·No text on this page.

·No text on this page.

·No text on this page.

·* मराठी ज्योतिर्गणित पुस्तकावलि
पुस्तक चवथें
(आकर्षणशास्त्र)
गोलव्यप्रभविमर्श
(Problem of two bodies)
लेखक
वेंकटेश बापूजी केतकर,
ज्योतिर्गणित-केतकी-वैजयन्ती
सौरायब्राह्मतिथिगणित (सं)
ग्रहगणित-नक्षत्रविज्ञान
सूर्यग्रहण ( मराठी )
क्रोनालाजी (इंग्रजी)
ग्रंथांचे
कर्ते
किंमतदान रुपय.

·प्रकाशकाची प्रस्तावना ॥ ब्रह्मांडी सर्व वस्तू, ग्रह, उडुगणही, सर्वदा एकमेकां ॥ ॥ कोण्या रीती कितीसे, कवण, कुठवरी कर्षिती ते व तें कां ॥ ॥ याच्या गूढा रहस्या कथन करि असा एक ना ग्रंथ जो की। ॥ महाराष्ट्रीय भाषीं, म्हणुनि रचियला वेंकटे हा विलोकीं॥ प्रस्तुत ग्रंथ १९१८ सालींच लिहून तयार होता. आज सोळा वर्षांनी तो आम्ही प्रसिद्ध करीत आहों. भरत खंडात आजपर्यंत आकर्षण- शास्त्रावर एकही ग्रंथ झालेला नाही. यावरूनच याची योग्यता व्यक्त होते. केतकी, वैजयंती, ज्योतिर्गणित, परिशिष्ट, नक्षत्रविज्ञान, मराठी- ग्रहगणित हे सहा ग्रंथ वडिलांनी प्रसिद्ध केले. त्यानंतर, सोरायब्राह्म- तिथिगणित, शास्त्रशुद्धपंचांग अयनांशनिर्णय, वैजयंती द्वितीय आवृत्ति, भारतभूमंडलीय सूर्यग्रहण, सपरिशिष्ट व सभाष्य केतकी, गोलद्वय प्रश्न विमर्श, व भागत्रयात्मक केतकरचरित्र असे हे सात ग्रंथ १९२७ ते १९३४ वर्षी अखेर, केवळ स्वतःच्या जबाबदारीवर, छाप- विले. किती त्रास झाला हे कोणास सांगावयाचें? ज्योतिःशास्त्रासारखा दिव्य विषय, शास्त्रपराङ्मुख जनता, अत्यल्प गि-हाईक, लायब्रन्यांची आत्यंतिक उदासीनता, श्रीमंतांची भिन्न रुचि, धनवंतांची अरुचि, कांहींची आत्म- संतुष्टता तर इतरांचे दुर्लक्ष्य व आमचा स्वतःचा द्रव्याभाव, इतक्या दुस्तर संकटांना बाजूस सारून वडिलांचे सर्व ग्रंथ प्रकट करूं शकलों यांतच मला आनंद आहे. ग्रंथप्रसिद्धीच्या कामी जरी आम्हांला प्रत्येक प्रसंगी कर्जभार करावा लागला तरी- । तातांनी खचरप्रवंध रचिले दिव्यप्रभावें महा-॥ ॥ कष्टं मुद्रियले, उपाय हरला कर्जादिकांनी सहा ॥ ॥ आम्हीही मग कर्जभार करुनी अत्यंत चिंतावहा ॥ ॥ सप्त ग्रंथ विमुद्रिले, मिळविली पितृर्णमुक्ती महा ॥ आम्हीं पितृऋणमुक्ती मिळविली हा केवढा आनंदाचा प्रसंग. असो. आर्यभूषण प्रेसचे म्यानेजर रा. रा. अनंत विनायक पटवर्धन, बी. ए. यांच्या देखरेखीखाली प्रस्तुत ग्रंथ मुद्रित होऊन बाहेर पडत आहे एवढे सांगितलें म्हणजे त्यांत सर्व आले. त्यांची सहानुभूति व धोरण प्रशंसनीय आहे. त्यांच्या सहनशीलतेने आम्हांला ऋणी करून ठेविलें आहे. २३-१२-१९३४ प्रकाशक विजापूर दत्तात्रेय वेंकटेश केतकर } ·ग्रंथलेखकांची प्रस्तावना ग्रहगतीच्या आकर्षणीय उपपत्तींचें निरूपण करणारा, असा मराठी भाषेत हा पहिलाच ग्रन्य आहे, असे म्हटल्यास चालेल. मध्योत्सारिणी व मध्याभिगामिनी, या दोन प्रेरणांमुळे, ग्रह सूर्याभोवती फिरतात या विधानापेक्षा जास्त माहिती करून देगारा ग्रंथ मराठीत किंवा दुसन्या कोण. त्याही देशी भाषेत लिहिला असल्याचे आमच्या पहाण्यांत किंवा ऐकिवांत नाही. इंग्लिश व फ्रेंच भाषांत जे औपपत्तिक ग्रन्थ आहेत, ते पारमा- ण्विक ( Infinitisinal Culculus ) पद्धतीने रचलेले असून उच्च गणित- कोविदांस मात्र ते अवगम्य आहेत. तशांत अशा प्रकारचे उच्च ज्यौतिषिक ज्ञान देणारे, असे या भरतखंडांत एकही विश्वविद्यालय नाही. इतकेच नव्हे तर या बुद्धिविकासी गणित व ज्योतिष विषयाचे अलीकडे क्रमाने विद्या- लयांतून उच्चाटन होत आहे, ही खेदाची गोष्ट आहे. ग्रहगतीच्या भूमितीय उपपत्तीचे विवेचन, आम्ही आमच्या मराठी ग्रहगणितांत सविस्तर केलें आहेच. त्याची वरील पायरी म्हणजे ग्रहगत्यु- त्पादक भौतिक (Physical) कारणाचे विवेचन होय. यालाच आकर्षण- शास्त्र म्हणतात. विवेचनसौकीसाठी, या शास्त्राचे गोलद्वयप्रश्नविमर्श व गोलत्रयप्रश्नविमर्श, असे दोन भाग करावे लागतात. पुन्हां या प्रत्येक विभागाची विवेचनपद्धति भूमितीय व पारमाण्विक अशी द्विविध असते. दुसरीपेक्षां पहिली पद्धति काहींशी बोजड व पल्लवित असली तरी, अल्पज्ञ विद्यार्थ्यांना ती सुगम आहे. आणि या पद्धतीला साधनीभूत अशा बीज- गणित, भूमिती, त्रिकोणमिती, शंकुच्छिन्न, या विषयांवर मराठीत सुदैवाने ग्रंथ झाले आहेत. म्हणून वर्तमान परिस्थितीकडे लक्ष्य देऊन, या पहिल्या विभागाने विवेचन पहिल्या पद्धतीनेच येथे केले आहे. या आकर्षणशास्त्राचा मूल प्रवर्तक, जो महातत्त्ववेत्ता न्यूटन, याने आपल्या ( Principta) प्रिन्सिपिया नांवाच्या शिरोमाणे ग्रंथांत हीच विवेचनपद्धति स्वीकारिली आहे.त्याच्या वेळी पारमाण्विक गणितशास्त्र अस्ति- त्वांत नव्हते. आम्ही सदर प्रिन्सिपियाच्या पहिल्या तीन खंडांच्या आधारें, हा गोलद्रयप्रश्नविमर्श नांवाचा प्रबंध रचिला आहे. यांत आमच्या वाचकांस ·(२) रली आहे. विषयविवेचन, जरी बैजिकरीतीने केले आहे, तरी शक्य असेल तेथे, सांख्य उदाहरणे देऊन, विषय ज्ञान अधिक दृढ व मनोहारी केलें आहे. विवेचनांतील दृष्टांत व उदाहरणे ही वाचकांच्या रोजच्या पाहण्यांत येणारी अशीच दिली आहेत. अलीकडील पाश्चात्य गणित ग्रन्थांतील विवे- चन, वाचकांची ज्ञानसामुग्री ग्रन्थकारांच्या ज्ञानसामुग्रीसमान आहे, असें गृहीत धरून प्रायः केलेले असते. त्यामुळे सिद्धतेतील आवश्यक पाय-या बऱ्याच ठिकाणी गाळल्या असतात. व पूर्वोत्तर पाय-यांचा, किंवा समीकर- णांच्या रूपांतराचा, संबंध दर्शक सूचनाही दिलेल्या नसतात. यामुळे अल्पज्ञ विद्यार्थी व वाचक बुचकळ्यांत पडून, त्यांना काही समजेनासें होते व प्रत्येक पायरी म्हणजे त्यांना एकेक कोडेच वाटते. अशा अडच- णीत मदत करणारे गुरूही भेटत नाहीत. या कारणामुळे विद्यार्थी कितीही उत्सुक असला तरी तो हताश होऊन, या विषयाचा नाद सोडून देतो. अशा प्रकारचा अनुभव आम्हांस आला आहे. म्हणून आम्ही पूर्वोक्त उणीवा या निबंधांत राहूं दिल्या नाहीत. इतकेच नव्हे तर बऱ्याच प्रसंगी मुद्दाम द्विरुक्तीही, वाचकानुकंपेस्तव व दृढीकरणास्तव होऊ दिली आहे. ग्रहगणितांत व या पुस्तकांत आम्ही इंग्रजी व ग्रीक सांकेतिक अक्ष- रांचा उपयोग केला आहे यामुळे, या पुस्तकाच्या मराठीपणाला गौणत्व येते असें म्हणणारे काही गृहस्थ आहेत. पण त्यांची ही समजूत कोती आहे. कारण सांकेतिक अक्षरें जर स्पष्ट निराळी दिसणे अगत्याचे आहे तर ती भाषा, लिपीहून बरीच भिन्न असली पाहिजे. हे जाणून पाश्चिमात्यांच्या ग्रंथांत रोमन व ग्रीक जुन्या जर्मन अक्षरांचा उपयोग केला असतो. इकडे कानडी लिपीत छापलेल्या भूमितींत देवनागरी अक्षरांचा उपयोग केलेला, व मराठी भूमितीत मोडी सांकेतिक अक्षरांचा उपयोग केलेला पाहण्यांत येतो. ही गोष्टही विचारविहितच आहे. दुसरी गोष्ट अशी की ज्या समी- करणांत अक्षरें इंग्रजी आहेत, त्यांतील अंकही इंग्रजी असणें सारूप्यदृष्ट्या योग्य आहे. अरबांनी आमची अंकलिपी १० व्या शतकांत स्वीकारून, तिला रकमहिंदी हे नांव दिले आणि १३ व्या खिस्ती शतकाच्या प्रारंभी पाश्चात्यांनी (Leomardsof Pisa याने बार्बरीदेशांत ट्युनीस येथे असतांनां) तिचा स्वीकार करून तिला "अरबिक न्युमरल्स" हे नांव दिले. या ऐतिह्या- वसन, असे सिद्ध होते की, पाश्चात्यांचे अंक, आमच्या अंकांचे वंशज ·( ३ ) आहेत. म्हणून त्यांचा स्वीकार करणे म्हणजे पतितपरावर्तनासारखें गौण नव्हे, तर देशांतरास जाऊन दिग्विजय करून आल्याबद्दल त्यांचे अभिनंदन करणे होय. आणखी एक गोष्ट अशी आहे की, पाश्चात्यांनी ज्योतिःशास्त्राची मर्यादा आम्हांपेक्षा शंभरपट वाढविली आहे. म्हणून आमचें ज्योतिषज्ञान वाढविण्याचे असेल तर, त्यांच्या ग्रंथांचे परिशीलन आम्हांस केलेच पाहिजे. आकर्षण ("), द्रव्य (1), केंद्रच्युति (e) गुरुत्वाकर्षण (9), आकर्ष- णाचे मूलमान (M), व्यासपरिघगुणोत्तर (ग,), इत्यादि शेंकडों सांकेतिक अक्षरें, इंग्लीश, फ्रेंच, जर्मन, स्पॅनिश, अमेरिकन या सर्व भाषेतील ज्योतिष उग्रंथांत, विचारविनिमयसौकर्यार्थ सारखींच वापरली असतात. म्हणून आमची कूपमंडूकवृत्ति सोडून देऊन पुढे ज्ञानसंपादनाच्या कामी लिहि- लेल्या महत्तत्त्वाचे इतःपर तरी, आपण अवलंबन केले पाहिजे. अयं निजः परो वेति गणना लघुचेतसाम् । उदारचरितानां तु वसुधैव कुटुंबकम् ॥ हा गोलदयप्रश्नविमर्शनिबंध आम्ही पारमाण्विक पद्धतीनेही रचला आहे. आणि गोलत्रयविमर्शातील 'चांद्री गत्युपपत्ति ( The Lunar Theory) लिहिण्याची आमची तयारी आहे. परंतु असे ग्रंथ छापून बाहेर पडणें, द्रव्य- साहाय्यावर मुख्यत्वें अवलंबून असते हे सांगणे नकोच. असो. विद्वान् देश- बांधव या निबंधांतील गुणदोषांचे आविष्करण निःपक्षपातबुद्धीने करून,याच्या योग्यतेनुसार याचा स्वीकार करतील व तेणेकरून पूर्वोक्त उद्ग्रंथ लिहिण्यास आम्हांस प्रोत्साहन देतील अशी आशा प्रकट करून ही प्रस्तावना संपवितों. श्रीयुत रा. रा. नरहर वेंकटेश कोल्हटकर बी. ए., बी. एस्सी., धारवाड ट्रेनिंगकालेजांतील शिक्षक यांनी पूर्वी ग्रहगणिताच्या कामी जशी आम्हांस मदत केली, तशी यावेळीही मनःपूर्वक झटून मदत केल्याबद्दल आम्ही सप्रेम आभार मानितो. त्याचप्रमाणे रा. रा. नेर्लेकर सदर कॉलेजां- तील ड्राईंग मास्तर, यांनी पुस्तकांतील आकृति सुरेख काढून दिल्याबद्दल त्यांचेही आम्ही आभार मानितों. धारवाड ता. १५ जून १९१८ ग्रंन्थकार बैंकटेश बापूजी केतकर.

