ य+य+१ य-१ -३ला २य+१ स्प-१ २य-१ ३ V३ V३ ३ १ १ ३ parma य-य+१ १ ला यर श्य ३ - Mamamalines ·अभ्यास के लिये प्रश्न । ६३ - य-१ य+१ + स्प-१ यही उत्तर हुआ। इस तरह से विद्यार्थियों को चाहिये कि उदाहरणों के रूप के अनुसार जहाँ जिस प्रक्रम का प्रयोजन पड़े उसे अच्छी तरह से समझ कर चलराशि का मान ले आवें। अभ्यास के लिये प्रश्न । सिद्ध करो कि parman- - लाय। २य+३ १।। (य-१) १ला ताय -- य+य-२य ६ य+२ य"-३ ताय = ला (य-२) (य+३) (२य+१) य+१)/ य यह ताय:ला य(य+१)(य+२) (य+२) mammu +ला {(ब-१) -1 HINDIAN । ६ प (य-) ज्य ताय य-२ य-य-१२ य+२ ताय (य-१) २१/३ स्प-१ य--१ य+य+१ श्य+१ 5 ३ । । २य ताय = य-१४य + १२८ ला (य+४)-५४ ला (य+३)। य+७य+१२ ८अय-१२ ताय = १० स्प ला य-अ १ ४ ८। ROMAARom ६य ताय य+य-२ । Jammu ला +२/२ स्प य+१ S ट्य-६)ताय य-य-श्य = ३ लाय+ ५ ला(य-२)-८ ला(य+१) । य ४ताय य(य + य+य+१) लाय-ला(य+ १)-ला(य + १)-२ स्प' य । or mpuA %3D ४ताय (य-१)ीय + १) ला(य+ १)-ला(य-१)- +स्प-या ammes य+ ·६४ बलराशिकलन। १२। Home- NERAGEN १०० य ताय =ीय ला (१+ य) (१४ श्य)(१+ य+ये+य) -ला(१+ य) + ला (१४ २य)"+२ स्प- य । ध्य ताय य-या २+१ य+य २+१ थिय ताय - ३ + १/२ स्प(य. २+१) + स्प' (य। २-१)} - " १२य ताय य+१ य+२य+१ +२/३ { स्प' (२य- ३)-स्प (रय +1३) ताय +९ ला (१+य)-८ लाय य+य-य-य १+य ८ mins २य य+१ mpadosanMe याताय १ -MARRENT + १ १ १६। (अ+ गय) ४ग (अ+ गय) दंग (अ+गय) यताय १७। +३ला (य+१)। (१+ य) य+१ ४(य+१) (८य-२०)ताय य+ १८॥ + ११ ला (य +३)(य+१)] य+१ य+३ (अ-क)ताय (अ+ क)ला(ज्याय)-(अ-कला(कोज्या:) ज्याय(अ+ककोज्याय) + कला(अ+ ककोज्याय) यहाँ ज्याय = र मान क्रिया करने में शीघ्र चल ज्ञान होगा। S S- । opan mes - २०। ताय ३ज्याय+ज्याश्य - rane लाज्याय-देलाकोज्याइ + ३ला(३+२कोज्याय)। तार २१ । S ५ इला(य+ य+ १)-३ला(य-१)-१ स्प- (२य + १ 1/३ यदि १-२ रय। ताय तार २२। यदि र = - wwesom १+य य (य + १)(३य + ३० + १) (१-र) २३ । सिद्ध करो कि यदि न सम हो तो फ(य) यन+१

·उदाहरण।
Anotharth
....
om
यो ग कोज्याष+गकोज्यारष + ... + गम-२ कोज्यामष } य
-ने
य-२यकोज्याष +१
यो । ग, + ग.कोज्याप + . . + गम्-कोज्या(म-१)ष }
य-२यकोज्याप+१
जहाँ फ(य) = ग. + गाय = मध्य + ... + गम-यम-' और मरन
यहाँ ष का मान = त जहाँ त = १, ३,
२४ । सिद्ध करो कि
य+य/३+१
१+य
य-य। ३+१
+3 | स्प" (२य +\/३)+ स्प-' (२य-V३)} +3 स्षय
२५ । एक महाजन के प्रतिक्षण की आमदनी में, संचित धन के वर्ग में एक
घटा कर जो शेष रहे उसका भाग देने से जो लब्ध हो उतनी प्रतिक्षण में उस
के गुमाश्ते की आमदनी है तो वताओ जिस समय महाजन के संचित धन का
प्रमाण १००००० है उस समय गुमाश्ते के धन का क्या प्रमाण होगा।
उत्तर, गुमाश्ते को उस समय
०.०००००९९४ इतना ऋण हो गया था।
नि
२+य
६ ताय
D
इति द्वितीयोध्याय।
mmmmmmmmmmm

·चलराशिकलन। %3D चन । तृतीयाध्याय! लघुकरणपरम्परा के विषय में । २९ । कल्पना करो कि य+अ)न (य+अनर = चन- । इत्यादि मानो। और = त, तो खण्डचलानयन से ताय १ य+अ" यताय ताय S २न अंताय %3- imaan 1+? - - थ चन - +२न (य +)न (य+ अ)न (य+न+ यताय (य+अ)ताय परन्तु (य+अन+ (य+अ)न (य + अनन अताय (य'+ अन (य+अ)नर ताय इस लिये चन = (य य+ अ)न ताय ताय +२न अ. य+अ)न (य+ +२न चन--२नचन।। (य + अ)न पक्षान्तरानयन से wa MONDA २ अ)नार -- २न अचन (य +अन + (२न-१) चन (श्न-१)चन (२न-१) -चन + २ रन २न इस लिये चन+१= रन (य+अ)न' रनों इसमें न के स्थान में न-१ का उत्थापन देने से यतन-१ . चन अ(श्न-२)' अ(श्न-२) -चन-१ - (१) यही (१) समीकरण १८वे प्रक्रम के (१) उदाहरण के (अ) सिद्धान्त में भी सिद्ध हुआ है चन-१ कामान देखो यहाँ चन का मान चन-१ के अधीन और (१) इसी में न के स्थान में न-१ का उत्थापन देने से ·६७ उदाहरण। यतन-- अश्नि-४) २न-५ अरश्न-४) -चन-२ यह होगा। इसी प्रकार यतन-३ २न-७ MONAL चन-२ चन- अरश्न-६) अरश्न-६) चर अ यहाँ जिस प्रकार से चन, चन-१, चन-२० इत्यादि के मान सिद्ध हुए हैं इसे लधूकरण सिद्धान्त कहते हैं । इसके बल से अनेक चल का ज्ञान हो जाता है। इसके अनेक भेद हैं थोड़ा सा यहां प्रकाश किया जायगा। परन्तु इतना स्मरण रखना चाहिये कि लधूकरण सिद्धान्त से अन्त का चल नहीं सिद्ध होता है उस के लिये पिछले अध्यायों की क्रिया करनी पड़ेगी। जैसे इसी प्रक्रम के (१) समीकरण में यदि न के स्थान में १ का उत्थापन दो तो यत च. = ० । इल से देखो च, का मान अनन्त (२-२) अ(२-२) सिद्ध होता है परन्तु पूर्व कल्पना से च, SH और यह प्रथमाध्याय य+अर १ paper - - से १ स्प इस के तुल्य है। इस लिये च = INDRAMANIMAL wome- इस का उत्थापन देने से तय १ mom APNA स्प- च. + - + HARoman momom- ३तय २.४ ५तय ३ २.४ स्परय तय - MA pm- AARAMBIRMARARIAAILAM ५.३तय २.४.६अ २.४.६ women अ इत्यादि सिद्ध होते चले जायेंगे। ३० । यदि चम,न = (अ+योन यमताय न तो खण्डचलानयन से ·चलराशिकलन। यताय १ चमान यमd यम-'ता य नवयान (अ+य)न १ रन-२ (अ+य)न यम-ताय अ+य)न- १ यम-१ ॥ -- २न-२ अ+ य)न- १ यम- Ha- + m चम-२न-२ के वश से रन-२ (अ+य)न-१ रन-२ इस सिद्धान्त से वार वार क्रिया करने से चम-न- । चम-न-३। चम-६न-३ इत्यादि का मान जान सकते हो । अन्त में म और न यताय 'अ+य)न इस रूप का चल जानना पड़ेगा यदि म विषम और न से इतना छोटा हो कि म-२३ = १ और नइ >१। अथवा यदि न से म ऐसा बड़ा हो जहाँ वार वार क्रिया करने से अन्त में न-३ = १, म-२६.>१ यनताय तो अन्त के चल का रूप अ+य , ऐसा होगा। इस लिये अवयन २ य ताय (अ+य)-न १ M Spand MA Mamamara. इस का फ(य) २ यह पहली स्थिति से अन्त के चल का रन-२ (अ+य)न-१ मान होगा। जहाँ न कोई अभिन्न संख्या है। और दूसरी स्थिति के चल यनताय का मान साधारण भाग की रीति से अ+य +S कताय ऐसा रूप बनाकरजहाँ फ(य) = { गतयत + गत-२ यत- +...ग. } ७वें प्रक्रम से सहज में जान सकते हो। कभी म के सम होने पर ऐसा रूप भी अन्त में रहेगा (अ+य)न जिस का चल २९वे प्रक्रम से व्यक्त हो जायगा । जैसे अ+य ताय यहाँ भी यदि अ+य १ =त तो यतताय, इस का मान / यतताय, यतताय, यतताय इसके य"तताय, इस का मान यत'ताय, यत'ताय, यतताय, यत ताय इस के ·उदाहरण। ६९ और / यतताय इस का मान,,/ यतताय, / यतताय, यत ताय, तताय इनके अधीन हैं ३१ । कल्पना करो कि त = आय + कायक और चमन = ./यमतनताय तो यमतन = यम (आयअ + कायक ) तन आयम+अतन-१ +कायम+कतन-१ चलज्ञान करने से ra = आचम+अन- +काचम+क,न-१ p- - यमता(तन) - - antam- Sonous म+ चम,न (१) यम+तन १ परन्तु खण्डचलानयन से यमतनताय म+१ म+१ यम+तन यम+ नतन- (आअयअ-२ + काकयक-२)ताय म+१ स+१ यम+तन नक आयम+१ तन-'तायः का यम+कतन-ताय म+१ म+१ म+१ यम+तन न (२) म+१ म+१ म+१ (१) और (२) से काचम+क, न--५ को यम+तन + (३) म+नक+१ म+नक+१ यह एक लघूकरण सिद्धान्त हुआ यदि न धन संख्या हो तो। जैसे इस का मान जानना हो तो यहाँ इसी सिद्धान्त toremand आचम-+अ.न-7 काच म+कान-१ . . 9 उड़ा देने से - . आच म+अन-२ चमान . यत ताय य से तीन बार क्रिया करने से यमतरताय, S यत ताय इन का मान व्यक्त हो जायगा अन्त में य+अतताय यह रह जायगा। - चमन यदि न का मान ऋण हो तो पहले ( ३ ) से छेद्गम कर, समशोध- यम+तन म+नक+१ नादि से चम+-अ.न-१ ऐसा (क-अ)नआ' (क-अ)नआ समीकरण बना कर इस में म के स्थान में म-अ का और न के स्थान से -(न-१) का उत्थापन देने से यम-अ+'त-न-१) म-अ-(न-१)क+१ चम्-अ-न-१)...(४) (क-अ)(न-१)आ (क-अ)(न-१)आ चम, न Rom ·चलराशिकलन । यह देने से चमन इस पर से । यत इसके मान में , य"-"त. ताय यह और इस में य अत ताय इत्यादि आवेंगे अन्त में । य-अत: ताय आवेगा। इसी तरह (१) और (२) से यदि चमनको उड़ावो तो यम+१तन = (म+ नअ +१) आचम। अन-. + (म+नक + १)काचम।क,न- १...(५) इस में न के स्थान में न+१ का और म के स्थान में म-अ का उत्थापन यम-अ+'तन+१ म+(न+१)क-अ+१ काचम-अकि.न. ..(६) (म+न+१)आ (म+न+१)आ यह य के उत्तरोत्तर लघुघात के रूप में चमन का रूप ले आता है यदि अ>क हो तो। ३२ । कल्पना करो कि त = अ + कय + गय तो यातनताय = चम,नइस का मान जानने के लिये ३१वें प्रक्रम की युक्ति से तन (अ+कय+ गय)तन-' ऐसा मान और यम से गुण कर चलानयन करने से चम,न = अचम,न-१+कचम+१,न-१ + गचम-२,न-१ + कचम+१,न-१ + गचम २,न-, ऐसा होगा। इस लिये रेन (अचम, न-१+कचम।१,न-१ ) म+१ %3D म+१ २नग म+१ चमा २,न-१ (१) और वण्डचलानयन से यम+तन चम,न- म+१ चम-१,न-१ ENGAngareyanaras २नग म+१ . चम+२,न-१ म+१ (१) और (२) को जोड़ देने से म+२+१ यम+तन चमन = २नअ चमन-१ म+१ चम्+१.