·अनुक्रमणिका. (टीप-कंसांतील अंक लेखांक आहेत.) प्रकरण १ लें- साधारण विचार (१-५):-केप्लरचे तीन नियम (१); आकर्षणाचे प्राचीनांस ज्ञान; आद्य व अंतिम गुणोत्तरें, भूमिती, बीजगणित व परमाणुगणित (२-५ ). प्रकरण २ रें-विषयोपक्रम (६-१५):-गोफिणीत फिरणान्या दगडाच्या गतीची उपपत्ति (६-७); मध्योत्सारिणी व मध्याभिगामिनी प्रेरणा (८-११); सर्व ग्रहोपग्रह आपल्या अक्षांभोंवतीं व सूर्याभोवती एकाच दिशेत कां फिरतात ? लाप्लासची कल्पना; प्रवहानिल (१२); आकर्षणाची प्रतीति व स्वरूप (१३); खंड्या पक्ष्याचें अंतरिक्षांतील स्थैर्य (१४); द्रव्याचे प्रेरणाशरणत्व व प्रेरकत्व; गोलद्वयविमर्श (१५). प्रकरण ३ रें-प्रेरणाविमर्श (१६-१२ ):-गतीचे नियम, भोंवरा अक्षभ्रमण व कक्षाभ्रमण याविषयी आमची कल्पना, विटीदांडू (१६-१७); प्रेरणांचे प्रदर्शन व एकीकरण; प्रेरणा-चतुरस्र, प्रेरणाव्यस्र ( १८-२१), प्रेरणापृथक्करण ( २२). प्रकरण ४ थें---गुरुत्वाकर्षण g ( २३-३२ ):-अधःपतन, वेग, आकर्षण व पराकर्षण यांचे प्रयोगसिद्ध ज्ञान ( २३-२५); यांच्या गणि- ताची त्रिविध उपपत्ति, समीकरणे व उदाहरणे ( २६-२७); अधःपतनाचा सोपा प्रयोग ( २८); भूपृष्ठावर तिर्कस फेंकलेल्या पदार्थाचे गमन (२९); पड्याळांतील लंबकाच्या सतत आंदोलनाचे कारण व त्याच्या काल- साम्याची उपपत्ति. (३०-३२). प्रकरण ५ -सूर्याचे आकर्षण (३३-३८ ):-पृथ्वीचे सूर्या- पासून अंतर व प्रदक्षिणाकाल, यांवरून सूर्याच्या आकर्षणाची इयत्ता ठर- विणे ( ३३-३५ ); आकर्षण अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणांत असते याची थोडक्यांत उपपत्ति (३६); आकर्षणाचे मूलमान ( ३७ ); सूर्याचे द्रव्य व त्याचे दाढऱ्या यांचे गणित ( ३८).

·- प्रकरण ६ वें-केप्लरचा दुसरा नियम ( ३९-४३ ):--ग्रहांचे मंदकर्ण सूर्याभोवती सारख्या कालांत सारख्या क्षेत्रावरून जातात, म्हणजे त्यांनी चालून गेलेली क्षेत्रे चालून जाण्यास लागणाऱ्या काळाच्या सम- प्रमाणात असतात. या नियमाची उपपत्ति ( ३८-४१ ). गोलदयापुरता विचार केला तर ग्रहकक्षेची पातळी अचल असते (४२); ग्रहाचा वेग त्याच्या तात्कालिक स्थानीय स्पर्शरेषेवर सूर्यापासून काढलेल्या लंबाच्या व्यस्त प्रमाणांत असतो (४३). प्रकरण ७ वें-वैदव भूमिति, अंतिम गुणोत्तर, व पराकाष्ठाः- बिंदु, सरळ व वक्ररेषा, वक्रतादर्शक वर्तुळ (४४-४६); परमाणुगणि- ताची मूल कल्पना (४७); वर्तुळाची व दीर्घवर्तुळाची वक्रता (४८- ४९); वक्रतादर्शक वर्तुळ (५०); अंतिम गुणोत्तर (५१); पराकाष्ठा (५२); वर्तुलाच्या परिघांतील बिंदूंपासून त्याच्या क्षेत्रांतील इष्टबिंदू- मधून गेलेली ज्या व तिची संमुखी रेषा यांचा संबंध (५३). प्रकरण ८ वें-तात्कालिक वर्तुल व शंकुच्छिन्न यांचा संबंध (५४-५९ ):- दीर्धवर्तुलाच्या मध्यबिंदूतून पार जाणारी तात्कालिक वृत्ताची ज्या PCX इची लांबी (५५). तात्कालिक वृत्ताचा व्यास PFV, (५६); फोकसांतून जाणारी ज्या PSZ, (५७); पराबलेच्या फोंकसांतून जाणारी तात्कालिक वृत्तज्या PSW. (५८); तिच्या तात्कालिक वृत्ताचा व्यास PBX, (५९). प्रकरण ९ ३:-आकर्षण, अंतर, पतन व क्षेत्र यांनी युक्त असें ग्रहगतीचें सर्वसाधारण समीकरण (६०-६२ ):-g या गुरु- त्वाकर्षणाच्या सूत्रावरून F व SP यांचा संबंध दाखविणारे समीकरण उत्पन्न करणे, (६०); QR ! QT" याच्या स्थिरत्वाचा परिणाम, (६१); आकर्षण, वेग व फोंकसांतून जाणारी तात्कालीक वृत्तज्या यांचा संबंध दाखविणारे समीकरण (६२). प्रकरण १० वें:-शंकुच्छिन्नांत QR / QT2 = 1+ L असें असते. (६३-६४ ):-दीर्घवर्तुल व हैपरबला यांमध्ये QR | QT2 = ABC / SP, (६३); पराबलेंत QR / QT = 4 SP, (६४). प्रकरण ११ वें-फोकसांतून घडणारें आकर्षण अंतराच्या व्यस्त प्रमाणांत बदलतें (६५-७०):-पाषाण व चंद्र यांच्या पतना- वरून या नियमाची सत्यता (६६-६७). केप्लरच्या पहिल्या व तिसन्या नियमाची उपपत्ति (६८-७०).

·(३) प्रकरण १२ वें-शंकुच्छिन्न कक्षेत फिरणान्या ग्रहांचा व धूम- केतूंचा वेग (७१-७७):- वेग, आकर्षण, व तात्कालिक वृत्तज्या यांचा संबंध (७३, समी ५); वेग, आकर्षण व पतन यांचा संबंध ( ७३. समी. ६); पतन व फोकसज्या यांचा संबंध (७३. समी. ७); कक्षाकृति- परत्वे वेगांची समीकरणे व मंगळाचे उदाहरण (७४); दीर्घवर्तुळ, हैपरबला व पराबला यांतील वेग व तितक्याच अंतरावरील वर्तुळांतील वेग यांची तुलना (७५); कक्षांच्या आकारांचा ग्रहांच्या वेगांशी संबंध; ग्रहांच्या आकर्षणाचा धूमकेतूंच्या कक्षेच्या आकारावर होणारा परिणाम. ग्रहांकडून धूमकेतूचें पकडले जाणे ( ७६ ) कोणीय वेग ( ७७). प्रकरण १३ वें-अज्ञात कक्षेच्या ऋज्वीवरून कक्षानिर्णय (७८-८७);- L, h, व ॥, यांची समीकरणे (८१); कक्षेला नियत आकार देणाऱ्या अटी (८३), आकर्षण व प्रकाश यांचे साधर्म्य (८४); कक्षेच्या आकाराचा निर्णय (८५) कक्षापरिलेख (८६); शंकुछिन्ना- कृतीच्या मुख्य अटी (८७), मंगळ ग्रहाच्या कक्षेच्या निर्णयाचे सांख्य उदाहरण (८८-९१) प्रकरण १४ वें:-अज्ञात कक्षेतील पतनावरून कक्षानिर्णय (९२-९७):-कोणीय वेग व रेखीय वेग यांचा संबंध ( ९३); रेखीय वेग व पतन यांचा संबंध ( ९३. समी. २); या पतनावरून अज्ञात कक्षादर्शक दीर्घवर्तुळ काढणे. ( ९४-९५); अज्ञात कक्षेची मूलमाने म्हणजे, ऋज्वी, ग्रहापासून उच्च फोंकसापर्यंत अंतर, केंद्रच्युति, उच्चाचा भोग, मन्दकेन्द्र, प्रदक्षिणाकाल,इत्यादिकांची समीकरणे सिद्ध करणे(९६). मंगळाचे उदाहरण. प्रकरण १५ वें-आकर्षणाचा उगम मध्य बिंदूत असून दीर्घवर्तुल कक्षेत फिरणाऱ्या पदार्थांवरील आकर्षणाचा नियम (९८- १०० ):- अशा परिस्थितींत आकर्षण अंतराच्या सरळ प्रमाणांत बदलतें, याची सिद्धता. वेग, प्रदक्षिणाकाल यांची समीकरणे. ( ९८ ); अशा प्रकारचे आकर्षण सूर्यसंस्थेत असते तर ग्रहगतीसंबंधानें दिसून येणारे चमत्कार; अखिल ब्रह्मांडांत आकर्षणाचा नियम अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणाचाच आहे (९९); आंदोलन हे अशाच परिस्थि- तीतील रेखीभूत दीर्घवर्तुलांतील भ्रमण आहे. प्रयोग (१००).

·M
a4--021
ज्योतिषाचार्य
वंकटेश बापूजी केतकर
.
,
जन्न १८-१-१८५.]
[ मृत्यु 3-८-१९३०

·No text on this page.