न-१ म+१ यम+तन इस लिये चम,न = २न+म+१ R PO Meena २न २न+म+१ चमन-१ चम+१,न-१ . २न+म+१ ·उदाहरण । . इसी प्रकार (१) और (२) से यम+'तन = (म + १)अचम,न-१ + (म+न+१)कचम+१,न-१ + (म+२न+१)गचम+२,न-१ (४) (४) में म के स्थान में म-२ का और न के स्थान में न+१ का उत्थापन देने से और समशोधनादि से (म+न) गाम+न+१) चम-१,न यम-तन+१ ansteadyana अ(म-१) -चम-२,न. (५) - चम, नग(म + रन + १) गाम+न+१) च-मान च-(म-१),न यह एक लघुकरण सिद्धान्त चम,नका मान जानने के लिये य के उत्तरोत्तर घात ह्रास में उत्पन्न हुआ। ( ४ ) में म के स्थान में-म का और न के स्थान में न+ १ का उत्थापन देने से तन+१ क(म-न-२) अ(म-१)यम-१ अ(म-१) ग(म-२न-३) अ(म-१) यह म के ऋण मान में लघुकरणसिद्धान्त उत्पन्न हुआ। ३३ । ३१वें प्रक्रम में यदि त= आय+कायक इस में क= 0 तो त = का+आयअऐसा हुआ और (१), (२) इत्यादि समीकरण में क के स्थान में शून्य का उत्थापन देने से Pos . . . च-(म-२),न चमन = आचम+अ.न-१ +काचम,न-- यम+तन नअआ चम+अ.न- चमन (२) - MoUNERABLET म+१ म १ यम+तन म+१ चमन = - नअआ म+१ (३) म+अन-१ - चम,-न + . (४) यम-अ+Ra (न-१) म-अ+१ चम-अ,-(न) अआ(न-१) अआ(न-१) यम-अ+तन+१ म-अ+१ चम,न अआ(न+१) अआ (न+१) यदि न = -न यम रतन = (म+न+१)आचमन-अ,न- + (म+-१)काच स,नatmaum चम-अ.न+ (५) ·चलराशिकलन। चमन - - काचम-अन FALLARSHISHTRANSitamnaatanARIUM.DHOPRAKA यम-अ+तन+१ स--अ+१ (६) आ(म+न+१) आ(म+न+१) ऐसे ६ सभीकरण उत्पन्न होते हैं इन पर से अनेक चल ज्ञान सहज में हो जाते हैं। वे छवो समीकरण यदि वास्तव में विचारो तो ३१वें प्रक्रम के उदाहरण । इन पर से टाइहन्टर (Todhunter) साहब ने चलराशिकलन के ३०वें प्रक्रम में जो क्रिया की है वह भी उत्पन्न हो जाती है। यहां (२) से यम+तन म+१ +अ.न-१ चमन इसका उत्थापन (२) में देने से नअआ नअआ -- यम+तन - M चमन amasRADUNIONAL + काचम,न-१, चन--१ + AR मान -चमन+१ यम+तन कान इस लिये च. म+न+१ म+न+१ यहां न के स्थान में न+ १ का उत्थापन देकर समशोधनादि से यम+तन+१ म+अन+अ+१ चमन + (८) काअ(न+१) काअ(न+१) इस तरह से अनेक सिद्धान्त बना सकते हो। ३४ । इस प्रक्रम में पूर्व समीकरणों की व्याप्ति दिखलाने के लिये कुछ उदाहरण दिखलाते हैं। (१) यम(ग-यो)-२ ताय इसका चल क्या है । यहां यदि का = ग, आ = -१, अ = २. न = --- कल्पना करो तो ३३वें प्रक्रम के (६)वें समीकरण से यम-अ+तन+१ म-अ+१ आ(म+न+१) आ(म+न+१) - मान काचम-अनि +१ यम-२+२(ग-य) म-२+१ -१(म+२४-३+१) -१(म+२४३+१ यम गया गया-(ग-य) 'ताय (म-२)ग' (यम-२(ग-य) ताय, ऐसा हुआ। Ana ७ खण्डचलानयन से भी य(ग'-य) ताय =-यम-'ता (ग'-य')+:

·७३ % 3D -यम-१ MAMri - यम-२ Hai २ ग -ताय -य लघूकरणपरम्परा। - यम-'/ ग-य + (म-१) (य-V ग-याताय V ग-य + (म--१) 'यम-२( गय)ताय य गया -यम- ग-य (म-१) य V२(ग-य) ताय + (म--१) इस लिये पक्षान्तरानयन से Vग-या S="c न्य) (म-१) यम-'(ग'-य) - ताय इस तरह से वही सिद्ध हुआ जो पहले (६)वें समीकरण से हुआ था भेद इतनाही है कि पहले प्रकार से लाघव और दूसरे से गौरव है। (२) इसका मान जानना है। यम(अ+य)२ यहाँ यदि म =-म, न=-३, आ = आ = अ', अ%D0, का = १, क = २ मानो तो ३१वें प्रक्रम के वे समीकरण से यम-१ २ ताय १ . , चमन = यम-अ+ तन+१ म+न+१)आ म+(न+१)क-अ+१ (म+न+१)आ काचम-अ-कान १ -म+१ +१ S MAHA wom -म+ (-1+१)२+१ -म+१) (-म + १) च(-म+२,न) -म+१+१ अ-म+२(अ+य) -३ ताय अ(म-१)यम-१ अं(म-१) अ+य म-२ ताय यह सिद्ध हुआ। (म-१)यम- य /अ+य इसी उदाहरण को खण्डचलानयन से भी कर सकते हो। जैसे ताय V+य -ता/+यर म/ अ+य यमन Va+य अ+य ताय अकया अ (म-१) S २ २ १ S + (म + १)V #+य यमन२ + (म+१) या अ+य यम+१ १० ·Anim अ (म + १) JA यम/+य २ S mal - e २ अ+य (म-१) ) यम-२ चलराशिकलन। समशोधनादि से ताय 1/ अॅ+ य ताय यम+२/ अ+य यमा म के स्थान में म-२ का उत्थापन देकर (म-१)का भाग दे देने से ताय V अ+य यम अनय अ(म-१)यम-१ यही पहले भी सिद्ध हुआ था। यमताय इसका क्या मान है। V(२अय-य) यहाँ यमताय यम-३(२अ-य) ताय, इस लिये ३३वें प्रक्रम के (८)वे V२अय-य समीकरण से (यदि का= २अ, आ = -१, अ = १, क = 0,म = म-३, न = -३) यम+तन+१ म+अन+अ+१ चमन काअ(न+१) काअ(न+१) +१ यम-३+१त म-३-३+१+१ २१(-1+१) २अ(-३+१) (३) P - २ . m चम-न , m चम-३, १न+१ - यम+रंत म+१ - AAAAAALANAMumma + women चम-१,न+१ यम+३(२अ-य) म+१ M Read eft (२अ-य) ताय = थ*(२अय-घ) , म + १/य-(२अय य) ताय यह सिद्ध हुआ। वा ३३वें प्रक्रम के ६वे समीकरण में पूर्वोक्त संख्याओं का उत्थापन देने से चमन = यम-३(२अ-य) २ ताय यम-१/(२अय-य) । अ(२म-१) यम-ताय ऐसा होगा। V(२अय-या) इसे खण्डचलानयन से भी सिद्ध कर सकते हो यमताय -यम-ता/ (२अय-य) V(२अय-य) अ(२म-१) + -- - AN यअयया = यम-१ (य-अ+ अ)ताय -- ·लघूकरणपरम्परा। ताय यम-१ (२अय-य) यम म-२ (२अय-य) + (स-१) यग-२ (२अय-यौताय ताययम-१ +-अ V(२अय-य यम-२(२अय-य)ताय V(२अय-य) यम-१(२अय -य)+ -१) ताययम-१ ही uwww MI V(२अय-य) यमताय यम-१/(२अय- ((२अय-य)-(म-१) V(२अयः -य) तायय + अ(२म-१) V(२अय-य) पक्षान्तरानयन से और म का भाग दे देने से याताय यम-१(२अय-य). अ(२म-१) यम-ताय V(अय-य) (२अय-य) यही पहले भी सिद्ध हुआ था। Pan -- ताय (४) । (य + अ)न इस का क्या मान होगा। यहाँ म = 0, न = ---न, आ = १, अ = २, का = इन का ३३वे प्रक्रम के (८)वें में उत्थापन देने से यम+तन+१ म+अन+अ+१ काअ(न+१) काअ(न+१) यत-न+१ +-श्न+२+१ अन+१) (-न+१) चमान - - च०-न चमन+१ न m च०-न+१ १ ताय (य+अ)न- २(न-१) २(न-१)) (य+अ)न-र देखो १९वें प्रक्रम से भी यही लघूकरण सिद्धान्त उत्पन्न हुआ है। इस तरह हजारों नये नये सिद्धान्त लघुकरणसिद्धान्तों के बल चलानयन के लिये बना सकते हो। ३५ । लघुकरणसिद्धान्त के बल से त्रिकोणमिति सम्बन्धि फलों के चल का भी ज्ञान सहज में हो जाता है जैसे यदि ·७६ चलराशिकलन। (फ(ज्याय, कोज्याय) ताय इस का ज्ञान करना हो तो कल्पना करो कि ज्याय क्योंकि - MANANDPORNO w तार तार र..ताय% कोज्याय कोज्याय = १–र इन का उत्थापन देने से फ(ज्याय, कोज्याय)ताथ = फर५ (१–र) } तर) - (२) यहाँ यदि फ(ज्याय, कोज्याय) = ज्यायकोज्याय तो , Jफ(ज्याय, कोज्याय) ताय = J (१-२)(-) तार . . . . . . (२) , यदि ३३३ प्रक्रम के समीकरणों में का = १, अ% -१, अ = २, म = द, और न = ३ (ध-१) कल्पना करो तो र(१-र)३९/-)तार म च ६.३(५-१) = चव यदि ३ (ध-१) = य AM %D . चद+२,ब-१ + चद,ब- (३) चद,ब % 3D + चद+२,ब-- (४) रद+तब २ब द+१ 'द+१ रद-'त-(ब-) चदबे = + - चंद्-२,-(ब-१) (५) - रह-तब+१ - चंद,ब - -चद-२बर (६) + २(ब+१) (ब+१) (द + २ब + १) चढ़+२ ब- + (द + १) चरब-१ रद+तब - . चदव रद-तब+१ द+२ब+१ - चढ-२,ब (७ ) (८) (९) द+व+१ - -- चढब MORE- + ammer चदव- . चदब चट,ब+१ रइतब २ब + द+२+१+२+१ रद+तब+१ . द +२+२+१ (१०) २(ब+१) २(ब+१) रदतब+१ . द + २(ब+१) + १ (११) द+१ यदि ३१वें प्रक्रम के देवें समीकरण में का, क के स्थान में आ, चढन + चद+२,व अके ·लघूकरणपरम्परा। उत्थापन दो और आ, अ के स्थान में का, क का तो पिछला सिद्धान्त उत्पन्न होगा। (२) में यदि ध-१ = . अर्थात् ध = १ मानो तो ब= 0 इनका उत्थापन (८)वे में देने से चदा० D - चद-२१० -- %3D %D Aapalaya चद-२,ब ज्याय कोज्याय ताय = - ज्या-'यकोज्याय , द. द+१ ज्याद-यकोज्याय ,द-१ ज्या-'यकोज्यायताय द+१ इसी प्रकार ( २६(१-२) ३(२-१) तार इस में २ के स्थान में इसका पहला मान ज्याय रखदो तो २५(१-२) ३(-तार ज्याय कोज्याध-य. कोज्यायताय । अब यहाँ यदि ध 30 तो ज्याय कोज्याध-यकोज्याय ताय ज्याप्य ताय ऐसा होगा । इस लिये ३(ध-१) = ब = ब=-३ इनका उत्थापन इसी प्रक्रम के (८)वें समीकरण में देने से रद-तब-१ द+२व+१ द+२+१ ज्याद-यकोज्याय , द-१ ज्याद-य ताय% ज्याय ताय। द देखो ठीक यही खण्डचलानयन १वै प्रक्रम के १५वे उदाहरण में भी सिद्ध हुआ है। केयल द के स्थान में न का उत्थापन मात्र देना होगा। इय तरह पीछे दिखलाये हुए समीकरणों के बल से सैकड़ो लघूकरण सिद्धान्त उत्पन्न हो जाते हैं विद्यार्थियों को चाहिये कि उन का अच्छी तरह से अभ्यास करें। ३६। ३१वें प्रक्रम की युक्ति से यदि त = आय* + काय + गाय" +..., और चम, = यमतनताय तो यहां भी उसी तरह से चमान का मान जान सकते हो । जैसे तन = (आय+काय+गाय" + ....) तन- इस लिये, यमतन = (आयम+अ+कायम+क + गायम+ग+ ...)तन-१ --- + ·७८ चलराशिकलन । . . (यमतताय = आ./यम अतन-'ताय+का./ यम कतन-"ताय +गा./यम+गतन-ताय+ अर्थात् चम,न = आचम, अत- + काचम-कान-१+गाचम+गान १ + • •(१) और खण्डचलानयन से यम 'तन यातनताय म+१ नयम+तन- +ककायक- + गगायग-'+ ...)