·॥श्री॥ आकर्षणशास्त्र. गोलठ्य-प्रश्न-विमर्श. ( मितिपद्धति ). प्रकरण १ लें. साधारण विचार. (१) आमच्या मराठी ग्रहगणितांत, पृष्ट १०३ येथे, केप्लरनें ग्रह- गतिसंबंधी, केवळ ग्रहांच्या वेधांवरून काढलेले तीन नियम दिले आहेत. त्या तीन नियमांची सत्यता गृहीत धरून, त्यांच्या आधारे आम्हीं ग्रहगणिताची रचना केली आहे. त्या तीन नियमांची उपपत्ति देणे हाच गोलद्वय-प्रश्न- विमर्शाचा मुख्य व स्वतंत्र विषय असल्यामुळे हे काम त्यावेळी बाजूस ठेवावें लागले. ज्यांना ग्रहगणिताची उपपत्ति चांगली समजली आहे, त्यांना केप्लरच्या नियमांची उपपत्ति समजून घेण्याची उत्कंठा होणे, अगदी स्वाभाविक आहे. म्हणून पूर्वोक्त बाजूस ठेवलेले काम आता हाती घेण्याचे योजिले आहे. केप्लरचे ग्रहगतिविषयक तीन नियम असे आहेत:- १ ला नियमः-सर्व ग्रहांच्या कक्षा दीर्घवर्तुलाकार आहेत आणि त्या कक्षांच्या एका नाभीत ( फोकसांत ) सूर्याचा मध्य असतो. ( पहा लेख ६८). २ रा नियमः-ग्रह सूर्याभोवती फिरत असतां, त्यांचे मंदकर्ण, सारख्या कालांत, सारख्या क्षेत्रावरून जातात. (पहा ले. ३९, ४०.)

·प्र. १.ले. २-31 (२) [साधारण विचार. " , ३ रा नियमः-----ग्रहांचे प्रदक्षिणाकालांचे वर्ग, त्यांच्या मध्यम- मंदकर्णीच्या घनाच्या प्रमाणात असतात. मध्यम- मंदकर्ण म्हणजे, सूर्यापासून ग्रहापर्यंत मध्यमांतर. (पहा ले. ३६.७० ०.) (२) पृथ्वी आपल्या पृष्ठाजवळच्या सर्व पदार्थांनां, आपल्याकडे सर्वकाल ओढीत असते, ही गोष्ट फार प्राचीनकालापासून भरतखंडांतील ज्योतिर्विदांस माहीत होती. आकर्षशक्तिश्च मही तया यत् खस्थं गुरु स्वाभिमुखं स्वशक्त्त्या । आकृष्यते तत्पततीव भाति समे समंतात् क पतत्वियं खे ॥ असें श्रीभास्कराचार्यांनी ८०० शे वर्षांपूर्वीच आपल्या सिद्धांतशिरोमणींत (गोलाध्याय भुवनकोश श्लोक ६) म्हटले आहे. परंतु आकर्षणाचा जोर सर्वत्र समान असतो, किंवा आकर्षक पदार्थांच्या दूरत्वाप्रमाणे, कमी जास्ती होतो? ग्रह सूर्याभोवती का फिरतात ? ग्रहांच्या उबांस व पातांत गति का उत्पन्न होते ? वगैरे अत्याश्चर्यकर गोष्टींचे ज्ञान, न्यूटन जन्मास येण्यापूर्वी कोणां- सही नव्हते. होरोक्स हा न्यूटनाचा समकालीन असून, आकर्षण, आक- र्षकाच्या दूरत्वाच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणांत असते, ही गोष्ट त्याने न्यूटनापेक्षाही पूर्वी प्रसिद्ध केली, यांत संशय नाही; तथापि या गोष्टीची सिद्धता त्याला करितां आली नाही. हे बिकट काम न्यूटननेच आपल्या "प्रिन्सिपिया" नांवाच्या अमरग्रन्थांत कसें तडीस नेलें तें पुढील उद्घा- टनांवरून वाचकांच्या लक्षात येईल. ( पहा प्रकरणे ६-११). (३) या कामी न्यूटननें आद्य व अंतिम प्रमाणे, किंवा गुणोत्तरें, (Prime and Ultimate ratios) या मूलतत्त्वांचा उपयोग केला आहे. वर्तुळाचा भाग म्हणजे कंस, अत्यंत लहान असतांना, ( म्हणजे त्याच्या आद्यावस्थेत किंवा संहितावस्थेत ) कंस, त्याची ज्या, भुजज्या, व स्पर्शरेषा, आणि स्पर्शरेषा व वर्तुल कंस, यांच्या दरम्यान आणखी एकादा कमी वक्रतेचा कंस ही असतील तर, या चोहोंचे प्रमाण समान असते. म्हणजे या चोहोंची लांबी समान असते. (पहा ले. ५१ आकृति १३.). कंस पुढे वाढत जातो तसतशी त्यांची परस्परांशी गुणोत्तरें अनियमितपणे वाढत जातात. ही गुणोत्तरें अनियमितपणे वाढत गेली असली तरी त्यांच्या वाढीस काही मर्यादा असते. ज्या ( Chrid.) आणि कंस ( arc ) यांची ·२. १. ले. ४-५ साधारण विचार. वाढ अनियमितपणे असली तरी त्यांचे गुणोत्तर, १.५७०८ यापेक्षा जास्त कधीही होऊ शकत नाही. यांनां अंतिम गुणोत्तर म्हणतात. (४) भूमितिगणित व ज्योतिःशास्त्र हे दोन्ही दृग्विषय आहेत. पहिले साधन असून दुसरे साध्य आहे पण या साधनाची शक्ति मर्यादित आहे. भूमितीचा पल्ला फार तर वर्ग व वर्गमूळापर्यंत पोहोचतो. जेव्हां गणितांत घन, चतुर्घात इत्यादि उच्चतर राशि येऊ लागतात, तेव्हां भूमितीला हात टेकावे लागतात. अशा प्रसंगी बैजिक भूमिति ( algebraic Geometry) इचा उपयोग फार होतो. हिची वरची पायरी म्हणजे, परमाणुगणित (Infinitesimal Calcults). या परमाणुगणिताचा आश्र प्रवर्तक, लिनि- ट्झ नांवाचा होऊन गेला. हा जर्मन होता. याच्यानंतर क्लेरो, लायांज लाप्लास, पाँकारे, न्यूकंव या गाणितिकांनी या उच्च गणिताचा उपयोग, ज्योतिःशास्त्रांतील अत्यंत कठीण प्रश्नांचा भेद करण्याच्या कामी करून, हे शास्त्र अत्यंत प्रौढदशेस पोंचविले आहे. (५) हे पुस्तक न्यूटनच्या प्रिन्सिपिया ग्रंथाच्या आधारेंच रचिलें आहे. आणि यांतील उद्घाटनामध्ये, न्यूटनच्या आय व अंतिम गुणोत्तरांचा व भूमिति व शंकुच्छिन्न यांचा आधार घेतला आहे. कोणताही प्रश्न, भूमिति रीत्या सोडविला तर, ती सिद्धता मनावर चांगली ठसते, व मनाला समा- धान वाटते. पण प्रायः ही पद्धती लांबलचक असल्यामुळे, हिचा कंटाळा येतो. बैजिक भूमितीनें बिकट प्रश्न फारच लवकर सोडवितां येतात. परंतु तिचा उपयोग करणान्याची स्थिति तेल्याच्या पाण्याच्या बैलाच्या स्थिती- सारखी असते. भूमितिपद्धतींत कार्यकारण परंपरा डोळ्यापुढे उभी असते. बैजिक पद्धतींत समीकरणाच्या सत्यतेकडे लक्ष असले म्हणजे पुरे. अमक्या अंकाने कां गुणावें ? किंवा का भागावें ? अशा प्रश्नांस एकच उत्तर. तें कोणते तर तसे केले तरच तें समीकरण सुटते, एरवीं तें सुटत नाही. परंतु उपपत्तीच्या ज्ञानामुळे, ज्या गाणितिकांची अंतर्दृष्टि तीक्ष्ण झाली असते, अशांनां सर्व काही स्पष्ट दिसत असते. ज्याप्रमाणे व्याकरणाचे नियम उदाहरणांशिवाय स्पष्ट कळत नाहीत, त्याप्रमाणेच आकर्षणासंबंधी, या पुस्तकांत, जे नियम अक्षरांचा व चिन्हांचा उपयोग करून सिद्ध केले आहेत, ते शक्य असेल तेथें सांख्य उदाहरणांनी विशद केले आहेत.

·प्र. २. ले.६] (४) [विषयोपक्रम. प्रकरण २ रें. या ER T N विषयोपक्रम. (६) ग्रह सूर्याभोंवतीं कां कसे फिरतात, गोष्टींचें ज्ञान थोडक्यांत मिळवू इच्छिणान्यांनी, शेत राखणारे लोक गोफिणीने दगड कसा फेकतात तें पहावें. दगड गोफिणींत असेपर्यंत, वर्तुलाकार मार्गाने फिरत असतो व तीतून सुटतांच तो सरळ रेषेनें जातो, ही गोष्ट सर्वांच्या पाहण्यांत आहेच. (आकृति १ पहा) या आकृतीत बाहेरील वर्तुल, गोफिणीत फिरणाऱ्या दगडाचा मार्ग आहे. P या दगडाला वर्तुलाकार गति देण्यासाठी PM गोफिणीची दोन्ही टोंके M या उजव्या मुठीत धरून, M NO या लहान वर्तुलांत मूठ गरागरा जोराने फिरवावी लागते. PT, PM, या अनुक्रमें, मोठ्या व लहान (आकृति १.) वर्तुळांना, स्पर्शरेषा काढल्या आहत. आणि QR ही MP ला समांतर आहे. बिंदु PAB परिघावर P पासून अत्यंत समीप आहे, असे समजून, QE रेषा, PT रेषेवर लंब काढली आहे. आतां P दगड PAB वर्तुलांत एका सेकंदांत फिरतो, आणि PC कंस, PAB वर्तुलपरिघाचा दशमांश आहे, असे मानले तर P दगडाचा वेग, PT स्पर्शरेषेच्या दिशेत एक दशमांश सेकंदांत, PR रेषेएवढा आहे, असें म्हणता येईल. या वेगाला प्रक्षेपप्रेरणा ( Force of Trojection) किंवा मध्योत्सारिणी प्रेरणा ( Centrifugal Force ) असें म्हणतात. कारण तो दगड फिरत फिरत P येथे आल्यावेळी, M या मुठींतील गोफि- णीचे एक टोंक सोडून दिले, तर, तो PQ कंसांतून न फिरतां, P येथून फेंकल्याप्रमाणे, PRT या सरळ स्पर्श रेषेने निघून जाईल. A येथे आल्या- वेळी, तें सोडून दिलें तर, तो A V या स्पर्श रेषेनें निघून जाईल. आणि B येथे आल्यावेळी सोडून दिले तर, तो BW या दिशेने निसटून जाईल. तात्पर्य P दगडाची मूळची प्रेरणा, त्याला सरळ दिशेनें नेण्याचा सर्वदा प्रयत्न करीत असते असे म्हणण्यास हरकत नाही.

·अ. २. ले. ७.-१ (५) [ विपयोपक्रम. (७) गोफिणीची दोनहीं टोकें, 1 मुठीत धरून, P दगडाला पूर्वी- प्रमाणे फिरविलें तर, तो PR या रेषेने पुढे न जातां, PQ या वर्तुलखंड मार्गाने जाईल. आमच्या हाताच्या आकर्षणामुळे, P दगड एक दशमांश सेकंदांत, RO रेषेइतका, मुठीकडे सरकतो अथवा S या मध्यबिंदूकडे, EQ=PQ इतका ओढला जातो. म्हणून EQ=PO या आकर्षणप्रेरणेला, मध्याभिगामिनी प्रेरणा ( Centripetal force ) अथवा (Radial force) म्हणतात. (८) वरील वर्णनावरून दिसून येते की, P दगडाला, वर्तुलाकार- मार्गाने फिरविण्याला, PR व Re या दोन प्रेरणा कारणीभूत आहेत. फेकण्यांपासून उत्पन्न होणारी पहिली जी PR प्रेरणा, तिला सकृत्प्रेरणा ( Impulse ) असेही म्हणतात. कारण गति सुरू होण्यासाठी, प्रारंभी ती एकवार दिली म्हणजे झाले. दगडाला क्षणोक्षणी मागून ढकलावें लागत नाही. या प्रेरणेमुळेच तो दगड, परिघाच्या प्रत्येक बिंदूपासून काढलेल्या, स्पर्शरेषेनें निसटून जाण्याचा प्रयत्न करीत असतो, म्हणून तिला स्पर्श- रेपीय प्रेरणा ( Tangential force ) असेंही नांव आहे. (९) दुसरी जी BQ प्रेरणा, तिला संततप्रेरणा-(Continuous force) अथवा आकर्षण (acceleration) असेही म्हणतात. कारण स्पर्श- रेषेनें निसटून जाण्याच्या दगडाच्या प्रयत्नाला निष्फल करून, त्याला वर्तुल- मार्गाने फिरण्याला भाग पाडण्यासाठी, प्रति दशमांश सेकंदाच्या प्रारंभी, PS दिशेनें, EQ या रेषेएवढा हिसका देणे, आम्हांला जरूर पडते. दग- डाने मोठ्या वर्तुलाच्या बाहेर जाऊ नये म्हणून, आम्ही आपली मूठ ही लहान वर्तुलाच्या स्पर्शरेषेत ताणून धरून, ती गरगरा फिरवीत असतो, त्यावेळी आमच्या मुठीवर पडणा-या सतत ताणाच्या रूपानें, आम्हांस सतत हिसक्याचा अनुभव येतो. (१०) गोफिणीच्या दगडास दिलेल्या PR या सकृत् (एकदां) प्रेरणेला, भोवतालच्या वातावरणाचा प्रतिबन्ध, सतत होत असतो. त्यामुळे या सत्कृत्प्रेरणेचा वेग, क्षणोक्षणी कमी होऊ लागतो. तो कमी न व्हावा म्हणून, आम्हांला RPM कोन ९० पेक्षा लहान करून, आपला मूठ विशेष जोराने फिरवावी लागते. त्यामुळे PM किंवा RO दिशेत, आमच्या मुठीनें उत्पन्न केलेल्या, सतत ताणाचा RE अंश PR दिशेत सतत घडून, ·प्र. २, ले. ११-१२] (६) [विषयोपक्रम. वातावरणाच्या सतत प्रतिबन्धाचा, सतत प्रतिकार होऊन, दगड समान वेगाने फिरूं लागतो. ( पहा ले. २२ आकृ. ४ ). साधारणपणे हाताच्या फेंकण्यानें, दगडाला जो वेग प्राप्त होतो, त्यापेक्षा जास्त वेग उत्पन्न कर- ण्याचे, गोफण हे एक यंत्र आहे. नुसत्या आरडाओरडीला पांखरें भीत- नाशी झाली असतील, त्यावेळी, या यंत्राचे खरें महत्त्व तत्कालीन शेतकरी लोकांच्या लक्षात येऊन, या यंत्राच्या उत्पादकाचे उपकार सर्वांनी मना- पासून मानिले असतील. (११) पूर्वोक्त गोफणगुंड्याचा दृष्टांत, सूर्याभोवती फिरणाऱ्या ग्रहांनां पूर्णपणे लागू पडतो. भेद इतकाच की, RQ ही मध्याभिगामिनी संतत- प्रेरणा उत्पन्न करायाला आम्हांला जशी गोफण लागते, तशी सूर्याला ती लागत नाही. सूर्याला S या ठिकाणी बसून आम्हांसारखे हातवारे न करितां ग्रहांना आपल्या भोवती फिरविणारी EQ ही संततप्रेरणा, PS दिशेत उत्पन्न करितां येते. या त्याच्या सामर्थ्याला आकर्षणशक्ति म्हणतात. दुसरा भेद असा की, PR ही आडवी सकृत्प्रेरणा, प्रारंभी आम्हांस जशी उत्पन्न करितां येते, तशी ती सूर्याला उत्पन्न करितां येत नाही. धूमकेतूरूपी पाषाण, सूर्याच्या गोफणींतून प्रायः निसटून जातात, ते पुनः परत येत नाहीत. कांहीं धूमकेतू मात्र फेंकल्यावर रानटी लोकांच्या बूमन्यांग अस्त्राप्रमाणे परतही येतात. परंतु असले धूमकेतू फारच कमी. सध्या सुमारे ते वीस आहेत. (१२) सूर्याला जर ग्रहांनां आडवे फेकण्याची प्रेरणा उत्पन्न करतां येत नाही, तर ती ग्रहांमध्ये प्रथम कशी उत्पन्न झाली असावी, याचे कारण अद्यापि कोणासही समर्पक सांगता येत नाही. या प्रश्नाविषयी अनेक ज्योति- विदांच्या अनेक कल्पना आहेत. त्या सर्वामध्ये लाप्लास या ज्योतिर्विदाची कल्पना, विशेष संभवनीय दिसते. ती अशी आहे की, कोट्यवधि वर्षांपूर्वी ही सूर्यसंस्था, (Solar System ) अत्यंत तप्त वायसारख्या विरलावस्थेत होती. पुढे त्यांतील उष्णतेमध्ये असमता उत्पन्न होऊन, एक मोठा भूत- वारा (प्रवाहानिल Tourbillon ) उत्पन्न झाला असावा. त्यामुळे सूर्यसंस्था चक्रासारखी चापट होऊन, तिचा विस्तार इंद्रकक्षेच्याही पलीकडे पसरला असावा. पुढे हे महावायुचक्र जसजसें निवत गेलें तसतशी त्यांच्या- मध्ये शनीच्या कड्याप्रमाणे, निरनिराळ्या अंतरावर निरनिराळी कड़ी ·म. २. ले. १३] (७) [विषयापक्रम. ( वलये) उत्पन्न झाली असावी. पुढे कड्यांच्या उष्णतेमध्ये असमता उत्पन्न झाल्यामुळे ती तुटून त्यांचे ग्रह उपग्रह बनले असावेत. सर्व ग्रह सूर्याभोवती एकाच दिशेने म्हणजे, पश्चिमेकडून पूर्वेकडे फिरतात. सूर्य व ग्रह देखील आपआपल्या अक्षाभोवती, याच दिशेने फिरत आहेत, या गोष्टीची उपपत्ति, या कल्पनेच्या आधारानें, चांगली बसते. तथापि गुरूचा ८ वा उपग्रह, व शनिचा ९ वा उपग्रह, याच्या विरुद्ध दिशेनें, म्हणजे पूर्वेकडून पश्चिमेकडे फिरतात. पण या गोष्टी अपवादा- दाखल आहेत. त्याचे कांहीं अज्ञात अन्य कारण असावें. हे उपग्रह, विरुद्ध दिशने फिरणाऱ्या व पकडलेल्या धूमकेतूच्या द्रव्याच्या घनीभवनापासून बनले असावे, असे आम्हांस वाटते. एका धूमकेतूनें गुरूभावती २।३ वेळां प्रदक्षिणा केल्याचे पाहाण्यांत आले आहे. (ले. ७६ पहा. (१३) गुरुत्वाकर्षण-ही एक अजब शक्ति आहे. ही पदार्थमात्रांत त्यांच्या त्यांच्या द्रव्यांशाप्रमाणे, म्हणजे परमाणुसंचयाच्या महत्त्वाप्रमाणे, कमी जास्त असते, असें भौतिकशास्त्रवेत्त्यांनी मानिले आहे. हिची क्रिया कशी चालते हैं प्रत्यक्ष दिसत नाही. तथापि हिच्यामुळे होणान्या कार्यावरून हिचे अस्तित्व दिसून येते. लोहचुंबकीय आकर्षण-रसायनाकर्षण इत्यादि आकर्षणाच्या इतर जाती आहेत. शेवटील दोन प्रकारची आकर्षणे, विशिष्ट पदार्थद्वयामध्येच प्रकट होतात. पण गुरुत्वाकर्षणाची गोष्ट तशी नाही. जल, तृण, मृत्तिका, पाषाण, धातु, इत्यादि पदार्थाच्या शेकडों जाती आहेत. तथापि या सर्वांमध्ये ही शक्ति भरली आहे. उदाहरणार्थ--उंच- स्थानांवरून पूर्वोक्त कोणताही पदार्थ सोडून दिला तर, तो आपला तडक पृथ्वीकडे येऊ लागतो. दुसरे उदाहरण—एका जाड पंचपात्रींत अथवा ताम्हणांत पाणी घालून, त्यांत एक बारीक व लहान गवताची काडी, पात्राच्या मध्यबिंदूपासून थोडी एकीकडे, त्रिज्येच्या दिशेत ठेवावी. नंतर ती काही वेळानें जिकडे कांठ जवळ असेल तिकडे ती हळू हळू सरकू लागते. आणि कांठ जसा जसा जवळ येऊ लागतो, तसा तसा तिचा वेग वाढूं लागतो. आणि शेवटी चिमुकल्या बाणाप्रमाणे, तिचे टोक भांड्याच्या आंतल्या बाजूवर आदळतें. हा प्रयोग सोपा आहे. काडी पाण्यावर तरंगत असतांनां तिचे वजन पाण्यावर सावरलें जाते व जवळच्या कांठाचें आकर्षण दूरच्या काठापेक्षा जास्त असल्यामुळे ती काडी कांठ जिकडे जवळ फारच ·प्र. २ ले. १४-१५] (८) [विषयोपक्रम. तर, असेल तिकडची वाट धरते व त्यावेळी तिचा वेग क्षणोक्षणी वाढत आहे ही गोष्ट स्पष्टपणे दृष्टीस पडते. त्याबद्दल संशय राहात नाही. म्हणून आक- र्षण म्हणजे, क्षणोक्षणी बसणारे हिसके, वेग म्हणजे हिसक्यांची बेरीज. आणि अशा लहान लहान वेगांची. जी बेरीज, तोच गमनमार्ग किंवा पतन- मार्ग असें म्हणता येईल. (लेख २४ पहा.) (१४) आकर्षण हे हिसक्यांच्या स्वरूपाचे असते. ही गोष्ट, खंड्या ( King fisher ) नांवाचा जलविहारी पक्षी, हवेत तरंगत असतांना, स्पष्ट- पणे दिसून येते. हे पाखरूं, चिमणीपेक्षा थोडे मोठे असून त्याच्या अंगा. वर काळे व पांढरे पट्टे असतात. बगळ्याप्रमाणे पाण्यांत उभा राहून, हा पक्षी आपली शिकार धरीत नाही, तर पाण्याच्या सपाटीपासून १५।२० फूट उंचीवर हवेत स्थिर राहून, तो आपल्या शिकारीची टेहेळणी करीत असतो. आणि एकादा मासा आटोक्यांत येतांच, त्याजवर झडप घालून त्याला वर आणतो. पाण्यावर तो तरंगत असतेवेळी त्याच्याकडे पाहिले मोठी मौज दिसते. तो आपल्या पंखांनी हवेवर एकसारखे तडाखे मारीत असतो. परंतु, त्याचे डोकें बिलकूल हालत नाही. त्याचे पंख झपा- ट्याने हालत असतां, त्याचे डोकें कसें स्थिर राहू शकते, या चमत्काराचे इंगित, असें आहे की, पंखाच्या एका फटका-याच्या काळांत पृथ्वीच्या आकर्षणरूपी हिसक्यामुळे, तो जितका खाली आला असता, तितकेंच आपल्याला वर उसळतां येईल, अशा बेतानें, तो आपल्या पंखाचे तडाखे हवेवर सतत मारीत राहतो. यामुळे आकर्षण (-a) व उत्सारण (-a) यांचे क्षणोक्षणी साम्य होत गेल्याने, वेग शून्य होऊन त्याला हवेत स्थिर राहतां येते. जर a= आकर्षणाच्या हिसक्याची एका क्षणांतील लांबी, t= क्षणांची संख्या, आणि V= वेगाची लांबी, असें मानिले तर = at ही इष्टक्षणसंख्येतील, वेगाची लांबी होते. खंड्या पक्षी आपलें भक्ष्य टेहेळीत असतां J= (a-a) t=0 असे प्रतिक्षणी होत असते. (१५) द्रव्य आणि त्याचे धर्म-द्रव्य हे कसे उत्पन्न जाहलें असावें, याची कल्पना करितां येत नाही. पृथ्वी, आप, तेज, वायू, म्हणजे- घन, प्रवाही, चिद्रूप व वायुरूप या द्रव्याच्या चार अवस्था आहेत.