ताय म+१ यम+तन म+१ म+१ चमन - - mommercountram (अआय- -आचम+अन-2 tomewowwwmas- -Rampat अआचम+अन-१ -काचमकान-१ गाचम+गान-" म १ छेदगम कर पक्षान्तरानयन से यम+तन = च न(म+१)+ नअआचम+अन-१ + नककाच म+कान-१ +नगगाचम+गान-१ (१) से चमन का उत्थापन देने से और म+नअ + १ = अं, म+नक+ १ = = का म+ नग+ १ = गं इत्यादि कल्पना करने से यम-'तने = अआचम अन- + काचम कान- + गंगाचम+गान- + (२) इस तरह अनेक चमत्कार दिखा सकते हो। ३७ । लघूकरण सिद्धान्त से दो मानों के भीतर का चलज्ञान बहुत ही सहज में हो जाता है अर्थात् इस से सान्तचल मान बहुत ही सुगम हो जाता है। जितने पिछले प्रक्रमों में लघूकरण सिद्धान्तों के लिये समीकरणों को दिखाया है सबका मूल यदि ध्यान दे कर देखो तो खण्डचलानयन ही है इसलिये खण्ड- चलानयन को लघुकरण का मूल कह सकते हैं । दो सीमाओं के भीतर के चलज्ञान के लिये कुछ उदाहरण दिखाते हैं। (१) (ग-य) ताय इसके मान के लिये खण्डचलानयन से S(ग'-य) १ ताथ = य(ग-य') - ताय, यह एक लघूकरण सिद्धान्त उत्पन्न हुआ इस में यदि य = ० वा य = ग तो स्पष्ट है कि प्रथम खण्ड शून्य के तुल्य हो जायगा जायगा इसलिये न २ न+१ न+ (ग-य) ·लघुकरणपरम्परा। ७९ " (ग-य) ताय = ना ग-य) ताय यह सिद्ध हुआ। न+१. -- BE- यम-१ (२) यम-१(१-य)न- ताय इसके मान के लिये खण्डचलानयन से (१-य)न य-(१-य)न-'ताय यम-(१-य) ताय ऐसा लघूकरण सिद्धान्त उत्पन्न होता है । यहां यदि य = ० वा १ तो स्पष्ट है कि प्रथम खण्ड शून्य हो जायगा इस लिये यम-२(१-य)न-'ताय यम-(१-य)नताय %3 और 'या (१-५)"ताप = म-२'य"-११-य)नन'ताय यिन-(१-य)न ताय museuman इसी तरह २(१-य)न+ताय ३ न+२ ARTISMA- 'य (१-य)न+म- - २(१-य)न+म-'ताय ama न+म- १ और %3D- (१-य)न+म- न+म-१ 5(१-य)नम-ताय लिये (१-य)न+म- ताय १ न+म-१ इन सव का उत्थापन यहहोगा देने से | यम-१(१-य)न-'ताय (म-१)(म-२)....३.२.१ न(न + १)(न+२)......(न+म-१) (३) छेष ताष = (१+ स्पष) ताप = /(१+ स्पष+ स्पष)ताष = /ताष+२/स्पषताष+/स्पषताष = ष+२/स्पषताष+/स्पषताष। परन्तु /स्पनषताष = /स्पन-प(छेप-१)ताष स्पिन-पछेषताष-स्पन-षताष /स्पन-पता स्पष-स्पनषताप स्पन-१ स्पन-पताष ·चलराशिकलन । ना स्परन-7 स्पन- - -- स्पन-"ताप + २न-१ २न-३ सान-१ स्पन- स्पन- %3- - .... . .--(-१)नस्पष+ (-१)नाग २न-१ रन-३ यार वार क्रिया करने से, प्रथमाध्याय का ४६वाँ अभ्यास के लिये जो प्रश्न लिखा है उसे देखो। इस पर से २ स्पषताष = २स्पष-२१ स्पप स्पप स्प पताप % 3A - +प OM इन का उत्थापन देने से छपतापः प+२ स्पपताप+ स्प पताष % स्पष =ष+२स्पष-२ष+- ३ -स्पप+प-स्पष+ स्पप ३ LADISUDURite इस लिये छेषताष = १ +3 = ? orm यह सिद्ध हुआ । (४) य (२अय-य) ताय = _ य (२अय-य') म+२ अ(२म + १) । य-१(२अथ- + maanwu म+२ -य)२ ताय ऐसा होगा यदि ३१वें प्रक्रम में (६)वे में आ = -१, अ = २, का = २अ, क = ? और ३ मानो। इस लिये यहाँ स्पष्ट है कि यदि य शून्य वा २अ के तुल्य माना जाय तो प्रथम खण्ड शून्य के तुल्य होगा। य(२अय-य) ताय = अ(२म + १) (२अय-याताय '२ म+२ म के स्थान में म-१ का उत्थापन देने से यम-२(२अय-य) ताय = म+१ २ अश्म-२) यम-(२अय-य) ताय १ यो वार वार क्रिया करने से अ '२ यम-(म-१)(२अय-य) ताय = य(२अय-य) ·लघूकरणपरम्परा। अ" (२अय-य) ताय परन्तु । (२अय-य) ताय = f-(अ-य) } ताय अ - ra- V २अय-य MPARO- २ २ इस लिये *(२अय-य) ताय = + अंग अ. air + ४ - - २ इन का उत्थापन देने से य'(२अ-य) ताय = अम+२ (२म + १) (२म-१) (२म-३) • . .१ - (म+२)(म+-१)म(म-१)(-२) • ३ ART . . १.३.५...(२म-१) ३.४.५....(म+२) T.अम - Rames यह सिद्ध हुआ। २ (५) Tr श् V१-गज्याय इसका क्या मान होगा यदि ग<१ Baba यहाँ- MARDAN -१ इसलिये द्वियुक्पद- ताय(१-गज्याय V(ए-गज्याय) सिद्धान्त से (१-गज्याय) २.३ग ज्या'य + १.२.१ ग'ज्याय + ...) इसलिये राज्याय ताय(१+गज्या य+ .) %3D - य+ ज्या य+ V(१-गज्याय) ज्या यताय २.४ १.३.५ ज्या यताय २.४.६ इस लिये १२ वें प्रक्रम के १५ वें उदाहरण से वा ३५ वें प्रक्रमले गर + ज्या यताय V(१-गज्याय २ Tr श S - ग' ज्या'यताय+ . १.३ . =F { १+)ग' + [१] ग+ [३] ग+... } ·૮ર चलराशिकलन। यह सिद्ध हुआ। इस प्रकार से विद्यार्थियों को चाहिये कि अनेक प्रश्नों का उत्तर कर पूर्व प्रक्रमों के सिद्धान्तों से अच्छी तरह परिचय करें। अभ्यास के लिये प्रश्न । सिद्ध करो कि । - PRIMA S ANIMAana S मलाप नरक्याथान न-२ कायापक २ । নাথ ताप ताप ज्यामषकोज्यानप ज्याम-'पकोज्यान ज्यामपकोज्यान-२ ताष ज्याष ताप कोज्यानष (न-१)कोज्यान-१५ ন -कोज्याप (न-~१)ज्या १ष न-१) ज्यान-ष S S - ज्यान (न- १ MominatantanAmer ताष ज्याषकोज्याष कोज्याष व्यापकोज्याप Sanाज्याच + ला स्पन याताया यातायात व्यवस्था स्प (+) ज्याषताष कोज्याब MAR ज्याषकोज्याध १ १ +ला )} ताष ज्याषकोज्याष ताष कोज्याप ज्यारेष २ज्याष +ला/ स्पा - १ - ताष स्पनब - - न१)स्पन- ताष स्पन-प । स्पषताष स्पॉप -- ॥ स्पष+प १०। पर्व ताष १ + ला (ज्याष) - कोज्या ष + कोज्याष - स्पद व ११ । ज्या'षकोज्यापताप १२। य(२अय-याताय १४। य (२अय-य) ताय ज्याषताष कोज्याष owata ज्याष १-ज्याष +ला २कोज्याप १+ज्याष ३३॥ १६ अ १३॥ Dome - ७ --- ·लघुकरणपरम्परा। य(२अय-य) ताय अ३ २ १६। यदि चन = -onomics न ताय जहाँ न, धन और अभिन्न है तो सिद्ध (अ+ककोज्यायन करो कि कज्याय A Musbade (न-१)(अ)चन तन- + अ(२न-३)चन-१ -(न-२)चन-- (यहां त = अ+ककोज्याय) १७ । सिद्ध करो कि यदि (१+ककोज्याय)-नताय = चन तो (न-१) (१-क)चन कज्याय(१ + ककोज्याय) + (२न-३)चन-- १८ । सिद्ध करो कि ale अ-ककोज्याRष)न-ताष (अ+ककोज्याय)न (क)न-३ - न-२)चन-२ ताय RAM यदि स्पा = स्पष अ+क [ को RO [न more + २ १९ । सिद्ध करो कि यदि न सम हो तो कोज्यान-१ ज्याष कोज्यान-ष न(न-२) (न-१) (न-३) +ज्याष कोज्यान-व+ -२)(न-४ (न-१) (न-३)(न--५). ष और यदि न विषम हो तो न(न-२) (न-४) कोज्यानषताष = ज्याष कोज्यान- न(न-२) S (न-१) (न-३) कोज्यान-ष + (न-१)(न-३)(न-५)...२ +ज्याष न(न-२) (न-४) न(न-२) (न-३) २० । सिद्ध करो कि ज्याषउज्याम म+१ ज्याषउज्यामषताष%3D ज्याष म+२ म+२ न-१ कोज्यान-प + { ष + ·८४ { SDOMANTARIETaematowanAJURISM तो चन,म लाने य+१ चलराशिकलन। म(म+१ ডাক্ষাত্রা २(म + १) ૨. म(म + १) (म-१) ज्यापकोज्याष +उज्याष ३(म+२) + (-१)न (म+१) (म) न (म+१) लाय म+१ -{ज्यापकोज्याप म (म--न+२) कोज्यानपताप . water न २१ । सिद्ध करो कि यदि लाय = ला और { } याताय: चनाम - चन-१७म २२ । सिद्ध करो कि २ २ यम ( लाय m - (लाय)- २ लाय+ (म+१) २ यम+ ताय म+१ २३ । सिद्ध करो कि यताय = (लाय)य ८ S{ ४(लाय)य' .. ४.३(लाय) य }य ४-३(लाय) -theme MIRAIPUR ४३लाशय ४.३.२य' ८ A MANAKARMALSODMOMDM ४ २४ । सिद्ध करो कि ज्याम-श्य AN Sव्याय HollMMAL म MAP বাঘ कोज्या"-"य - . ज्यामय ज्याम-य ताय% (न-१)कोज्यान-य २५ । सिद्ध करो कि यदि य = २ष तो ज्यामय ताय (१+ कोज्याय) २६ । सिद्ध करो कि S २म-न+१ ज्यामपताप कोज्यान-मप मय -ताय + mmwwwANOHAR -- (न-१)यन-१ ताय। यन-१ २७ । सिद्ध करो कि मय मय माया लाय+मय+ २ ३ ४४ २८ ॥२४(२अथ-य) उज्या अताय = अ इसे सिद्ध करो मय ताय - माय माय मा ·लघुकरणपरम्परा। २९ । अ१६/ अ-य'कोज्या-अंताय = (४ + .) इसे सिद्ध करो ३० । सिद्ध करो कि स्पानब रन- स्प न+१ HIRaman swam -"ब स्पन-ष स्पन-प २न- २न-८ + (-१)न+ला { कोज्याष } - . ३१ । सिद्ध करो कि स्पषताष %3D १६ ला (२)-१२ ३२ । सिद्ध करो कि ज्याश्यताय १+गकोज्याय ३३ । सिद्ध करो कि कोज्याय २ग कोज्याय ग.---१ ला(१+ गकोज्याय) Rama N २ यलाय } ताय - (मा ३४ । सिद्ध करो कि गज्याय ताय २+गकोज्याय - (ग-१)ला (१+ग) + ग (२-ग) Haram न ३५ ! सिद्ध करो कि न (न+१) (अ+य)ताय = य(अ+ य) + न/(अ+ य) 'ताय ३६ । एक लड़का गङ्गाजी के किनारे अ विन्दु पर खड़ा था । उसने ठीक अपने सामने एक मनोहर फूल को जो कि धारा में बहता हुआ चला जाता था देख कर अपने स्थान ले गङ्गा में कूद तैर कर फूल लेने के लिये चला । प्रतिक्षण के बहने के प्रमाण को फूल और अ विन्दु के अन्तर वर्ग से गुणने से जो गुणनफल हो उतना प्रतिक्षण में लड़के के तैरने का प्रमाण है तो बताओ कि जिस समय अविन्दु के सामने से धारा में वह फूल ९ हाथ वह गया उस समय अ विन्दु ले लड़का कितना तैर कर गया होगा। इस प्रश्न में इतना हम जानते हैं कि अ विन्दु से धारा का अन्तर १५ हाथ है। उ० २२६८ में इति तृतीयाध्याय । HIKARANAugmemusma- ·चलराशिकलन । चतुर्थाध्याय । प्रकीर्णक। ३८ । कल्पना करो कि (१) फ(य) = य तो फ(अ) = अ, फ(अ+ च) = अ+ च, फ(अ+ २च) = अ + २च + . इस लिये .. २ च फ(अ)+च फ(अ+च)+च फ(अ +२च)+ च फ(अ+ न च) = च { अ+ (अ+च) + (अ+२ च)+ ...(अ+न च) = च { अ(न+ १)+ च(१+२+३...न) -च {अ(न+- १)+ चन (न+१)} चरन + १)(३अनच) = (अ+ अ + नच)च(न+ १) = च(न+१) (अ+क) ....(१) यदि अ+ न च =क परन्तु यदि अ+नच = क तो च = इस का उत्थापन देने से (१) मान = क-अ (१+ ) (अ+ क) इस में यदि च = ० वा न तो क-अ इस का मान यह सिद्ध हुआ। वाभ का २ य' यताय BAR 를 - परन्तु जब फ(य) = य... फ(य)ताय कर-अ इस लिये ॐ फ(य)ताय (२) प्रक्रम देखो (२) फ(य) = य' तो च फ(अ) + च फ(अ+च) + चफ(अ+ रच) + . . . चफ(अ+ नच) = च अ+च (अ+च) +• • • च (अ+ नच) = च { अ+ (अ+२ अच+च) + . . . (अ+२अनच+नच)} = च { (न+१)+२अच(१+२+३+ • •न)+च (१+२+३+ ..+न')} (न+१) + अचन (न+१) + ३ २न+१ = च (न+१) { अ +चन = (क-अ) (१+1) { अ+कअ---अ + (क-~-अ) (क) (२+१)} = (क-अ) (१+ 1) {कअ+ (क + अ)(3+1)} चन(न+१). (२न +१) HA min २ +अचन न रन +१] ·लघुकरणपरम्परा। कअ+ = (क-अ) (क-अ)} = (क-अ) [क'+का+] = क'-अ परन्तु फे(य) = य... फ(य) ताय = यताय = इस लिये फ(य) ताय = कअप इस तरह से (२) प्रक्रम की परिभाषा ताय%D--- ३ क का अ से स्वतन्त्रराशि के दो मानों के भीतर का चलानयन बीजगणित की युक्ति से श्रेढ़ियों के योग पर से कर सकते हैं। परन्तु जहाँ श्रेढ़ियों के योग करने की रीति नहीं जानी जाती वहाँ इस रीति से सान्तचल का मान जानना कठिन है। जैसे यदि फ(य) = लाय तो च फ(अ)+चफ(अ+च)+चफ(अ.२च)+चक(अ+३च)+ +चफ {अ+च(न-१)} = च[ला(अ)+ ला(अ+च)+ ला(अ+२च) +ला(अ+३च)+ ... + ला { अ+ च(न-१)}] यहां हम लोग अब लाचार हैं कि कैले इस श्रेढी का योग करें परन्तु जब (२) प्रक्रम से स्पष्ट है कि इस श्रेढी का योग अवश्य 'फ(य)ताय = *ला (य) ताय यह होगा। इसलिये ऐसे ऐसे स्थानों में सान्तचलानयन से श्रेढी के योग का पता लग सकता है। जैसे इसी स्थान में जव प्रसिद्ध है कि /लायताय = य लाय-य तब [*] -(क-अ) यही ऊपर के श्रेढ़ी का योग होगा। 'क S लायताय:ला अ ३९ । इस प्रक्रम में ऊपर के प्रक्रम को अच्छी तरह से समझने के लिये कुछ उदाहरण दिखाते हैं। १ ताय - (१) फ(य) इस में श्रेढी के योग पर से २ mer इसका मान जानना है यहाँ, चफ(०)+ चफ(च) + चफ(श्च)+चफ(३च) + ...+चफ(१) - [च + ] २ -४च ·चलराशिकलन । - + • • ممال १ ९ V च ने+ + क्योंकि यहाँ न-१ १ ताय - नच-१..च परंतु चलज्ञान से Momwwween इस लिये यदि न का मान अनन्त हो तो নাগ १ ==***** S + + ..यह सिद्ध हुआ Atmamta . V१ १ (२) इसका मान श्रेढ़ी में जानना है। १+य (२) प्रक्रम से RECIPE ताय १+य + R m . + . + २ २ २ २ १ + १+९च १+च १+४च १+१ * { १+ + .... } परन्तु चलानयन के प्रकार से name इ, इस लिये यदि ऊपर की १+य श्रेढी में न अनन्त हो तो श्रेढ़ी का योग होगा। (३) च[ज्याअ+ ज्या(अ+च)+ ज्या(अ+२च) + ... + ज्या { अ+ (न-~-१)च }] इस में यदि न का मान अनन्त हो तो श्रेढी के योग का मान जानना है। यहाँ चिकोणमिति की शीति से ऊपर की श्रेढी का योग चज्या(अ+ न-१च)ज्यानच चज्या(अ+ क-अ-)ज्या,यदि अ+नच = क ज्यान ज्या अब यहाँ यदि च = 0 तो. तो ज्या -- ambad = २ इस लिये श्रेढी का योग ज्याच क+अ क-अ २ज्या ज्या कोज्याअ-कोज्याक = 'ज्यायताय यह सिद्ध हुआ। २. २ इसी श्रेढी में यदि न के स्थान में न +१ का उत्पादन दें तो श्रेढी का योग ·प्रकीर्णक । न+१ २च क-अ HAHI - +]] ज्या २ %D mppened चज्या(अ+ नच) ज्याच 'च - ज्याच ज्या(अ+२)ज्या रज्या(क)ज्या कोज्याअ-कोज्याक, यदि च = 0 इसलिये श्रेढी में यदि एक पद बढ़ भी जाय तो भी योग वही रहेगा। ४० । २ प्रक्रम ले और ३९ प्रक्रम के उदाहरणों से स्पष्ट होता है कि 'फ(य)ताय यह च,फ(अ) + च.फ(य.) + ... + चनफ(यन-१) इस श्रेढी अ ... के योग तुल्य है यदि श्रेढी में न का मान अनन्त कल्पना किया जाय जहाँ चः = यर-अ = 0, च = यः-यर, = ०,...और यन-१ = क-चन मानो कि अ, क के भीतर फ(य) के जितने मान हैं वे सब उत्तरोत्तर घटते वा बढ़ते हैं और उन में सबसे बड़ा आ और सब से छोटा का है तो सब फलों के स्थान में आ और का का उत्थापन देने से आ (च. +च+च+ + चन) यह पहली श्रेढी से बड़ा होगा और का (च: ++च+ + चन) यह छोटा। परन्तु चन+च+ +चन = क-अ इस लिये ऊपर के अंदी का मान आ (क-अ) और का (क-अ) के बीच में होगा। इस लिये निश्चय है कि श्रेढी का मान (क-अ)गा इसके तुल्य होगा जहां गा एक ऐसी संख्या है जिसका मान आ और का के बीच में परंतु फ(य) को घटते वा बढ़ते माना है इस लिये अवश्य कोई य के मान में यह गा के तुल्य होगा। मानो कि गा= फ { अ+ ष(क-अ)} जहां ष कोई रूपाल्प संख्या है। इस लिये श्रेढी का योग = *फ (य)ताय = (क - अ) फ { अ+ प(क - अ)} इसी प्रकार फ(य) फा(य)ताय इसमें फ(य) तो पहले ही के ऐसा समझो और वैसाही फा(य) को भी समझो तो पूर्व ही की रीति से "फ(य)फा(य)ताय = च फ(अ)फा(अ)+च.फ(य) फा(य.)+ ... + क चनफ(यन-२)फा(यन-१). यहां भी पूर्व ही की रीति से सिद्ध कर सकते हो कि यह श्रेढी आ { च,फा(अ)+ च:फा(य.) + च फा(य:)+ ... + चनफा(यन-१)} इससे छोटी और का { च फा(अ) + च फा(य.) + च फा(य.) + .चन फा(यन-१)} इस से वड़ी होगी।

·९० चलराशिकलन । इस लिये यहां भी मानो कि फ(य) के गा मान में वास्तव श्रेढी का योग = गा { च,फा(अ) + च फा(य)च फा(य.)+ ... + चनफा(यन-.)} गा./"फा(य)ताय = फ { अ+ ष(क-अ)} ./"फा(य) ताय फ(य)फा(य)ताय यह सिद्ध होता है। क IAN य क यहां इसका कुछ नियम नहीं कि "फ(य)ताय इसके मान में जो फ { अ+ ष(क-अ) } इसमें ष है वही/"फ(य)फा(य)ताय इसके मान में भी हो इतना अवश्य नियम है कि ऐसे स्थानों में प सर्वत्र रूपाला संख्या है। ४१ । सान्तचलानयन से स्पष्ट है कि यदि /फ(य)ताय = फा(य) तो (य)ताय = फा(ग)--फा(अ) ग फ(य)ताय = फा(क)-फा(ग) इस लिये "फ (य)ताय+ *फ(य) ताय = फा(क) -फा(अ) *फ(य) ताय, इसी प्रकार यह भी सिद्ध कर सकते हो कि ./कफ(य)ताय अफ(य) ताय - . 3. MARAsana (२) अ anti यदि /फ(य)ताय इस में य के स्थान में अ ल इस का उत्थापन दें तो अ-ल = य... अ-यल-ताय= ताल, इस लिये /फ(अय)ताय -----/फ(ल)ताल और /क (अ-य) ताय = --- -/अ-क(ल)ताल = / फ(ल)ताल, (२) से %3D- अ अ क मानो कि फलोताल = फा(ल) इस लिये (फ (ल)ताल = फा(क)-फा(अ) = 'के फ(य)ताय इस लिये/क (अ-य)ताय = / फ(य)ताय (३) अ अ.क (३) में मानो कि क = ० तो. फ(अ-य) = (°फ(य)ताय इस लिये (२) से./ फ(अय)ताय = /* फ(य)ताय . . (४) ·प्रकीर्णक। इसी प्रकार यदि य = २अर तो ताय =-तार और र= २अ-य इस लिये/फ(य) ताय = --/फ(२ अ-र) तार और २अ फ(य) ताय = ° फ(२अ-र)तार = *फ(२अ-र)तार परन्तु (३) की युक्ति से." फ(२अ-र)तार = अ फ (२अ-य)ताय इस लिये/२अ फ(य)ताय = / 'फ(२अ-य) ताय अ अ अ अ अ अ २ और (१) से फ(य)ताय = अफ(य) ताय + क(य) ताय अ २ अ अ अ तो . इस लिये फ(य)ताय = "फ(य)ताय + "फ(२अ-य) (५) (५) वे में यदि य के . और अ के बीच सब मानों में फ (य) = फ(२अ-य) फ(य) ताय =२ / फ(य) ताय और यदि य के ० और अ के बीच सब मानों में-फ(य)= फ(२अ-य तो । फ(य)ताय (७) जैसे यदि फ(य) = ज्याय तो फ(----य) = ज्याम(~-य) = ज्यामय त्रिकोणमिति से 7 . २अ. T इस लिये 5 फय)ताय = फ(य)ताय = २ ২ থে) फ(य)ताय 'T T २ ज्यामय ताय% २ me ज्यामय ताय (६) से और जब त्रिकोणमिति से स्पष्ट है कि कोज्याय = -कोज्या (य) इल लिये यदि म विषम संख्या हो और फ(य) = कोज्यामय तो (७) से सिद्ध कर सकते हो कि TI (२) प्रक्रम से यदि से यदि ज्यामयताय इसका मान श्रेढी में लावो तो है . च {ज्याच+ज्यामरच+ ज्याम३च+ + ज्याम (न-१)च } ऐसा होगा जहाँ नच = यहाँ स्पष्ट देख पड़ता है कि ज्यामच = ज्यान (न-१)च = ज्याम(...--.च) = ज्यामच, T ·९२ चलराशिकलन। aan ज्यामरच- ज्याम(न-२)च = ज्याम(.--- -२६ ज्यामरच, इसी तरह और भी दिखा सकते हो कि दो दो पद तुल्य' आवेंगे इस लिये इस पर से भी सिद्ध 'T T कर सकते हो कि ज्या यताय =२ २ज्यामयताय। इसी तरह से यह भी सिद्ध कर सकते हो कि " कोज्यामयताय = 0 अ यदि म विषष हो यदि अ से क बड़ा हो और य के अ और क के बीच किसी मान में फ(य) सर्वदा धनात्मक हो तो स्पष्ट है कि ./क(य)ताय इसका मान जो (२) प्रक्रम से श्रेढी में आता है उस में प्रत्येक पद धनात्मक ही रहेंगे इस लिये श्रेढी का योग अर्थात् अफ(य)ताय यह सर्वदा धनात्मक ही होगा। ४२ । ऊपर के प्रक्रमों में सान्तचल के लिये जो कुछ वर्णन किया गया है वह सब तभी ठीक दिखा सकते हो जब फल अर्थात् जिस का चल ज्ञान करना है, अ और क के वीच स्वतन्त्र राशि के मानों में सान्त हो और यदि अ, और क के बीच किसी स्वतन्त्र राशि के मान में फल अनन्त के तुल्य हो तो ऊपर की विधि से अर्थात् श्रेढी की विधि से सिद्ध होता है कि सान्तचल ज्ञान नहीं हो सकता। ऐसी स्थिति में अवश्य परीक्षा करनी चाहिये। जैसे चलानयन से सिद्ध है कि स्य (१-य) १ =-१-१%-२ यह मान (१-य) ताय इस लिये duena से सिद्ध है कि -- ताय mom न Mammananews मान आया - " ताय mium परन्तु इस का मान यदि (२) प्रक्रम से श्रेढी में ले आवो (१--य) तो चाचा + ... } ऐसा होगा। -- (१. इस में स्पष्ट है कि प्रत्येक पद धनात्मक है इस लिये श्रेढी का योग ताय अर्थात् २ यह धनात्मक ही होगा। इस कारण पहले सान्तचला- २ w नयन से-२ यह मान सिद्ध हुआ अशुद्ध ठहरा। यहां ० और २ के वीच य का मान १ के तुल्य मानो तो यह अनन्त के तुल्य होता है। OM -य ·प्रकीर्णक। इसी प्रकार भ -२-२४१-अ यह सान्तचलानयन से सिद्ध होता है परन्तु यहां यदि य = १ तो १ V१-य यह अनन्त के तुल्य होता है। इस