·4. 3. ले. १६ प्रेरणाविमर्श द्रव्य म्हणजे सोने व रुपें इतकेच नव्हे, तर आमच्या दृष्टीस पडणारे किंवा भासणारे पदार्थ, ज्याचे बनले आहेत ते. असंख्य परमाणु मिळून द्रव्य बनले असते. प्रत्येक परमाणूंत प्रेरकत्व व प्रेरणा- शरणत्व हे दोन गुण वास करितात. म्हणजे प्रत्येक परमाणु, तदितर सर्व परमाणूंना, आपल्याकडे ओढीत असतो, व त्यांजकडून तद्विरुद्ध दिशेने ओढिला जात असतो. इतर परमाणूंच्या ओढण्याला, त्याच्याने प्रतिबंध करवत नाही. या गुणालाच प्रेरणाशरणत्व म्हणायचं. झोपाळ्यावर कितीही माणसें बसली असली, तरी तो जर स्थिर आहे तर एकादें मूलही न्याचे स्थैर्य नष्ट करूं शकते. याच धर्मामुळे, जसा सूर्य ग्रहांस ओढीत असतो, तसे ग्रहही सूर्यास आपापल्याकडे यथाशक्ति ओढीत असतात. परंतु सूर्याचे द्रव्य ग्रहाच्या द्रव्यापेक्षां हजारोंपट ज्यास्त आहे. (ले. ३८ पहा.) म्हणून त्याच्या आकर्षणापुढे ग्रहांचे आकर्षण उपेक्षणीय होते. यास्तव गोलद्वयप्रश्नविमर्शात सूर्याला स्थिर मानण्यांत मोठीशी चूक होत नाही. या गोलद्वय-प्रश्नविमर्शात आकर्षक व आकृष्यमाण असे दोनच गोल या विश्वामध्ये आहेत असें कल्पिलें आहे. त्यापैकी आकर्षक गोल सूर्यासारखा विशाल व स्थिर आहे, व आकृष्यमाण गोल ग्रहासारखा अत्यंत क्षुल्लक कण आहे असें मानिलें आहे. प्रकरण ३ रें. प्रेरणाविमर्श. (१६) प्रेरणा म्हणजे ओढणे असे समजावें. प्रेरणेमुळे पदार्थाला गती प्राप्त होते. पदार्थाला पुढून एक हिसका, किंवा मागून एक टोला दिला म्हणजे तो सरळ रेषेत चालू लागतो आणि त्याच्या गतीला प्रतिबंध, न होईल तर, त्याच्या प्रेरणाशरणत्वधर्मामुळे, तो तसाच निरंतर त्याच टोल्याच्या सरळ रेषेत चिरकाल जात राहिला पाहिजे. परंतु या म्हणण्याची प्रतीति पहाण्यासाठी, आपण जर एक दगड आकाशांत फेकला, तर या ·प्र. ज. ले. १६] (१०) [प्रेरणाविमर्श. म्हणण्याच्या अगदी विरूद्ध अनुभव येतो. म्हणजे तो एकसारखा सरळरेत पुढे जात नाही, त्याचा मार्ग वक्र होत होत थोड्याच कालांत, तो जमिनी- वर आदळतो. त्याच्या या विरुद्ध आचरणाची मुख्य दोन कारणे आहेत व ती पृथ्वीवर अपरिहार्य आहेत. पहिले कारण वातावरणापासून होणारा सतत प्रतिबंध, आणि दुसरे कारण पृथ्वीचे संतताकर्षण. ही दोन कारणे नसती तर वर म्हटल्याप्रमाणे तो दगड ले. २९ आकृति ६ येथे दाख- विल्याप्रमाणे, AG रेबेंत समानवेगानें गमन करून, नक्षत्रमंडळाच्याही पली- कडे गेला असता. तथापि ही दोन्ही कारणे जितक्या प्रमाणानें कमी करावी, त्या मानाने गतीची सरलता आणि नैरंतर्य, हे धर्म वाढलेले दिसून येतात. बिलियर्ड खेळांत टेबल क्षितिजसमांतर असते. त्यामुळे चेंडूवरील पृथ्वीच्या आकर्षणाचे हिसके, ले. १४ यांत दाखविल्याप्रमाणे निष्फल होतात. त्यामुळे गमन मार्गाचें, ऊर्ध्वाधरादिशेत वक्र होण्याचे कारण नाहीसे होते आणि चेंडूच्या गोलाकारामुळे व हलकेपणामुळे त्याची गति पुष्कळ कालपर्यंत टिकते. तथापि वायूचा प्रतिबंध व टेबलाच्या पृष्ठभागांशी घर्षण ही दोन कारणे शिल्लक राहतातच. म्हणून एका टोल्यासरसें सरळ व समांतर गतीने चिरकाल जात राहणे हा जो गतीचा पहिला नियम त्याचा पूर्ण अनुभव येणें, पूर्वोक्त कारणास्तव अशक्य आहे. तो बुद्धीनेंच अनुभविला पाहिजे. आपण जंगी भोंवरा फिरवितांना त्याच्या दांड्याभोंवतीं बारीक व सफाईदार दोरी गुंडाळून, त्याला स्पर्शरेषेच्या दिशेने असा एक जोराचा हिसका देतों कीं, तो मोठ्या वेगानें सूं असा आवाज करीत फिरूं लागतो. नंतर जमीन जितकी टणक व गुळगुळीत असेल, त्या मानानें तो जास्त वेळपर्यंत फिरत राहतो,ही अनुभवसिद्ध गोष्ट आहे. आमची पृथ्वी हा एक जंगी भोवराच आहे. भेद इतकाच की, जमिनीच्या व सभोवतालच्या वायूच्या घर्षणामुळे, भोंवन्याचे अक्षभ्रमण थोडक्याच वेळांत कुंठित होते. पण अंतरिक्षांत या दोन्ही गोष्टींचा अभाव असल्यामुळे, पृथ्वी कोट्यावधि वर्षे सतत फिरत आहे व पुढेही अशीच फिरत राहील. पृथ्वीचे अक्षभ्रमण हे प्रेरणाशरणत्वाचे एक ढळढळीत उदाहरण आहे. १ सूर्यासमोर आरसा धरला असतां उत्पन्न होणाऱ्या कवडाशावर या दोन्ही कारणांचा परिणाम होऊ शकत नाही. म्हणून कवडासा मात्र नक्षत्रमंडळा- च्याही पलीकडे ताठ सरळ रेषेत जाऊ शकतो.

·7. 3. ले. १७] (११) [प्रेरणाविमर्श. १ (१७) परंतु भूभ्रमराभोवती दोरखंड गुंडाळून, पूर्वी कोणीतरी त्याला फिरविलं असेल, ही कल्पना मात्र संभवत नाही. लाप्लासच्या पूर्वोक्त कल्प- नपासून, अक्षभ्रमणाची थोडी उपपत्ति लागते. (ले. १२). पण तिच्या- पासून पूर्ण समाधान होत नाही. आमच्या मते पुढे सांगितल्याप्रमाणे अक्ष- भ्रमणाची उपपत्ति लावितां येते. आपणांस विटीदांडूचा खेळ माहीत आहेच. दांडूचा टोला ( Imr act ) विटीच्या गुरुत्वमध्यावर बसला तर, विटी आपल्या मध्याभोंवतीं न फिरतां नीट सरळरेषेत मोठ्या वेगाने जाते. मध्यबिंदूपासून थोडा एकीकडे टोला बसला तर, विटी आपल्या भोवती फिरत, सरळरेषेने पुढे जाऊ लागते. अशा समयीं, तिचा पुढे जाण्याचा वेग थोडा कमी असतो. याहीपेक्षां मध्यापासून जास्त दृर टोला बसेल तर, विटी पूर्वीपेक्षा जास्त वेगाने आपल्या भोवती फिरते. पण पूर्वीपेक्षा कमी वेगाने पुढे जाते. म्हणजे दर खेपेस टोल्याचा जोर व वेग म्हणजे पक्का, समान असतांना, विटीचे अक्षभ्रमण टोल्याच्या मध्यांतराच्या, म्हणजे भुज- ज्येच्या प्रमाणांत बदलतें, व पुरःसरण कोटिज्येच्या प्रमाणांत बदलतें. अक्षभ्रमण वाढविण्याकडे टोल्याचा भाग जास्त खर्ची पडेल तर, त्यामुळे पुरःसरण मंदावले पाहिजे, ही गोष्ट यन्त्रशास्त्र (Mechanics) रीत्या सिद्ध करितां येते. हा अक्षभ्रमण ( Rotation)व पुरोगमन* (Revolution) यांचा परस्पर संबंध ग्रहाच्या संबंधाने बराच प्रत्ययास येतो. ग्रह सूर्यापासून जस- जसे दूर आहेत, तसतशी त्यांची सरळरेखीय गती, व अक्षश्रमण, जलद होत गेले आहे. आता हा नियम केप्लरच्या तिसऱ्या नियमाइतका तंतोतंत जुळत नाही. त्याची दुसरी अनेक कारणे असावी. ग्रहाच्या द्रव्याची घनता, त्याचे आकारमान, व त्यांचे भोंवती फिरणारे उपग्रह, या गोष्टींचाही या कामांत संबंध येतो. अक्षभ्रमण उत्पन्न करण्यासाठी, विटीला जसा टोला यावा लागतो, तसा ग्रहाला साक्षात् टोला देण्याची जरूरी नाही. टोल्याचे कार्य अडथळ्यापासूनही होते. मनुष्य चालतांना त्याला ठेच लागली तर तो पुढे तोंडघशी पडतो. तोंडघशी पडणे हे अंशतः अक्षभ्रमणाचेंच स्वरूप १. जोर म्हणजे हतोड्याचे वजन किंवा द्रव्य (Mass ). द्रव्य व वेग यांच्या गुणाकाराला धका ( Momentum) म्हणतात. २. क्षणिकगति ( virtual velocity ) हे प्रकरण पहा. * किंवा कक्षाभ्रमण.

·प्र. 3. ले. १८-१९] (१२) [प्रेरणाविमर्श. आहे. कारण हा अडथळा त्याच्या बेंबीपासून (गुरुत्वमध्यापासून ) बऱ्याच अंतरावर पावलापाशी झाला असतो. (येथें अक्षभ्रमण हा नवीन विषय घालणे )* (१८) प्रेरणेचे प्रदर्शन--प्रेरणा अदृश्य असते. तथापि तिची दोन कारणे व्यक्त असतात. पहिले दिशा, आणि दुसरें गमन. पदार्थाला टोला किंवा हिसका बसतांच तो कोणत्या तरी एका नियत दिशेने व वेगानें चालू लागतो. ही दोन्ही कार्य रेषेने दाखवितां येतात. स्थिर पदार्थ, दिग्द- र्शक वर्तुलाच्या मध्याबिंदूवर आहे असें मानिलें तर, तो चालू लागतांच उत्पन्न होणा-या सरळ रेषेवरून, त्याच्या गतीची दिशा कळते, व एका सेकंदांत किंवा कालाच्या अन्य कोणत्याही भागांत भरणाऱ्या, त्याच्या गतीच्या लांबीवरून, तिचे महत्त्व किंवा वेग दिसून येतो. म्हणून प्रेरणेचे प्रदर्शन, सरळरेषेनेंच करणे शक्य व योग्य आहे. (१९) प्रेरणांचे एकीकरण-प्रत्येक पदार्थ प्रेरणाशरण आहे, असे मार्ग (ले. १५ ) यांत सांगितले आहे. प्रेरणा दाखवील त्या दिशेने त्याने तत्क्षणी निघाले पाहिजे, असा विश्वनियंत्याचा वट्टहुकूम आहे. जेव्हां एकच प्रेरणा घडते तेव्हां तिचा हुकूम पाळणे कठिण नाही. पण एका पदार्थावर, एकाच क्षणी, भिन्न दिशेच्या व भिन्न वेगाच्या जेव्हां दोन प्रेरणा घडतात, तेव्हां तो पदार्थ कोणत्या वेगाने व कोणत्या दिशेने चालू लागेल असा प्रश्न उद्भवतो. दोन प्रेरणांच्या दिशा एकच असतील तर, तो पदार्थ त्या एकाच दिशेनें व त्या दोन प्रेरणांच्या वेगांच्या बेरजेइतक्या वेगानें, चालू लागेल हे वडिलांनी येवढेच लिहून ठेविले आहे. अक्षभ्रमण हा विषय घालणे त्यांना झाले नाही. १ सूर्यसिद्धांतांत प्रेरणेला वातरश्मि असे म्हटले आहे. उच्चस्थ देवतांचे तोंड सूर्याकडे असते, ग्रह जर डावीकडे असेल तर डाव्या हातांतील दोरीने, उजवीकडे असेल तर उजव्या हातांतील दोरीने, त्या देवता ग्रहाला ओढीत असतात. ग्रह नीचापुढे ६ राशीच्या आंत असतांना, त्यांचे मंदफल धन का असते आणि उच्चापुढे असतांना तेच ऋण कां होतें या गोष्टीची भाविक लोकांसाठी ही उपपत्ति दिली आहे. अर्वाचीन शोधाप्रमाणे ग्रहकमा दीर्घ वर्तुलाकार असून, त्यांच्या एका फोकसांत सूर्य असतो व ग्रहांनां सारख्या कालांत सारखी क्षेत्रे चालावी लागतात. व त्यामुळे ते पुढे जातात व रेंगाळतात असे दिसते.