लिये यहां ऐसा कहना पड़ेगा कि ताय इसका मान सान्त होगा यदि अ<१ हो तो। और अ का मान जैसा जैसा १ के ताय यह २ के पास पास आवेगा। ४१-य पास होता जायगा तैसा तैसा ४३ । (२) प्रक्रम में एक फ(य)ताय इस के मान में क, और अ दोनों 'अ ताय लिये अ को जो फ(य) के ऐसा सान्त कल्पना किया है वह सर्वदा ठीक नहीं कभी एक कभी दोनों विशेष स्थल में अनन्त के भी समान हो सकते हैं। जैसे । ताय = स्पय इस लिये - स्प-अ यहां स्पष्ट १+य १+य कि ज्यों ज्यों अ का मान बढ़ता जायगा त्यो त्यों स्प-अ का F के पास पास होगा इस लिये यदि अ = तो स्प-अ = ऐसा होगा इस लिये - यह सिद्ध हुआ। १+य इसी प्रकार ( ताय १+य = ला (१+य) M इस लिये ला (१+अ) यहां भी स्पष्ट है कि ज्यो ज्यो अका १+य ० ताय S मान बढ़ेगा त्यों त्यों ला (१+ अ) का भी मान बढ़ेगा इस लिये यदि अ = w तो ला (१ + अ)= 0. = 00 यह सिद्ध होता है । १+य ४४ । कल्पना करो कि फ(य) का मान अनन्त होता है यदि य = ग जहां ग, अ और क के बीच में है तो (४२) प्रक्रम से स्पष्ट है कि यहां एक फ(य) ताय इसका मान साधारण सान्त चलानयन से ठीक नहीं ·चलराशिकलन। MARURI -३१ १ आवेगा इस लिये पहले यहां (ग 'फ(य)ताय+ (के फ(य) ताय ग+इ. इस का मान ले आवो इस में इ, का मान शून्य मानने से (४१) प्रक्रम के (१) समीकरण से एफ फ(य)ताय = (ग-इ. काय)वाय + + + इ.फ(य)ताय यह सिद्ध हो जायगा। जैसे यदि फ(य) तो फ(य)ताय = इस लिये गि-इ. फ(य)ताय = --ला { ग-(ग-इ.) } or -{-ला (ग---अ)} = ला he F फ(य)ताय = इसी तरह ताय =- RAN raemonHNS ग+ई. ताय ग+१ य-ग ग+इ.गन्य DHARMA -ग - - wwwmom लाक-ग इस लिये दोनों का योग = ला इ. ManpasanRIHMH- इ. १ ३१ an कताय क्योंकि यहाँ इ९ = 0 मानने से भी ला % 3D - - m कwww में कुछ विकार न होगा। ऐसे मान को क्यासी (Cauchy) साहब ने / कैफ(य)ताय इसका मुख्य मान यह नाम रखा है। अ १ य S- १ Coppan mus- HamaamOAD यह होगा इस लिय ताय इस का मान सिद्ध है कि 뜲 अ+य यहां यदि य = स्पष तो ताय = छेषताष तब ताय छेषताष स्पष त =J अ+य अ+स्पष छेषताष यहां यदि ष = ० और ग हो तो.." इस का मान अ+स्पप - १ HAR २ 'स्प स्प० 41 स्प म) = स्प(6) स्प-१ (०) अ अ ·प्रकीर्णक। देखो यहाँ दोनों खण्डों का रूप एक ही है इस लिये बहुधा भ्रान्ति से जो लोग कि सान्तचलानयन में निपुण नही हैं दोनों मानों को समान मान उत्तर शून्य के तुल्य कहेंगे जो कि वास्तव में अशुद्ध है क्योंकि यदि सान्तचल का रूप २) प्रक्रम से श्रेढ़ी में ले आवो तो चछेच चछे (न-१)च अ+स्पच अ+स्परच अॅ+ स्प(न-१)च यह होगा जिस में स्पष्ट है कि कि प्रत्येक पद धन इस लिये श्रेढी का छेषताष यह कोई धनात्मक संख्या है। यही ४१वें प्रक्रम अ+स्पष चछेश्च ७ wwwam- अ योग अर्थात् के अन्त्य वाक्य से भी सिद्ध कर सकते हो कि यहाँ सान्तचल का मान अवश्य धनात्मक संख्या होगी। इस लिये यहाँ पर विचार करना चाहिये कि वास्तव में ष के . ष के . और T मान में स्प का क्या मान होगा । कल्पना करो कि०, ष, ष, उत्तरोत्तर अधिक पद हैं और ३१ श्रेढ़ी है जहाँ •बना यह एक तो (४१) वे प्रक्रम के (१) समीकरण से अस्पष T TT छेषताष रताष १रताष+ पर रताष+ परत रताष+ अस्पष TT पन S रताष + रताप पन-१ पन यहाँ स्पष्ट है कि न का मान अधिक करने से पह और षइ के अन्तर को चाहे जितना छोटा कर सकते हो इस लिये पइ+१ रताष = स्प स्पपड स्पपई+१ AIADMINIMIKARAN प यह अवश्य शून्य के तुल्य हो सकता है यदि पइ-प= 0 इस पर से सिद्ध होता है कि ज्यों ज्यों ष का मान बढ़ेगा त्यो त्यों स्प (स्पष ०मान से इस का भी मान बढ़ता जायगा इस लिये ष के * मान तक एक बार यह भी बढ़ कर ना इस मान के पार हो जायगा। जहाँ न कोई विषम संख्या है इस लिये यदि ष के शून्य मान में ·९६ चलराशिकलन। स्पष १ Tr S १ इस का मान ना मानो तो घ के म मान में स्प: (अ) इस का मान (न+१) अवश्य मानना पड़ेगा इस लिये छे पताष अस्पष = { स्प[प]-स्प [प] - {स्प (०)-स्प(०)} {(न+१) अ यह सच्चा उत्तर होगा। स्प- (अ) इस में मानो कि स्प- (प्रा) ..स्पषा = स्पष अब चलनकलन के (३०४) प्रक्रम के (१) समीकरण से यदि म = न = और म= अ+ तो T - - न अथवा % +१ षा-ष-मज्याष+ मर ज्याष + ज्याष ऐसा होगा - PRAM Hapna छेषताष अस्पष TT T १ m -- wepmom womdwon mama TI - Marathi - इस का उत्थापन चल मान में देने से अ (ष -मज्यारष+ मज्याष ज्यादष + ...) ऐसा हुआ ३ इस में ष का मान शून्य और मानो तो स्पष्ट है कि छेषताप (T-मज्या२r+ मज्याप्टग- म ज्याद + -ज्याद+...) अस्पष मा (o-मज्या० + ज्या० म ज्या -ज्या०+ ...) २ यह बड़े लाघव से सिद्ध हुआ। पहली क्रिया जो दिखलाई गई है उसे टाहण्टर (Todhtinter ) साहब ने अपने चलराशिकलन ( Integral Calculus) के ४६वे प्रक्रम में लिखा है। और दूसरी क्रिया से स्प' स्पष इस का मान जो दिखलाया है वह मेरी कल्पना है। इसी प्रकार दोनों सीमाओं के भीतर वास्तव में क्या मान है इसकी परीक्षा के लिये विद्यार्थियों को चाहिये कि बड़ी सावधानी से क्रिया करें क्योंकि ऐसे स्थानों में बहुधा संशयात्मक मान पड़ जाते हैं जिनका ठीक विचार न करने से अ ad ·९७ प्रकीर्णक। तुरन्त मान में अशुद्धि हो जाती है । इस विषय पर एक और उदारण दिखाते हैं। चलानयन से सिद्ध है कि = ज्या , इस लिये ताय . ANIMA य 'अ ताय? = ज्या (+१)-ज्या (-१)यह संशयात्मक हुआ - 'अ क्योंकि त्रिकोणमिति से सिद्ध है कि ज्या { (४म+१) = + १ और ज्या {(४ न-१) ) = -१ जहाँ म और न कोई अभिन्न संख्या हैं। इस लिये म और न का भिन्न-भिन्न मान मानने से अनेक मान आ सकते हैं। इस संशय को दूर करने के लिये विचारो कि-अ से बढ़ते बढ़ते जब य, + अ के तुल्य होगा तो निश्चय है कि एक वार शून्य के तुल्य होगा इस लिये ज्या-(-१) यह बढ़ते बढ़ते जव ज्या (+१) इस के तुल्य होगा तो अवश्य इस का एक ही मान ज्या-१ (०) यह होगा इस लिये यदि ज्या-(-१) का मान (४न-१) यह मानो तो अवश्य ज्या-१(०) का मान (४न-१)+ यह और ज्या (+१) का मान (४न- (४न-१) + यह होगा। इस लिये ज्या-(+१)- ज्या-(-१) = (४न-१)+ग (४न-१) = यह निश्चय मान हुआ । अथवा पहले ज्या-१ अइस का मान चलनकलन के (२०) वें प्रक्रम के (३) उदाहरण से श्रेढी के रूप में १ या १.२ ३य '२.४ ५अ' '२.४.६७ to + ...यह ले आवो इस में य = अ, और य = --अ, यह मान कर -१) +E+ T ३ -- १.३ य ज्या = + MARPA १ ज्या-(+१)=१+ HAMARANASI + + ... m داوه Home NA ज्या (-१) =- १ -.....=-ज्या (+१) इस लिये ज्या-(+१)-ज्या-(-१) = २ज्या-(+१) = २५ = यह सिद्ध हुआ। परन्तु इस बात का यहाँ अवश्य ध्यान रखना चाहिये कि ज्या पर से इस श्रेढी द्वारा जो चाप का मान आता है वह सर्वदा । इस से अल्प इस लिये यहाँ भी पहले के ऐसा इस एक मान को लेकर विचार करना चाहिये।

·चलराशिकलन । ४६ । जव ४० वें प्रक्रम से स्पष्ट है कि फ(य)ताय फ(य)ताय = च,फ(अ) + च.फ(य.) + ... ... . +च:फ(यन-2)...(१) क क 'फा(य) ताय = च फा(अ)+च.फा(य.)+ + चनफा(यान-१)... (२) और फि (य)ताय = च,फि(अ) + च,फि(य) + फि (य)ताय = च फि(अ)+च,फि(य.) + .... + चनफि(यन-१).... (३) o .. B 5 होंगे इस लिये फ (अ), फ(य), फ(य.), फ(यन-) प्रत्येक क्रम से यदि फा (अ), फा (य.), फा(य:),....फा(यन-२) और फि(अ), फि(य.), फि(य:),. . . ..फि(यत्न-.)इन के प्रत्येक के भीतर हो अर्थात् फा(अ) और फि(अ) के बीच में फ(अ), फा(य.) और फि(य.) के बीच में फ (य.) इत्यादि हो तो स्पष्ट है कि दूसरे और तीसरे के प्रत्येक पदों के के बीच में फ(य) ताय योग अर्थात् 'फा(य) ताय अ अ यह होगा। इस पर से यह सिद्ध होता है कि फ(य) यह फा(य) और फि(य) के बीच में हो य के अ और क के बीच किसी मान में तो S*फ(य) ताथ यह भी फा(य) ताय और फि(यताय के बीच में होगा। अ अ जैसे त्रिकोणमिति से सिद्ध है कि ज्यान । १थ यह सर्वदा ज्यानय और ज्या२न+२ य के बीच में रहता है अर्थात् ज्यानय 7 ज्यान य 7 ज्यानय तो Tr ऊपर के सिद्धान्त से न ज्यानयताय7 ८ ज्यान नयताय Tr 7 ज्यान+रयताय यह होगा। ४७ । यदि फ (य), य के स्थान में अ और अ से बड़ी संख्या का उत्थापन देने से उत्तरोत्तर न्यून होता जाय तो फ(अ)+ फ(अ+ १) + फ(अ+२) + ...अनम्त. यह श्रेढी और फ(य)ताय यह दोनों सान्त अथवा दोनों अनन्त होंगे।