·प्र. ज. ले. १० प्रेरणाविमश. उघड आहे. ही गोष्ट शेतांतील नांगर ओढतांना जेव्हां अनेक बैलांच्या जोड्या जोडतात, तेव्हां प्रत्ययास येते. परंतु जेव्हां दोन प्रेरणांच्या दिशा व वेग भिन्न असतात तेव्हां त्या दोन दिशांच्या मधूनच त्या पदार्थानं गेलें पाहिजे व मोठ्या वेगाच्या दिशेकडे जास्त वळला किंवा झुकला पाहिजे. ही गोष्ट रथ ओढतांना दोन दोरखंडे ओढणान्यांची संख्या, जेव्हां अस- मान असते, तेव्हां प्रत्ययास येते. पण अशा प्रसंगी, त्या दोन वेगांचं एकी- करण इतकेंच होईल असे सांगणे कठिण आहे. या प्रश्नाचा निकाल प्रेरणा- समदिक्चतुरस्र नांवाच्या पुढील सिद्धांतावरून करता येतो. (२०) प्रेरणासमदिक्चतुरस्त्र- आकृ. २ पहा. तथं 4 या पदार्थावर ABR AC या दोन भिन्न दिशेच्या व भिन्न वेगाच्या प्रेरणा, एकाच क्षणी, घडल्या आहेत असे समजू या. या दोन प्रेरणा म्हणजे दोन हुकूम. त्या पदार्थाने अक्षरशः (आकृति २) अवश्य पाळिले पाहिजेत. म्हणून त्याने एका सेकंदांच्या शेवटी B येथे येऊन तत्क्षणी AC रेखेशी समान व समांतर अशा BD दिशेनें, D येथे आले पाहिजे. अथवा पहिल्याने एका सेकंदाच्या शेवटी येथे येऊन तत्क्षणी AB रेखेशी समान व समांतर, अशा CD रेषेनें, D येथे आले पाहिजे. सारांश, जरी एकाच काली एका पदा- र्थाने दोन दिशेने जाणे अशक्य आहे, तथापि, A पदार्थ एका सेकंदाच्या शेवटी D येथे आल्याने त्याचा परिणाम दोन्ही प्रेरणारूपी आज्ञा पाळिल्या- सारखा होतो. आणि या आज्ञा प्रतिक्षणी पाळावयाच्या असतील तर 4 में AD या कर्णरेषेनेंच गेले पाहिजे. म्हणून एका पदार्थावर, एकाच काळी, दोन भिन्न दिशेच्या व भिन्न वेगाच्या प्रेरणा घडतील तर, तो पदार्थ त्या प्रेरणादर्शक रेषांवर काढलेल्या, समांतरभुज चौकोनाच्या समदिक्चतुरस्रा- च्या कर्णरेषेनें गमन करील, हे सिद्ध. ही सिद्धता प्रयोगावरून अनुभवास तंतोतंत जुळते. 4 पहिल्या सेकंदाच्या शेवटी, D येथे आल्यावर, प्रेरणा अविनाशी असल्यामुळे, दुस-या सेकंदाच्या शेवटी तो AD या नव्या दिशेनें व वेगानें, तो F येथे जाईल. तिसन्या सेकंदाच्या शेवटी तो H येथे जाईल. याप्रमाणे पढ़ेंही निरंतर जात राहील.

·प्र. 3. ले. २१-२२] (१४) [प्रेरणाविमर्श. (२१) प्रेरणाव्यत्र- प्रेरणासमांतरभुज-चतुष्कोनाच्या सिद्धते पासून प्रेरणात्रिकोण सिद्ध होतो. वरील दुस-या आकृतीत, A B रेषेच्या 2 टोकापासून AC ला समान व समांतर, अशी BD रेषा काढून, AD बिंदू सांधिले तर उत्पन्न होणा-या ABD त्रिकोणाला, प्रेरणात्रिकोण म्हणतात. अशा त्रिकोणाची तिसरी बाजू , त्या मूळ दोन प्रेरणांपासून उत्पन्न होणारी नवीन तिसरी प्रेरणा दर्शविते. हिला एकीकृत किंवा फलित (Resultant) प्रेरणा म्हणतात. प्रेरणात्रिकोणांत दोन बाजूची बेरीज तिसऱ्या बाजूएवढी असते असें भूमितीच्या सिद्धांताविरुद्ध म्हणता येईल. याला प्रेरणानियम Vector Law ) म्हणतात. प्रेरणात्रिकोणांत एकीकृतप्रेरणेची दिशा मूल प्रेरणांच्या दिशांच्या क्रमाविरुद्ध असते. मूल प्रेरणा AB, BD या दिशेच्या असतील तर, एकीकृत प्रेरणेची दिशा वरील क्रमाप्रमाणे, DA अशी जाहली पाहिजे. पण ती तशी नसून तद्विरुद्ध म्हणजे AD दिशेची आहे, हे लक्ष्यांत ठेविलें पाहिजे. त्रिकोणाच्या तीन बाजूंनी दर्शविलेल्या तीन प्रेरणा, AB, BD, AD, या क्रमिक दिशांनी, एकाच क्षणी पदार्थावर घडतील तर, तो पदार्थ तीन प्रेरणांची एकीकृत प्रेरणा शून्य झाल्यामुळे, स्थिर राहील. (२२) प्रेरणेचे पृथक्करणः-(आकृ. ३) जर प्रेरणा-त्रिकोणां- तील तिसरी बाजू , पहिल्या दोन बाजूंनी दर्शविल्या जाणा-या दोन प्रेर- णांची फलित प्रेरणा दर्शविते, तर त्या दोन प्रेरणा फलित प्रेरणेच्या पृथ- स्कृत किंवा घटकप्रेरणा आहेत, असे म्हणण्यास हरकत नाही. या दृष्टीने विचार केला तर, एकाच पायावर काढलेल्या अनेक त्रिकोणाच्या बाजू- B D (आकृ. ३) (आकृ. ४) त्या पायाने दर्शविल्या जाणाऱ्या मूल प्रेरणेच्या, त्या त्या दिशेच्या, घटक- प्रेरणा असतात. जसे AB, BD; AC, CD; AH, HD; या सर्व AD या मूल प्रेरणेच्या घटक प्रेरणा आहेत.

·. ४. ले. २३ (१५) बीमाकर्षण. पृथकृतप्रेरणांचा गणितांत उपयोग करितां यावा म्हणून. त्या परस्प- रांस लंब दिशेस काढितात. (आ. ४ पहा). येथे AD या मूलप्रेरणेचा, A B दिशेत केवढा परिणाम होतो हे काढण्यासाठी, A रेपेवर DP लंब रेषा काढिली आहे. आतां प्रेरणा त्रिकोणाप्रमाणे AB, BD, या 4D च्या पृथत्कृतप्रेरणा आहेत. आतां AD ची लांबी माहीत असेल तर, AB, BD, यांच्या लांब्याही ठरवितां येतात. कारण ABD कोन काटकोन आहे. म्हणून त्रिकोण मितीप्रमाणे- AB=AD Cos LDAB, व BD=ADSin Z DAB, असें सिद्ध होते. म्हणून कोणत्याही दिशेत घडणा-या, मूल प्रेरणेचा परिणाम, त्या दिशेशी इष्ट कोन करणाऱ्या इतर दिशेत, केवढा घडतो, हे गणिताने काढायचे असेल तर, त्या इष्ट कोनाच्या कोटिज्येनें, त्या मूल प्रेरणेला गुणिलें, म्हणजे झाले. अशा कोटिज्यांना दिक्कोटिज्या ( direction Cosines ) म्हणतात. आकर्षणशास्त्रीय गणितांत यांचाच उपयोग करावा लागतो. समजा की A धूमकेतू BA दिशेत काही वेगाने सूर्याकडे चालला आहे व त्याच्या मागून, त्याला एक ग्रह, AD या विरुद्ध दिशेनें, AD येवढ्या जोराने ओढीत आहे. तर ग्रहाच्या आकर्षणामुळे, त्या धूमकेतूचा वेग, AB इतकाच कमी होईल. AD इतका कमी होणार नाही. BD प्रेरणा, A B वर लंब असल्यामुळे, AB दिशेत, तिचा परिणाम मुळीच घडत नाही. प्रकरण ४ थे. पृथ्वीचे आकर्षण. (२३) भूपृष्ठाजवळील पदार्थ, निराधारावस्थेत ज्या प्रेरणेमुळे वाली पडतात, तिला गुरुत्वाकर्षण ( Gravity ) म्हणतात. हे पृथ्वीचे आकर्षण (9) या चिन्हाने दाखविले जाते. विद्वानांनी फार जपून केलेल्या प्रयोगांवरून असें निश्चित झालें आहे की, एकाद्या उंच मनोऱ्यावरून, दगड किंवा शिशाचा गोळा, सोडून तो क्षितिजपातळीशी लंब असणाऱ्या रेषेत म्हणजे ओळंब्याच्या दिशेत खाली येतो. निघालेल्या स्थानांपासून पहिल्या सेकंदाच्या शेवटी दिला तर, ·दुसन्या, तिसन्या, चौथ्या, इत्यादि सेकंदाच्या अंती, अनुक्रमें, १, ४, ९, अ... ले. १४] [पृथ्वीचे आकर्षण. तो १६ फूट खाली उतरतो. दुसऱ्या सेकंदाच्या शेवटी ६४ फूट, तिस-या सेकंदाच्या शेवटी १४४ फूट, चौथ्या सेकंदाच्या शेवटी २५६ फूट, या प्रमाणे खाली उतरत असतो. यावरून भूपृष्ठाजवळ पदार्थाच्या अधःपतनाची लांबी पतनाच्या कालाच्या वर्गाच्या सरळ प्रमाणात असते. हा प्रयोग- सिद्ध नियम झाला. (२४) आतां १६ फूट लांबीचा एक मानदंड-( Unit of length ) मानिला तर, लंब दिशेत पडणाऱ्या पदार्थाच्या मार्गाची लांबी, पहिल्या १६, २५, इत्यादि दंड भरते असे झाले. यांची अंतरें, ३, ५, ७, इत्यादि दंड, त्या त्या सेकंदाच्या अवधींमधील पतनाच्या वेगांची माने आहेत. पुन्हां या वेगांची अंतरें, २, २, २, २ इत्यादि दंड, त्या त्या सेकंदांत होणारी, वेगाची वृद्धि दाखवितात. वेगाच्या वृद्धीलाच, आकर्षण म्हणतात. पुन्हां यांची अंतरें ०, ०, ० यांना पराकर्षण ( Super acceleration ) असे म्हणतात. यावरून भूमध्यापासून समान अंतरावर, गुरुत्वा- कर्षण अविकृत असते, असें सिद्ध होतें. हीच गोष्ट आम्ही खंड्या पक्षाच्या पाण्यावर तरंगण्याच्या निरीक्षणापासून, प्रकारांतराने लेख १४ यांत सिद्ध केली आहे. वरील मजकूर खालील प्रस्तारावरून चांगला ध्यानात येईल. अधःपतनाचा- लांबी. वेग. आकर्षण पराकर्षण. (5) (1) (g) ( १ ) सेकंद. दंड काल. 0 १ १ १ २ o २ ४ २ ५ 0 ३ ९ २ ७ ४ २ १६ २५ ९ १, असले ३० दंड १ मैल; १३२०००० दंड भत्रिज्या. २, कारण या प्रयोगांतील अधःपतनाची लांबी भूत्रिज्येपुढे उपेक्षाय आहे. लेस ४७ यांतील समीकरण पहा.

·प्र. ४. ले. २५-६ वरील प्रस्तारांवरून दिसून येते की, पडणा-या पदाथांचा वेग, कालाच्या प्रमाणांत एकसारखा वाढत असतो. परंतु वेगाचा वेग म्हणजे आकर्षण (1) हे मात्र २ दंड किंवा ३२ फूट हैं स्थिर, म्हणजे अविकृत असते. निदान भूपृष्ठासमीप तरी, तें अचल किंवा अधिकारी असते, असे म्हणता येईल. परंतु हे गुरुत्वाकर्षण वस्तुतः अवल नाही. पृथ्वीपासून जसजसें दूर जावें तसतसें तें अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त पीने कमी होत जाते, हीच एक मुख्य गोष्ट आपणांस या पुस्तकांत सिद्ध करावयाची आहे, व तिच्यासाठीच पुढील सर्व खटपट आहे, हे वाचकांनी ध्यानांत ठेवावें. (पहा लेख ६५) (२५) परंतु प्रत्येक सेकंदाच्या प्रारंभीच, दोन दंड आकर्षणाचा हिसका बसतो, असें जें वरील प्रस्तारावरून अनुमान निघते, ते बरंच स्थूल आहे. ते सूक्ष्म असते तर, कोणत्याही सेकंदाच्या मध्यस्थानचे पतन, त्रैरा- शिकानें काढिलेल्या पतनाशी जुळले असते. परंतु तें जुळत नाही. उदाहरण-चार सेकंदांत चाललेली वाट १६ दंड, आणि पुढील अर्ध्या सेकंदांत चाललेली वाट त्रैराशिकाप्रमाणे ४.५० दंड मिळून २०.५० दंड, ४१ सेकंदांत, पतन झाले पाहिजे. परंतु पतनाच्या नियमाप्रमाणे ४.५ सेकंदाचा वर्ग २०.२५ दंड इतकेंच भरते. म्हणून आकर्षणाचे हिसके दर सेकंदाच्या प्रारंभीच बसतात, असें न मानतां, सेकंदाच्या अवधींत आकर्ष- णाचे असंख्य, पण कोमल व समान, हिसके बसत असतात, असें मानिलें पाहिजे. अशा प्रकारच्या पृथ्वीच्या सतताकर्षणाला, गुरुत्वाकर्षण ( Gravitation) म्हणतात. पदार्थावरील आकर्षण, त्याच्या वजनावरून अनुभवास येते म्हणून त्याला गुरुत्वाकर्षण हे नांव दिले आहे. (२६) अशा प्रकारच्या आकर्षणापासून उत्पन्न होणाऱ्या, एका सरळ रेतील पतनाचे गणित करण्याचा जो नियम, लेख २३ यांत प्रयोगा- वरून सिद्ध केला आहे, तो भूमिती, बीज व पर- (आकृ. १०) माणु, या तीन रीतींनी सिद्ध करता येतो. ( आकृ. १० पहा.). T A IBE ·प्र. ४. ले. २६ ] (१८) [पृथ्वीचे आकर्षण. येथे At ही इष्टकालावधिदर्शक, क्षितिजसमांतर रेषा आहे. AB, BC, CD, इत्यादि. तिचे, असंख्य पण समान भाग आहेत. व तेथून काढलेल्या gB, gC, gD इत्यादि, असंख्य रेषा At रेषेवर लंब आहेत. AB= B; AC%DC; AD=D; At=t; इत्यादि At रेषेचे असंख्य, व समानांतरित भाग कल्पिले, व 9 हे, एका अत्यल्प कालविभागांत बस- णान्या हिसक्याचे माप मानिलें तर, gB, C,gD.......gt या असंख्य लंब रेषा, त्या त्या क्षणाचे वेग दर्शवितात, आणि gBx AB; gex BC; gDxCD; .... gtx Et; या पट्या अत्यंत अरुंद (रेषाकार) व असंख्य होतात. या असंख्य पट्यांची बेरीज तेंच पतनाचें मान असले पाहिजे, असें मागील प्रस्तारावरून ठरतें. आतां या लंबरेषा, आपापल्या पायाच्या प्रमाणांत आहेत. म्हणून त्यांची टोके A K या सरळरेषेत असली पाहिजेत, अर्थात् A Kा हा एक काटकोन त्रिकोण आहे. आणि पूर्वोक्त वेग दर्शक असंख्य व अत्यंत अरुंद पट्ट्या, एकमेकीस जोडून, या त्रिकोणाचे क्षेत्रफल बनले आहे. म्हणून या त्रिकोणाचें जें क्षेत्रफल, तत्तुल्य सर्व वेगांची बेरीज, म्हणजे पतन असले पाहिजे. A Kt त्रिकोणाचे क्षेत्रफल -S, पाया =t; आणि लंब =gt असें मानिले तर, त्रिकोनाचे क्षेत्रफल = पाया X लंबार्ध, असते. ४ ३ gt; (१)... ( भूमिति पद्धति %D म्हणून पतन 8 t S gte बीज पद्धति-क्रमाने वाढत जाणा-या वेगांची बेरीज, गणित श्रेढीच्या पद्धतीनेही, करितां येते. जसें-( येथें गच्छ म्हणजे श्रेढीतील पदांची संख्या) सर्वधन (आदिपद + अन्त्यपद) x गच्छ; ३ ( + gt) (२) (बीज पद्धति) परमाणुगणितपद्धति--सरळ गमनाच्या प्रथम परमाणूंना वेग (५) S = مال منه ماله .. S = 9:2 ·प्र. ४. ले. २07 (१९) [पृथ्वीचे आकर्षण. म्हणतात. आणि परमाणूंच्या परमाणूंनां, आकर्षण (3) म्हणतात. म्हणून ऋमिक पिंडीकरणरीतीनं-- पराकर्षण dis dth ma = 0; म्हणून आकर्षण di2 वेग (1) = a C' = मूळचे पतन. - Jgt' या gte %D -gt + C; C = मुळचा वेग, (३) परमाणुगणितपद्धतीने पतन- S = Jgt + Ct+C'; टीप:-- ८ आणि ' है, पतनप्रारंभ होण्यापूर्वीचे वेग आणि पतन आहेत. यांची किंमत • पासून पाहिजे तेवढी मानता येते. • मानिली तर jyt, agt अशी आकर्षण, वेग, व पतन यांची मानें होतात. (२७) वर सिद्ध केलेल्या 8 = gt-/2 म्हणजे समीकरणांपासून, पुढील प्रकरणांत उपयोगी पडणारी खालील समीकरणे सहज उत्पन्न करितां येतात. जसे समीकरण (१) यांतील पदांच्या स्थलांतरापासून अधःपतन = S = 1 gti (१) म्हणून (२) आकर्षण (३) समीकरण (३) च्या दोन्ही बाजूंस t में गुणिलें तर atau g4 = 298 = 12 (४) वेग 2gs (५) उदाहरण- हातांत वॉच घेऊन कारवार जिल्ह्यांतील गेरसप्पा धबधब्यावरून, एक धोंडा सोडून दिला तर, खालच्या डोहांत पडण्यास त्याला साडेसात सेकंद लागले, तर धबधब्याची खोली किती फूट आहे ? केवढ्या वेगानें तो धोंडा पाण्यावर आदळेल ? व एका सेकंदांत आकर्षण किती फूट घडतें ? ते सांगा. प्रश्नाप्रमाणे वरील समीकरणांत ज्ञात राशी मांडूनs=Digt=३ x ३२४ (७३ ) = ९०० फूट धबधब्याची खोली. v=V(2gS) = N (२४३२४ ९०० ) =२४० फूट धोंड्याचा वेग. g= 2.S/t = (२४ ९००) ५६४ आकर्षण. g=2SP ... ... ... - ३२ फूट ·म. ४.ले. २८-३९] (२०) [पृथ्वीचे आकर्षण. २८) लेख २३ मध्ये वर्णिलेला पतनाचा प्रयोग थोडक्या श्रमाने करून पहाण्याची इच्छा असेल तर एक फळी किंचित् उतरती ठेवून तिच्या उतरत्या पृष्ठभागावरून एक लांकडी चेंडू सोडावा, म्हणजे तो फारच मंदगतीने खाली सरकत जाईल. भूमीला टेकलेल्या फळीच्या टोका- पासून, चढतीकडे २ फुटांवरून चेंडू सोडला तर, तो एका सेकंदांत जमीनी- वर येईल इतकाच त्या फळीचा उतार ठेवावा. मग जमीनीपासून चढतीकडे ८ फूट अंतरावरून तोच चेंडू सोडला तर त्याला जमीनीवर येण्याला २ सेकंद लागतात. १८ फुट अंतरावरून सोडला तर ३ सेकंद लागतात, असे सेकंददर्शक घड्याळावरून दिसून येईल. यांत घर्षण व वातावरणाचा विरोध, ही जमेस धरली पाहिजेत. (२९) भूपृष्ठावर तिर्कस (तिर्यक् ) फेंकलेल्या पदार्थाचा गमनमार्ग, परिलेखनपद्धतीने ( Graph पद्धतीने ) काढणे. ( आकृ. ८) येथे A H या भूमध्याकडे जाणा-या रेषेशी HAB येवढा विशाल कोन करून, दर सेकंदास ५ दंड या वेगाने A पदार्थ, फेंकला आहे. ही सकृत्प्रेरणा, एकटीच असती तर 4 पदार्थ ६ सेकंदांत G येथे वेग A आला असता. परंतु -4 एथून निघतांच 9 दर सेकलात भा है 56 त्याजवर पृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षणाचा अंमल सुरु झाला. त्यामुळे तो ABCDE FE या सरळ मार्गाने न जातां, त्या त्या सेकंदाच्या शेवटी abcdefg या वक्र मार्गाने आकृति ८. जाईल. Bb, Cc, Dd, Ee या रेषा, जरी भूमध्यामध्ये मिळतात तरी भूपृष्टाजवळ त्या परस्परांस समांतर आहेत असे म्हणण्यास हरकत नाही. हा परिलेख सकृत्प्रेरणा व संततप्रेरणा यांच्या एकीकरणांचे एक उदाहरण आहे. वरील आकृति (८) वरून दिसून येते की, 4 येथून फेंकलेल्या पदार्थाचा 4g हा आडवा पल्ला ( Range) म्हणजे क्षितिजसमांतर दिशेचे गमन, HAB कोन आणि AB वेग, या दोन गोष्टीवर अवलंबून असते. A येथे रोखलेल्या तोफेचा गोळा Ag अंतरावरील निशाणावर लागू करावयाचा असल्यास तोफ रोखण्याचा HAB कोण किती अंशाचा आसावा, आणि तोफेच्या बारामध्ये किती ·.४ ले. 30-17 (२१) खीचे आकर्षण. दारू असावी, याचं प्रयोगावरून उरविलेले एक कोप्टक गोलंदाजाजवळ असते. हे Aj अंतर नेहमीच्या संवयीने अथवा त्रिकोणनितीन उमवितां येतं. फेंकलेल्या पदार्थाचा ABCD हा वक्रमार्ग परावलाकार असतो असे सिद्ध करता येते. (३०) घड्याळाचा लंबक जो सदोदिन झोके घेत असतो, त्याचं कारणही पूर्वोक्त दोन प्रेरणाच आहेत. लंबकाला ढकलण्याची सत्प्रेरणा सभोवतालच्या सतत घर्षणामुळे, सतत कमी होत जाते ती भरून काढण्या- साठी, घड्याळांत कमानीची योजना केली असते. (३१) लंबकाच्या गुरुत्वमध्यापासून टांगलेल्या बिंदूपर्यंतचे अंतर कायम असेपर्यंत लंबकाचे झोके, लहान असोत किंवा मोठे असो प्रत्येक झोक्याचा अवधि समान असतो. ही गोष्ट खाली सिद्ध केली आहे. ७ व्या आक्रतीत P हा लंबकाचा गुरुत्वमध्य आहे. 0P,22, 00, या आंदोलन-कंसाच्या त्रिज्या आहेत. Fol, हा आंदोलन मार्ग आहे. OP भूमध्याकडे जाणारी रेषा आहे. PR, PR रेषा OF रेषेला समांतर असून Q R=QR' आहे. 00,०६ पुढे वाढ- वून, RS R'S रेषा, त्याच्यावर लंब काढल्या आहेत.म्हणून RSO, R'S'g' हे काटकोन आहेत. OP,QR.QIA या रेषा परस्परांस समांतर आहेत. म्हणून आकृति ७. POQ,R2s हे कोन समान आहेत, आणि POL,RC'S' हेही कोन समान आहेत. OP लंबक P कडे परत जाण्याचे वेळी CE,Q R हे लेख २४ प्रमाणे गुरुत्वाकर्षणाचे हिसके आहेत म्हणून ते समान आहेत. लेख २२ आकृति ४, यांत दाखविल्याप्रमाणे SE.S' ' या रेषा, ५R, या समान गुरुत्वा- कर्षणाच्या पृथक्करणापासून उत्पन्न होणारी घटकाकर्षणे आहेत ( SR=j S' R = समजा). त्याचप्रमाणे SR,S R' या रेषा, RQS,RQ'S' या कोनांच्या भजज्यांच्या प्रमाणांत आहेत. marwarrammar ·प्र. ४. ले. ३२] (२२) [पृथ्वीचे आकर्षण. QP SR - .. g परंतु जेव्हां कोन लहान असतात तेव्हां त्यांच्या भुजज्या, कंसाच्या प्रमाणांत, म्हणजे, येथे आंदोलन मार्गाच्या प्रमाणांत, असतात. आंदोलन व पतन ही एकच आहेत. फक्त त्यांच्या दिक् भेदामुळे, त्यांनां भिन्न नांवें देण्यांत आली आहेत. समजा, QP=S'; OʻP=S" I SR=g; S'R=3" OP ; किंवा असें होतें. S'R g म्हणजे लंबकावर झोक्याच्या दिशेत घडणारें घटकाकर्षण, झोक्या- च्या लांबीच्या प्रमाणांत असते हे सिद्ध झाले. लेख २७ यांतील पतनाचे समीकरण S = "gt असें आहे. याला स्थलांतराने ( Transposition) Sig =t हे रूप प्राप्त होते. आंदोलन मार्गात (झोक्यांत ) कोठेही Sig हे पद, स्थिर म्हणजे, आपल्याशी सर्वत्र समान असते, असें वर सिद्ध केले आहे. अर्थात् S{g हा पहिला पक्ष जर स्थिर असतो, तर हा दुसरा पक्षही स्थिर असला पाहिजे. म्हणजे दुसऱ्या पक्षांतील हा कालही स्थिर असतो. म्हणून लंबकाची लांबी कायम असेपर्यंत लंबकाचे झोके लहान असोत किंवा मोठे असोत, त्यांचा अवधि समान असतो हे सिद्ध झाले. आंदोलन चाप जितकें लहान असेल किंवा OP त्रिज्या जितकी मोठी असेल तितका हा सिद्धांत ज्यास्त सत्य असतो, कारण ज्या-चाप- साम्याच्या पायावरच, हा सिद्धांत रचिला आहे. (३२) ख्रिस्ती देवळांत लांब काढणीने टांगलेल्या काचेच्या हंडीची आंदोलने, आपल्या नाडीच्या ठोक्याशी ताडून पाहून, ग्यालिलिओ याने हा नियम प्रथम शोधून काढला. याच नियमाच्या आधारावर, लंब- काच्या घड्याळाची रचना केली असते. या नियमाला कालसाम्य ( Synchronism) म्हणतात. परंतु घड्याळांतील आंदोलन-कोन बराच मोठा असतो आणि हवेच्या शीतोष्णामुळे आंदोलकाच्या तारेची लांबी कमीजास्त होत असते म्हणून उत्तम आंदोलक बराच जड करून तो तारे- बद्दल लांकडीपट्टीने टांगला असतो. किंवा तारेच्या प्रसरणाकुंचनाची प्रति. क्रिया होण्याजोगी निराळी रचना केली असते.