·प्रकीर्णक । अ+7 क्योंकि (४०) वें प्रक्रम में क = अ+१ ऐसा मानो तो सिद्ध होगा कि (क-अ)फ(अ) = फ(अ)7 फ (य)ताय 7 (क-अ)फ(अ+१) = फ(अ+१) फ(अ+२) इसी तरह फ(अ + १)7 फ(य) ताय? में अ+१ फ { अ+ (न--१) } 74 S*** फ(य)ताय7 फ(अ+न) अ (न--१) तीनों का योग कर न को अनन्त मानने से (४१) वे प्रक्रम के (१) समीकरण से फ(अ)+फ(अ+ १)+फ(अ+२)+... 7 फ(य)ताय / फ(अ+ +फ(अ+२)+फ(अ+३)+. यह सिद्ध हुआ। Co इसलिये यदि श्रेढी सान्त होगी तो फ(य)ताय यह सान्त और श्रेढी १ H यला( य )लाय मा १ e- के अनन्त में अनन्त होगा। ४८ । यदि लाय = ला, ला { ला(य)} = ला (य),लाला { ला(य)}] = ला(य) इत्यादि कल्पना करो तो चलनकलन से { ला+(य)} ताय यला (य)ला (य).."ला(य) {ला(य)} ताय इस लिये यदि फ(य)ताय=यला(य)ला (य)ला (य) ला(य) { ला (य)} त तो (य)ताय- {ला(य)। १-त यदि त रूप के तुल्य न हो और यदि त १-त, रूप के तुल्य हो तो./फ(य)ताय = लाद+२(य) होगा। { ला+१(अ)} १-त यदि त7१ और यदि त= १ वा और फ(य)ताय Pom HAMARIABAR admin अ त<१ तो फ (य) ताय = 00 इस लिये (४७) वें प्रक्रम से फ(य) यला(य)ला (य) ... ला(य) {ला (य) 'ला (य) {ला(य)।त इस में य के स्थान में अ, अ+१, अ+२, इत्यादि का उत्थापन देने से जो श्रेढ़ी होगी वह सान्त ·१०० चलराशिकलन । होगी अर्थात् उसके उत्तरोत्तर पास के दो पदों का सम्बन्ध एक से अल्प होता जायगा । चाहे पद की संख्या कितनी ही हो। ४९ । कल्पना करो कि जिस में अनन्त पद है वैसी एक १ pmeanin' imastanwa या १ फाय) यह श्रेढ़ी है जिसके फा(न+१) 'फा(न+२) फा(न+३) किसी एक पद का मान ऐसा समझो। अब यहाँ इस बात का पता फा(य) लगाना है कि इस श्रेढ़ी का मान सान्त होगा वा अनन्त । यदि श्रेढ़ी का मान अनन्त होगा तब तो स्पष्ट ही है कि ज्यों ज्यो य बढ़ता जायगा त्या त्यों १ फा(य) भी बढ़ता जायगा । इस लिये यदि श्रेढ़ी का मान सान्त होगा तो निश्चय है कि ज्यों ज्यों य बढ़ता जायगा त्यो त्यों फा(य) भी बढ़ता जायगा। कल्पना करा कि न से आगे अनन्त तक चाहे जितना य बढ़ता जाय परन्तु फा(य) इस से छोटा है जहां ग और त कोई स्थिर इस का मान सर्वदा यन संख्या और त 7 १ है। ऐसी स्थिति में ४७ वे प्रक्रम से स्पष्ट है कि उद्दिष्ट श्रेढी का मान + (न+२)त (न+१)त इस श्रेढ़ी से अल्प होगा इस लिये स्वयं भी सान्त होगा। १ । %2 यदि L फाय) य/ग फा(य) या त और त ला (य)ला {गफा(य) लघुरिक्थ लेने से लागफा(य)} इस लिये त/ इस में यदि य = ० तो हर और अंश mamiamine दोनों अनन्त होते हैं इस लिये चलनकलन के ५वे अध्याय से लागफा(य) यफा(य) इस का मान -यह होगा । इस लिये इस में फा(य) य के स्थान में अनन्त का उत्थापन देने से इस लुप्तभिन्न का मान यदि एक से अधिक हो तो त का ऐसा मान मान सकते हैं जो कि एक से अधिक अर्थात् सर्वदा यत /ग फा(य) हो । और इसी तरह यदि लुप्तभिन्न का मान एक से न्यून हो तो त का मान ऐसा छोटा मान सकते हैं जिस में सर्वदा यत 7 ग फा(य) हो ऐसी स्थिति में श्रेढी का मान अनन्त होगा।

·प्रकीर्णक । यफा (य) ORNORMA इस पर से यह सिद्ध होता है कि किसी श्रेढी में यदि य के स्थान में अनन्त का उत्थापन देने से इस का मान एक से अधिक हो तो श्रेढ़ी का (फाय) मान सान्त और अल्प हो तो श्रेढ़ी का मान अनन्त होगा। यफा(य) इस का मान एक के वरावर हो तो (४८)वें प्रक्रम से फा (य) परन्तु यदि एफ(य) तायः गया इस लिये लिये । फ (य) ताय : 00 ऐसी स्थिति १ १ Pappu १ mama य में अब यह नहीं कह सकते कि उद्दिष्ट श्रेढ़ी का मान सान्त होगा वा अनन्त । अब मानो कि न से लेकर अनन्त तक य के मान में यह फा(य) इससे छोटा रहता है जहां ग और त स्थिराङ्क और त7१ य{ लाय तो ४८वें प्रक्रम से स्पष्ट है कि श्रेढ़ी का मान सान्त होगा । परन्तु गफा(य) / ... {ला(य)} त L लघुरिक्थ लेने से य(लायत गफा(य) गफा(य) त ला(य)/ला लागफा(य) -- ला(य) ..त/ य ल(य) ला(य) यहां भी य के अनन्त मान में यह लुप्तभिन्न हुआ जिस का मान चलनकलन के ३६वें प्रक्रम से ला (य) य फा(य) (फाय) इस लिये इस का मान यदि एक से अधिक हो तो श्रेढ़ी का मान सान्त और न्यून में अनन्त होगा। इस लुप्तभिन्न का मान यदि एक के बरावर हो तो फिर पहले के ऐसा अनिश्चय होगा। तब इस कामान फा(य) यला(य) {ला (य)त छोटा कल्पना कर पहले ऐसी क्रिया करो तो लुप्तभिन्न का मान BDO १ RRAIME यह होगा एक से १ फाय) इस से यफाय) MANMOMDARDNEt १ } ] ऐसा होगा ला(य)[ला(य) 1 फा(य) थफा(य) में यदि फा(य) ता., ला(य) यफा(य) फा (य) १} = ता, ·चलराशिकलन। यफाय) ला (य) [ला(य) । फात्य) १] = तार इत्यादि मानो तो १ - यफा(य) - - ता سش indin य फि(य) साधारण यह क्रिया उत्पन्न होती है ता = ला(य)(ता.-१), ता: = ला (य)(ता.-१), ता = ला (य)(ता:-१) ताम = लाम(य) ( ताम-१ ---१ } । इस लिये इस सिद्धान्त पर से ता.. ता,, ता, इत्यादि के मान बनाते चले जावो जिस का मान एक से भिन्न हो उस पर से उद्दिष्ट श्रेढ़ी का मान सान्त वा अनन्त है इस का विचार कर सकते हो। यदि -फि(य)तो फा(य) इस का उत्थापन ता. में देने से फा(य) फि(य) यफि(य) ऐसा होगा फिर आगे ता, ता३ इत्यादि फा(य) फि(य) का मान पूर्ववत् जान सकते हो। यफि(य) चलनकलन से- यह भी सिद्ध कर सकते फि(य+१) फि(य+प) फि(य) हो जव य% 0 क्योंकि ऐसी दशा में जहां प/१। फिरय+१) इस प्रकार से श्रेढी का मान सान्त वा अनन्त होगा यह सव डिमार्गन (Demorgan) साहब ने अपने चलनकलन और चलराशिकलन (Differential anal Integral Calcultis) के २०८-२१० प्र० में लिखा है। इस में यह कुछ नियम नहीं कि लुप्तभिन्न ही के प्रकार से मान ले आवो चाहिये कि जिस प्रकार से लाघव हो वह क्रिया करो। जैसे जिस श्रेढ़ी का न संख्यक पद (३) यह है उस का मान कैसा होगा यह जानना है यहां (३)- यदि फि(य) = (१) फि(य) १ १ १ फा(य) अ+का य RAANAPap MARA १ अक य इस लिये लघुरिक्थ लेने से ला { फि(य)} = (अ+ -क)ला(2) - (अ+ ) ला (य) तात्कालिक सम्बन्ध निकालने से ·प्रकीर्णक। १०३ फि(य) :-[4] कलाय य २ फि(य) इस लिये ता. यफि(य) फि(य) (अ+ - क)- कलाय इस में यदि य = 0 तो य और कलाय लुप्तभिन्न के आनयन से। इस लिये ता. = अ । इस लिये यदि अ7१ तो श्रेढ़ी का मान सान्त और यदि अ/१ तो श्रेढ़ी का मान अनन्त होगा। ५० । कल्पना करो कि २ लन mparror ... फा(ल) = क (य-ल)+ लफै(य-ल) + फै (य-ल)+ फन(य-ल),...(१) |२ ल के वश से तात्कालिक सम्बन्ध निकालने से फा(ल) = (य-ल) + (य-ल) -लफै (य-ल)+लफ' (य-ल) ર २ "(य-ल) Homeoam- माया लन-१ न-२ फन(य-ल)- फन+२ (य-ल) - C- Ganga लन hd Home फन (य-ल) ल के और च के बीच मान में दोनों के सान्त चल मान फा (च) फा (0) (कन (य-ल)ताल १ - - परन्तु (१) में ल के स्थान में और च का उत्थापन देने से फा(च)-फा(०) = फ(य-च)+ चर्फ (य-च) + फै (य-च)+ फन(य-च)-- फ(य) man - लनफन+२(य-ल)ताल य के स्थान में अ+च का उत्थापन देकर पक्षान्तरानयन से च फ(अ+च) = फ(अ)+ चर्फ(अ) + फ(अ)+ ૨ २ फन(अ) ·१०४ चलराशिकलन। च लनफन+१(य - ल)ताल न इस लिये फ(अ+च) इस का चलनकलन में टेलर के सिद्धान्त से जो श्रेढ़ी में मान आवेगा उस में न पद के अनन्तर न+ १, न+२, इत्यादि जो पद होंगे १ "च उनका योग ने लनफन (य-ल)ताल इस सान्तचल के सान्तचल के तुल्य होगा जिस का मान (४०) वें प्रक्रम से पचन''फन : (अ+च-पच) ऐसा वा, न न+(अ+च-पच) लनताल अ+च(१-प) लनताल न १ Imam प= कोई एक (अ+ चप) / लनताल ऐसा होगा [ जहां पर = ? न चन+१ न+१ से न्यून संख्या है] फन+२(अ+ चष.) ऐसा होगा ५१ । जब चलनकलन से सिद्ध है कि फल का वा फल में स्थिराङ्क युत वा रहित का तात्कालिक सम्बन्ध एक ही होता है इस लिये एक ही तात्कालिक सम्बन्ध का यदि कई एक प्रकार से चलानयन करो तो स्पष्ट है कि वे सव तुल्य होंगे वा उनका अन्तर कोई स्थिराङ्क के तुल्य होगा। ताय (१-य)-२ ताय (१---य) (१-य) यह प्रथमाध्याय के (३) सूत्र से सिद्ध हुआ । और इसी में यदि य= ऐसा मानो तो ताय = --- तार और (१-य) और (१-~-य) = (F) इस लिये - - २ MAR mmm १ हताय --(तारm- LangRomanaapt प्रथमाध्याय के तीसरे in सूत्र से । इस लिये दोनों का अन्तर = स्य 01-4 = १ = स्थिराव के हुआ। ऐसे ही सब जगह जानना चाहिये। इसी जगह यदि या इस का मान जानना हो तो स्पष्ट है कि दोनों पर से एक ही आवेगा क्योंकि /फ(य)ताय = फा(य) वा,./'फ(य)ताय - फा(य) + स्थि ऐसा मानो तो पहले से अफ(य)ताय = फा(क)-फा(अ) umar ·प्रकीर्णक। Am- - + मन यग-(१ - य)न-ताय १ . क wom - . और दूसरे मान से भी फा(क) + स्थि - फा(अ) + स्थि) = फा(क)-फा(अ) वही हुआ। एक ही तात्कालिक सम्वन्ध का भिन्न भिन्न रूप में चलानयन कर और उन पर से दो सीमाओं के भीतर दो सान्त चलानयन कर अनेक चमत्कृत समता उत्पन्न कर सकते हो । जैसे खण्डचलानयन से सिद्ध है कि य: (१-य) ताय - यम (१-य)न म+१ म+१ इस लिये ./"यम(१-य)नताय = मरयम(१-य)न-'ताय वार वार यही क्रिया करने से न(न-१) (न-२) यम(१. -य)नताय (म + १) (म+२) (म+न+१) और द्विथुक्पदसिद्धान्त से यम(१-य )न = यम १-नय + न(न-१), न(न-१) (न-२)य +. १२ न(न-१) न(न-१)(न-२)यम यम-नयम+१ १२ इस लिये प्रथमाध्याय के (३) सूत्र से न(न-१) य(१ १-य)नताय यम++ म+१ म+२ । २ (म+३) _न(न-१) (न-२)यम+'+ . . . . ३ (म+४) १ न(न-१) १ और म+१ १ म+२ म+३ ...} ३ . +. यम+२ - ३ यम १ यम+३ की S १ न Thapa alpurpelapur न(न-१) (न-२) + .... + (-१) ....(२) ।३ मन+१ इस लिये यहाँ ऊपर की युक्ति से निश्चय है कि (१) और (२) का दहिना पक्ष परस्पर तुल्य हैं। ५२ । खण्ड चलानयन से सिद्ध है कि फ(य)ताय = यफ(य)- यफ(य) ताय या (य) ताय% S यफ (य) फ(य)-३ यफ (य)ताय ·चलराशिकलन। RRIA यफ (य) ताय = फै (य)-3/ यफ (य)ताय ३ इन सब का एक एक में उत्थापन देने से फ(य)ताय = यफ(य)-फ(य) + य ४ फ (य)+ . . . २ फ(य)ताय न फै(य)- यन्कन-(य) + (-३) यफ(य)ताय more -१)न- Ranuman इस लिय अ (अ फ (य)ताय = अफ (अ)- फ(अ)+ ३ फ (अ) -फ(अ)+. ४ -१)न-अन फन-१ (अ) + यनफन (य)ताय Paraana इस प्रकार से सान्तचल ज्ञान के लिये यह जो श्रेढी उत्पन्न हुई है उसे बर्नली (Bernoulli) साहब ने निकाला है इस लिये उन के आदरार्थ इस को बर्नली की श्रेढ़ी (Bernoulli's Series) कहते हैं। यह जहाँ फ(य) का रूप यन-१ इस तरह का हो वहां पर बड़े काम की है क्योंकि ऐसी जगह पर फन (य) = ता"(यन-२) -यह शून्य के तुल्य होगा। अथवा जहां पर /फ(य) ताय तायन से सहज में हो इसकी अपेक्षा / यनफन(य)ताय इस का मान सहज में निकलता हो वहां पर भी यह बड़े काम की है। जहांपर /अयनकन(य) ताय इसका मान बहुत थोड़ा हो वहां पर भी स्वल्पान्तर से अफ(य)ताय इसके आसन्न मान का ज्ञान इस सकता है। ५३ । जब कि सिद्ध है कि फि(य)ताय यह य के उस फल को बताता जिसका तात्कालिक सम्बन्ध फाय) है तब स्पष्ट है कि एक फल ऐसा भी होगा जिसका तत्कालिक सम्बन्ध /फ(य)ताय यह हो अर्थात् यदि./फ(य)ताय = फा(य) मानो तो / फा(य)ताय यह भी एक मान जान सकते हो जिसका तात्कालिक सम्बन्ध फा(य) के समान होगा। ऐसे ही वार वार, चलज्ञान कर सकते हो।

·प्रकीर्णक। १०७ करता इसको ./फ(य)ताय = फा(य)। फा(य)ताय = //फ(य)ताय ताय = फ(य)। ./फि(य)ताय = / / फा(य)ताय ताय = // फ(य) ताय ताय ताय इस तरह से लिखते है। .फ(य)ताय ताय ताय यह प्रकाश कि ./ फ(य)ताय इसके मान को ताय से गुणने से जो हो उसके चल मान को फिर ताय से गुणकर गुणित फल का चल है। जैसे /ताय = य+ ग. य । (य+ग)ताय = 몰 +गाय+गर + गाय + ग.) = (य+ग,)ताय ताय = SSS = + गाय + य + ग-य + ग. जहां ग,ग, इत्यादि स्थिराङ्क हैं । इसी तरह यहां न वार चलज्ञान करें तो स्पष्ट है कि उस का मान आ.यन + आयन-२+ आयन-+ . . . + आन ऐसा होगा जहां आ., आन, ताय ताय - २ य २ R ताय तायताय - ज M इत्यादि स्थिराङ्क है। यदि/च ताय = च.,/चताय = च/च ताय = च, इत्यादि मानो जहां च, च, इत्यादि य के फल हैं और ताज जर, इत्यादि जहां ताय ताय जय का कोई फल है तो खण्डचलानयन से चज ताय - चज-/च जर ताय = चज, ---- च जर + /च.जर ताय = च,ज-च:ज+च जर-च ज+ + (-१)न-'चनजन-१ + (-१)न/चनजनताय इसी श्ढ़ी में यदि च = १ और ज = फ(य) मानो तो बर्नली की श्रेढी उत्पन्न हो जायगी इस लिये इस श्रेढ़ी को बर्नली के श्रेढी का मूल कह सकते हैं । यह श्रेढ़ी भी बहुत स्थानों में बड़े काम की है। जैसे इस श्रेढ़ी में यदि च = इस मानो तो स्पष्ट है कि च, च, इत्यादि सब परस्पर Nam . तुल्य होंगे इस लिये . . इयज ताय = इय { ज-जर + ज. - ज३ + . (-१)न-जन-१ } + (-१)न/इयजन ताय इस में ज के स्थान में भिन्न भिन्न फल का उत्थापन देने से हजारों उदाहरण बना सकते हो।

·१०८ चलराशिकलन। ५५ । यदि च = /च ताय, च = /च, ताय, च = /'च. ताय इत्यादि मानो तो खण्डचलानयन से = =यच यच ताय MANO- य ताच चाताय य 'ताय च ताय ताय चः = [च ताय = /य/च ताय--/यच ताय } ताय यहां भी खण्डचलानयन से य य च ताय- चताय-य यच ताय+ २ २ य यच = व - - यच ताय+ १ | यच ताय चताय-य HANNURSIRAM .. MppsARAMD इसी प्रकार से वार वार करते जाओ तो अन्त में न(न-१) चन | न = यन चताय-नयन--१ यचताय+ यन-२ यचताय द न(न-१) (--) . . (न-३+१) . . . + (-१) ६ य-४ यच ताय + (--१)न /यनच ताय यह एक सिद्धान्त उत्पन्न हो जायगा। इस की सत्यता के लिये मानो कि किसी न के मान में यह सिद्धान्त सत्य है तो /चन+नाय और न चन ./न चन१ ताय = / याताय/च ताय } ./नियन-१ ताय./यच ताय। न(न-१) यन-२ ताय यच ताय चन-२ D - SH ताय / यच ताय }...प्रत्येक अन्तर्गत का खण्डचलानयन से मानले आने से यन+१ न चन-२ Jinala PRE- यन+'चताय Homhemam य यन-१ य . २ चताय- न, यन'चताय-यन यचताय + यचताय यन+चताय+.. स न+१ से दोनों पक्षों को गुणकर दहिने पक्ष को यथा क्रम लिखने से चन+न+ = यन+१/चताय--(न+१)यन /यचताय न(न-१) यन-१४ यच तायommamine वा, चम+म = यम /चताय-मयम-१/यचताय ·प्रकीर्णक। EduRDERABADRIDEaran -यम-२ कि यह |२ यचताय- इसलिये यदि यह सिद्धान्त किसी न मान में सत्य हो तो न+१ में भी सत्य होगा परन्तु यदि न= २ तो च३ के मान से स्पष्ट सिद्धान्त सत्य है इसलियेन के सब मान में यह सिद्धान्त सत्य ठहरा। ५६। ./ ज्यानयताय वा कोज्यानयताय के मान के लिये यदि चलन- कलन के ३०० प्रक्रम की युक्ति से ज्याय वा कोज्यान य का रूप ज्या और कोटिज्या की श्रेढ़ी में ले आवो तो बहुत ही सुगमता चलानयन में होगी । जैसे चलनकलन के ३०० प्रक्रम की युक्ति से सिद्ध है कि ८ ज्याय = कोज्याध्य-४कोज्यारय+३ इस लिये ८. ज्या यताय = / कोज्याध्यताय-४ /कोज्यारयताय+ ३ ताय ज्याध्य ---२ज्याश्य+३य ज्याध्य ज्याश्य - PalamNepurwa +३य यह पहले लघुकरणसिद्धान्त . ४ त . . ज ज्या यताय की अपेक्षा बड़े लाघव से सिद्ध हुआ। इस प्रकार और भी बहुत उपाय से जिस में सुगमता हो वैसी क्रिया करनी चाहिये। ५७ । इस प्रक्रम में विद्यार्थियों को जिस में बोध हो इस लिये कुछ उदाहरण क्रिया समेत दिखाते हैं। (१) (1) + (-) + (३) २न पद तक जो यह श्रेढ़ी है इस में (+-) + (+1) + • • • न पद तक जो यह श्रेढ़ी है इसका भाग देने से क्या लब्धि होगी यदि न = 0 | यहां प्रश्नानुसार न के अनन्त मान में 2) + (5) २न पद तक -इसका मान जानना है (+) (+) + (इ +1) + ...न पद तक अंश और हर को -से त न त त . क () गुण देने से न ·चलराशिकलन। } अंश = () + (-) + (३) +: . २ न पद तक हर-{(३+4) + (+३) + (+1)+ न पद तक } ४०वे प्रक्रम के समीकरण के साथ अंश और हर दोनों की तुलना करो तो अंश में इन = च, अ%D0, क = 0 +२नच = १ और फ(य) = (य)त इस लिये अंश का मान = याताय - 4 14 (य) नाय = (य) और हर में पहला पद फ(अ)= (३+३)..अ= ३ + और = च..क-अ = चन- ३ और क = ३ + अ = १ + इन और फ(य) = (य)ल इस लिये / फ(य)ताय = (4) नायः इस लिये हर (१+नेता (३+नन।" ३+न १-(३)त यदिन - 0 त+१ १ + निफ(य)ताय D त+१ त+१ m त+१ अं इस लिये ऊपर के भिन्न का मान === १- (६)तर यही उत्तर हुआ। (२) सिद्ध करो कि यदि फ(य) = फ(अ+य) तो “मअफ(य)ताय - म./*फ(य)ताय यहाँ (क फ(य)ताय इसका मान यदि २ प्रक्रम से श्रेढ़ी में लावो तो (१ ) ... . मज फ(०) + फरम) + फ(अ) + . .फार्मअन-12] } ऐसा होगा परन्तु प्रश्न से फ(य) = फ(अ+य). .फ(०) = फ(अ), फ(मअ) = फ(अ+ इत्यादि । इनका उत्थापन देने से (१) का मान मअ {(अ)+फ(अ+ + फ(अ+ २म) + ...फ[अ+ 2.]} मअ+अफ(य)ताय यह हुआ। इसी रीति से फ(य) पर से भा मअ(न- - अ ·प्रकीर्णक। १११ मअ+अ Start म मअ (फ(अ) + फ(अ+ अफ(य)तायः হয়ঞ্জ, - +फ (अ+ अ +फ अ+ यहाँ भी जब फ(य) = फ(य + अ).फ(अ) = फ(२अ), भ फ(अ+ फ(२+ -),३० इन का उत्थापन (२) में देने से (२) का मान मअ. g मंच { फ(२अ) + फ(२अ + मंअ(न-१ )+. . + फ[२अ+ eam AAMAana मअ+ २अ फ(य) ताय यह हुआ - २ इस पर से सिद्ध हुआ कि 'मअ + अफ(य)ताय मअ+२अ. 'फ(य) ताय = म अफ(य)ताय इत्यादि। म के एक स्थान में १, का उत्थापन देने से , 'फ(य)ताय = (२अफ(योताय = (२अफ(य) = ... अमन फ(य)ताय(३) २ अब ४१ वें प्रक्रम के (१) समीकरण से मअक(य)ताय = [*फ(योताय + २(योताय + (२अफ(य)ताय + ... फ(य)ताय = मफयताय ३अ. २अ (३) से सिद्ध हुआ। अथवा जव फ(य) = फ(अ + य) इस लिये फ(०) = फ(अ) और फ(अ) = फ(रअ) इस लिये य के ० और अ के बीच मानों में जो | अफ(य) ताय इस का मान होगा वही य के औ २ अर अ के वीच मानों में भी अफ(य)ताय इस का मान होगा यो आगे भी सिद्ध कर सकते हो कि S अ २अ. "फ(योताय = (३ ३अफ(य)ताय, इत्यादि । इस पर से ४१वें प्रक्रम के अ २ ·TO ला T T २ यज्यायताय चलराशिकलन। (२) समीकरण से पहले के ऐसा उत्तर निकाल सकते हो। (३) ला ज्याय ताय इस का मान क्या होगा? यहाँ ४१ वें प्रक्रम के (४) समीकरण से 'लाज्यायताय 3 ला(य)ताय - ला कोज्याय ताय २ लाज्यायताय (लाज्याय + लाकोज्याय )ताय = २र यदि ला ज्याय तायर, वार ला (ज्यायकोज्याय)ताय लाज्यारय-ला२ ताय ला ज्याश्यताय--१"लार २य के स्थान में यं का उत्थापन देने से सिद्ध कर सकते हो कि लाज्यारयताय ला ज्यायंताय - ला ज्याय ताय ४१वें प्रक्रम के (६) समीकरण से इस लिये २ = र-2 ला२..र -2" ला २% ला: यज्यायताय इस का क्या मान होगा। १+कोज्याय इस का मान र, मान कर ४१वें प्रक्रम के (५)चे समीकरण से यज्याय ताय (r--य)ज्यायताय १+कोज्याय .१+कोज्याय १+कोज्याय - T Tr कि (e) TT Tr - 시리 ward SCT यज्यायताय १+कोज्याय यज्यायताय गतायज्याय १+ कोज्याय १+कोज्याय, T 'T m mes गज्याय ताय १+कोज्याय ज्याय ताय १+कोज्याय NDARA २ - तार (यदि र= कोज्याय) १+२ कायाaanand ·प्रकीर्णक f २ परन्तु = स्प५ = स्प- (कोज्याय) इस लिये जब य = ० तो कोज्याय = १ और स्प-२ (कोज्याय) = और जब य = तो कोज्याय = 0 और स्प- १ (कोज्याय) TT इस लिये -- तार T २ - karne Duman - यह उन्तर हुआ। (५) १ ला(१+य) ताय इस का क्या मान होगा। १+य इस लिये ला(१+य) न यहाँ यदि स्पर = य तो ताय = छेर तार = (१+ स्पर) तार -ताय = ला(१ + स्पर) (१+ स्पर)तार = ला (१ + स्पर)तार १+य १+स्पर १ला(१ + य). १+य १+ स्प wap ४१वें प्रक्रम के (४) समीकरण से। परन्तु स्प(-२) - P- १+ स्पर और लाई १ +स्प(-र)} = लार-ला (१-- स्पर) २ इस लिये १+ स्प(म-र) १+स्पर इसका उत्थापन देने से 'ला(१ + स्पर) तार- लारतार-ला(१+ स्पर) तार } पक्षान्तरानयन से T ला(१ + स्पर) तारक तार ला२-लार ता . ला (१+ स्पर) तार = ला२ । ऐसा बना कर + DRONE bha यहां देखो इस प्रकार से कैसे लाघव से उत्तर निकला है। या . या य यहां यदि ला (१+य) का रूप य-- ३ इस में साधारण बीजगणित की रीति से १+य का भाग दो तो १५ ·चलराशिकलन। य-२ य' + + १६ Hamwas ऐसा होगा ला(१+य) य' १+य २ इस मैं य के गुणक १ को गुर, और य के गुणक-2 को यन-२ के गुणक को गुन-२ मानो तो यनका गुणक + गुन-३) यह होगा यदि न सम हो ।और विषम होतो . . M -गुन-२) यह गुणक होगा। ला(१+ य) इसमें ऊपर के श्रेढ़ी का उत्थापन देकर चलमान निकालो तो ५ १3 RAN ऐसा होगा माल m . . + यदि १+य ला(१+य)ताय य १+य २ लिये १ ला(१+ य)ताय १+य kpath + १ - ३ म +१.३+१.है.... . इस लिये मला२३-३.3-3.+22+ १३.१ ऐसा यह अत्यन्त चमत्कार सिद्ध होता है। (६) "धनलाज्याष ताष इसका मान "बलाज्याप ताप इस का । फल होगा यह सिद्ध करो। यदि न7२ । यहां ४१ वें प्रक्रम के (४) समीकरण से IT पनलाज्याप ताप%3 . (--) प्लाज्याप ताप = * (१-५)लाज्याप ताप =न {१–नप , नन-22- नन-9) -23 ) : +.. + (-१)न ۔ Padmaa लाज्याष ताष गन न(न-१)(न-२) १-नप+ mumtara mounted लाज्याषताष + -१)नधन लाज्याष ताष ·अभ्यासके लिये प्रश्न । समशोधन से TO "प"लाज्याष ताप-- "(-१)नषलाज्याप ताप न लाज्याष तापww न Tr 'पलाज्याप ताष न(न -- madana १) गन-२ antan "पलाज्याप ताप.... २ + (-१)न-२ "वन-लाज्याष ताप . (१) (१) इस में न के स्थान में २ का उत्थापन देने से "लाज्याषताष- २८./"पज्याषताप ऐसा होगा इस लिये २ T 21 "पलाज्याषताप = *" लाज्याप ताप :/पलाज्याषताष = ./लाज्याषताष परन्तु ४१वें प्रक्रम के (६)वें समीकरण से और इस प्रक्रम के (३) उदाहरण से 'लाज्यापताष দুবাই T TT इस लिये पलाज्याषताष = " ला ३ यह सिद्ध हुआ। यदि./लाज्यापताष = ला ३ = च. तो पलाज्याषताष = * ला ३ = च, इन का उत्थापन (१) में देने से और न के स्थान में ३ मानने से २/षलाज्यापताष = "ची-३ च + ३./प'लाज्यापताष इस प्रकार से वार वार उत्थापन देने से पिनलाज्याषताष = फ(च.) ऐसा हो जायगा जहाँ T च= /षलाज्याषताय । अभ्यास के लिये प्रश्न । सिद्ध करो कि यदि फ(य) = फर-य) तो ·११६ चलराशिकलन। अ % -अ +अ. फ(य)ताय २. फ(य)ताय। फ(य)ताय 'फ(य)ताय। और/फ(य) = -/ फ(य)ताय २। यदि फ(य) = --फ(-य) तो सिद्ध करो कि *फ(य)ताय = 0! °फ(य)ताय =-/ 'फ(य) ताय । और *(फ)ताय = 'फ(य)। ३। यदि फ(य) = फ(-य) और फा(य) = --फा(-य) तो सिद्ध करो कि { फ(य)+फा(य)} ताय = फ(य)ताय - { फ(य)-फा(य)} ताय । अ + +अ अ -अ ४। सिद्ध करो कि +co.. -य TT ताय = 1/ और अ ज्याय इ । wa MammaNS Mangam ५। सिद्ध करो कि +अ कोज्यायताय १+य ६। सिद्ध करो कि कोज्याश्यताय • अ(१+य) (कोज्याय-ज्याय) BANKA - क-अ क क+अ क-अ फा mulmaan "फ(य)ताय S +य)ताय २ग ग ७। सिद्ध करो कि क-अ अग-कघ क-अ *फ(य)ताय "फ य)ताय *made RADICAL Hamansamom ग-वघ गघ ग-घ अ ८ सिद्ध करो कि fला(१+ नकोज्याय)ताय = यलाना न +२नाज्याय-२ना ज्याश्य २ २ . ना ज्याठय+ नाज्याश्यm4 DRAMA upamam १. जहां ना%3D ९। सिद्ध करो कि ५ ला(१ + नकोज्याय)ताय = "ला २(१-V १-न) ·अभ्यासके लिये प्रश्न । २ . . .) ४ % - Son- - स्प . नद+१ १० । सिद्ध करो कि ला(१+२मकोज्याय+म)ताय २(मज्याय ज्याश्य+ म ज्याश्य-म ज्याध्य+ २२ वाला (१+२मकोज्याय+म)ताय ज्याय ज्याश्य, ज्या३य ज्याध्य =यलाम+२ + २"मर ११ । सिद्ध करो कि /ला(१+ नकोज्याय)ताय = २य लाकोज्या ५ +२(स्प ज्याय -स्प२ ज्याश्य+ ...) यदि न = ज्याष १२ । सिद्ध करो कि इला(१ + न ज्यायताय = ला (१+ न.) (१ + न.) (१ + न.) (१ + न.)...} जहां नदे ४(नद +१) यहाँ ४१वें प्रक्रम के (४) समीकरण से/ला(१ + न ज्याय)ताय =/इला(१ + नकोज्या य)ताय फिर इन दोनों को जोड़ कर एक नियम परम्परा बनायो। १३ । १२वे और ९वें प्रश्न से सिद्ध करो कि {1} = (१+म.) (१ + न.) २(१ + न.) (१ + न) १४ । सिद्ध करो कि { फ(9)फ(अ + *)क(अ + :...(अ+-ग) } * <[ग क(ब)ताय यदिन का मान अनन्त हो तो। १५ । प्रथमाध्याय के ३३चे प्रश्न से पहले यह सिद्ध करो कि इकयकोज्याअयताय इ (अ+क) फिर इस पर से यह सिद्ध करो कि इकयकोज्याअय ताय इस के चल का चल फिर उस के चल का चल यो न वार तक जो चल होगा उस का प्रमाण कयकोज्या(अथ-ष) + स्थि , जहां स्पष = Brada Sen क ·चलराशिकलन। AMADIRAL १ atmaraman . इकयकोज्या(अय-नप) +गा+गाय+गाय + गायन (अ+ क') +गान-यन- यह होगा। जहां गा, गार , गा३ इत्यादि स्थिराङ्क हैं। १६। ८वे से सिद्ध करोकि लाज्याय = लाई-कोज्याश्य-कोज्या४य-कोज्याक्ष्य' -१कोज्या८य .. और लाकोज्याय = ला+कोज्याश्य-३कोज्याध्य+कोज्याक्ष्य -कोज्या८य+ १७ । सिद्ध करो कि यदि किसी श्रेढ़ी का न संख्यक पद त(त+अ)(त+२अ) त+नअ) यह हो तो यह श्रृंढ़ी सान्त होगी द(द+अ)(द+२अ) (द+ नअ) यदि द>त+अ और यदि द<त+अ तो श्रेढ़ी का मान अनन्त होगा। १८ । सिद्ध करो कि किसी श्रेढ़ी के न+१ संख्यक पद में न संख्यक पद का भाग देने से यदि लब्धि यत+आयत-१+कायत-२ यह हो तो यदि अ7 का+ १ तो श्रेढ़ी का यता अयत-+कय + मान सान्त और यदि अ<का+१ तो अनन्त होगा । १९। यदि आ%3D "कच ताय, का चजताय और गा= के जताय तो सिद्ध करो कि आx गा7का। बीजगणित का (ओ+अ+ + अने) (करे + क + . . • + कने) 7(अर कर + अ क + • • अनकन) यह सिद्धान्त देखो। २०॥ सिद्ध करो कि + 8 । . ..२ 'का HM क ला कोस्पय ताय 30 8 Poom २१ । सिद्ध करो कि २अकताय य + य (अ+क)+ अंक - २ अनक T - pma २२ । सिद्ध करो कि (१-काय) ताय V(अय) [१ अंक] ·अभ्यासके लिये प्रश्न। . 9 २३ । सिद्ध करो कि यदि न का मान अनन्त हो तो १५+२+३+ + (न-१) है है न २४ । सिद्ध करो कि यदि न का मान अनन्त हो तो १+ (१+1) + (१++. + (१+न-) १+ (१+1) + (१+३)+ + (१+नन) . . Sad - FIR . . . २५ । सिद्ध करो कि कोज्यायलाकोज्यायताय = ला (२)-? २६ । सिद्ध करो कि लाज्यायताय = यलाई-(३ज्या २ य+ज्या ४ य+ज्या ६ य + ....) २७ । सिद्ध करो कि /लाकोज्यायसाय-यलाई+ज्यारय-ज्याध्य+ज्यादय-ज्या८य+... २८ । सिद्ध करो कि लास्पयताय = -ज्याश्य-ज्याक्ष्य- १ २९ । सिद्ध करो कि + अलार)क ' अ(ला३)क अ(लाठ) इस श्रेढ़ी का मान सान्त होगा यदि अ7१ और क का मान चाहे जो हो। ३० । (अ-१) + (अ.--१) + (अ.---१) + (-१)+ यह सान्त होगा यदि न = 0 नहीं। ३१ । सिद्ध करो कि १ १ + स +अनन्त ४ .... + (अन-१) २ 3 या य+ + + ...यह सर्वदा सान्त होगा। |३ ३२ । सिद्ध करो कि इन्य {फ(य) + (य)} ताय = इयफ(य) ३३ । सिद्ध करो कि १ यइयताय _इ-२ (१+य) ३४ । सिद्ध करो कि यदि फ(य)= अ अ.य + अश्य + अध्यन यह सान्त हो तो फ(य)ताय इस का मान भी यदि श्रेढ़ी में ले आवे तो उस श्रेढ़ी का मान भी सान्त होगा। ३५ । यदि इयताय का न वार चल निकालें तो सिद्ध करो कि उसका + अनन्त इकय - + आ,यन-+ आयन-+..+ आन-य+आन कन

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·चलराशिकलन ।
जहां आर, आर, इत्यादि स्थिराङ्क हैं।
३६ । एक आदमी अपने (अ) स्थान से पूर्व को चला। दूसरा .जिस का
(क) स्थान अ से ठीक उत्तर की ओर एक मील पर था वहाँ से उसके मिलने के
लिये चला। पहले की प्रतिक्षण की गति को उस के और अ स्थान के सैक
अन्तर के लघुरिक्थ से गुण देने और उस के और क स्थान के अन्तरवर्ग का
भाग देने से जो लब्ध हो उतना प्रतिक्षण में दूसरा चलता था तो बताओ कि जब
पहला अपने स्थान से एक मील गया उस समय दूसरा अपने स्थान से कितना
गया होगा।
उ० ला (२) = 4 मील
३७ । अ स्थान से साथ ही घोड़ दौड़ में क, ख, और ग घोड़े दौड़े।
किसी क्षण में अ स्थान से जितनी मील दूरी पर क होता था उस से और उस के
वर्ग से उस के उस क्षण की गति को गुण दो तो वह क्रम से ख और ग की उस
क्षण की गति होती है तो बतायो कि क और ख, फिर अ स्थान से क और
ख, क और ग, और ख और ग कितनी कितनी दूरी पर मिलेंगे।
ख, ग ३ । क, ग, /३ = १ और क, ख,
२ मील दूरी पर मिलेंगे।
इति चतुर्थाध्याय।
-
उ०