·प्र. ५. ले. 33-31 (२३) [सूर्याचे आकर्षण. प्रकरण ५ वें. सूर्याचे आकर्षण. (३३) ज्या रीतीने लेख २३-२७ यांत, भूपृष्ठावर पडणान्या पदार्थाच्या पतनावरून, त्यांजवर पृथ्वीचे आकर्षण किती पडते, हे काढितां येते, त्याच रीतीने सूर्याच्या दिशेत होणाऱ्या ग्रहांच्या पतनावरून, त्यांच्या- वर सूर्याचे आकर्षण किती घडतें हैं काढिता येते. भेद इतकाच की, भू- पृष्ठावरील पदार्थाचे पतन आम्हांस प्रत्यक्ष प्रयोगावरून जसें मोजतां येते, तसें सूर्याच्या दिशेत घडणारे ग्रहाचे पतन प्रत्यक्ष मोजतां येत नाही. हे काम ग्रह व सूर्य यांच्यामधील मध्यमांतर व ग्रहाचा, सूर्याभोवती एक प्रदक्षिणा करण्यास लागणारा काल, या दोहोंच्या मदतीने करितां येते. यांपैकीं मध्यमांतर प्रदक्षिणेच्या कालावर अवलंबून असते म्हणून वस्तुतः ग्रहाच्या प्रदक्षिणाकालावरूनच ग्रहावरील सूयाचे आकर्षण काढता येते. सूर्यसंस्थेचा विस्तार मोठा असल्यामुळे, या कामी कालाचे मूलमान, एक सेकंद न धरितां, एक दिवस धरण्याचा, ज्योतिर्विदांचा संप्रदाय आहे. तसेंच सूर्याच्या आकर्षणाला F ही संज्ञा आणि ग्रहाच्या प्रदक्षिणा कालाला T, ही संज्ञा देण्याची वहिवाट आहे. ( ३४) आकृति ६ पहा. येथें AQP ही एक वर्तलाकार ग्रहकक्षा आहे. तिच्या मध्यबिंदुस्थानी S हा सूर्य आहे, आणि P हा ग्रह आहे. PRही, P स्थानची स्पर्श- रेषा असून, हा कक्षेचा व्यास आहे. तसाच RPBQ हा काटकोन चौकोन आहे. ग्रह, P स्थानी आल्या- वेळी PR ही त्याची एका दिव- साची गति आहे. P ग्रहावर सूर्याचे (आकृ. ६) आकर्षण नसते तर तो गोफणी- तील सोडून दिलेल्या दगडाप्रमाणे, एका दिवसांत R येथें आला असता R K Pand PSA P ·% 3D प्र. ५. ले. ३५-३६] (२४) [ सूर्याचे आकर्षण. पण सूर्याच्या आकर्षणाच्या सतत हिसक्यांमुळे तो RQ= PB इतका खाली येतो. म्हणून हे त्याचे एका दिवसाचे पतन आहे. आतां भूमिति- रीतीने PB ची लांबी काढली पाहिजे. AQP व BOP त्रिकोणामध्ये AQP, PBQ हे काटकोन असून, QPB कोन दोहोंस साधारण आहे. म्हणून हे दोनही त्रिकोण सरूप आहेत. सरूप त्रिकोणाच्या धर्माप्रमाणे. AP : PQ: : Pe: PB = पतन POP POP .. पतन PB= AP 2SP (३५) लेख २७ यांतील g= 28/t2 या समीकरणांत 131 मानिले तर g= 2S असे होते. म्हणजे कालाच्या मूलमानांत जितके पतन घडतें त्याच्या दुपाटीइतके आकर्षण असते; POP .. F=2PBD (१) यांत 12 स्थिर कल्पिला तर, परमाणुगणितशास्त्राप्रमाणे F आकर्षण SP-2 प्रमाणे म्हणजे, अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणांत बदलतें असें सिद्ध होते. (३६) आतां या सूर्याच्या आकर्षणाच्या समीकरणापासून, वरील आकर्षणाचा नियम, म्हणजे, आकर्षण व सूर्यापासून ग्रहापर्यंत जें अंतर, त्याचा संबंध दाखविणारे समीकरण भूमितीपद्धतीने सिद्ध करून दाखवितों. वरील (१) समीकरणाच्या दोन्ही पक्षांस SP ने गुणून F.SP2 = POR. SP; (२) व्यासाला ( 2 SP ) व्यासपरिघाच्या गुणोत्तराने (ग) गुणिलें म्हणजे परिघ येतो. परिघाला प्रदक्षिणा कालाच्या दिनसंख्यनें (T) भागिलें म्हणजे, एका दिवसांत क्रमिलेल्या कंसाची ( PQ ) लांबी (3 T. SPIT) निघते. इचा वर्ग (PQ ) वरील समीकरणांत मांडला तर, SP F. SP2 =4T. Sp3 T2 (३) ... ... समीकरण (२) याची दुसरी बाजू स्थिर आहे. म्हणून, तिचे रूपां- तर जी समीकरण (३) ची दुसरी बाजू, तीही स्थिर आहे; पण ·मर्याचे आकर्षण. N जेव्हां दोन राशींचा गुणाकार स्थिर असतो, तेव्हा त्यांचे व्यस्त प्रमाण ( Inverse Proparticn) असते. म्हणून F आकर्षण अंतगच्या वर्गाच्या, व्यस्त प्रमाणांत असते, हा आकर्षणाचा नियन सिद्ध झाला. समीकरण ( ३) याचा दुसरा पक्ष स्थिर असून, त्याचा पहिला अवयव स्थिर आहे म्हणून S"T" हा दुसर, अवयवई स्थिर असला पाहिजे. अर्थात् ग्रहांचे प्रदक्षिणाकालांचे वर्ग, त्यांच्या मध्यम मंदकर्णाच्या घनाच्या प्रमाणांत असतात, हा केप्लरचा ३ रा नियमही सिद्ध झाला ( लेख ७० पहा ). T-SF याची किंमत, सर्व ग्रहांच्या संबंधानें सारखीच म्हणजे सुमारे १६३४१. नियते. (आमच्या मराठी ग्रहगणिताचें पृष्ठ १०४ पहा). विशेष-पूर्वोक्त आकर्षणाचा नियम वर्तुलाकार कक्षांच्या संबंधानें मात्र जरी सिद्ध झाला आहे तरी दीर्घवर्तुल, पराबला, हैपरवला, या शंकुच्छिन्नाकृतिकक्षांना देखील तो सहज लागू करितां येतो. कारण या आकृतींतील कोणत्याही बिंदूंतून वर्तुलाकार कक्षा गेली आहे, असें जर कल्पितां येतं तर त्यांच्या छेइन बिंदु-स्थानचा आकर्षणनियन, त्या दोनही कक्षांस सारखाच लागू असला पाहिजे, हे उघड आहे. म्हणून कक्षा वर्तुल असो, दीर्घवर्तुल असो, किंवा इतर कोणत्याही प्रकारची असो, आकर्षण अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणांत बदलत जातें हा महासिद्धांत सूर्य- संस्थेमध्येच नव्हे तर सूर्यसंस्थेच्या बाहेर देखील अमलांत असला पाहिजे. (लेख ९९ पहा.) आकर्षणाच्या नियमाची पूर्वोक्त सिद्धता आमची आहे. ही न्यूट- नने दिलेली नाही. त्यानें कक्षाकृतिपरत्वें निरनिराळ्या सिद्धता दिल्या आहेत. (प्रकरणे १० व ११ पहा.) त्याच्या सिद्धतेत 12 QR/QT2 हा स्थिरांक सिद्ध केला आहे. आमच्या सिद्धतेत 4 TSP 72 हा स्थिरांक आहे. या दोहोंचे साम्य खाली सिद्ध करून दाखवितो. आमच्या स्थिरांकाच्या अंशच्छेदांना SP ने गुणिलें तर त्याची किंमत बदलत नाही - म्हणून तो- X 4 TSP 1 असा होतो यांतील Ta SP 4 TSP (द्विगुणकक्षा क्षेत्रफल) T (प्रदक्षिणाकालदिन ) 12 (ले. ४३). २ ·प्र. ५. ले. ३७] (२६) [ सूर्याचे आकर्षण. 3 1 QT8 OT आणि समीकरण (१) प्रमाणे PO2 यांत PB = QR; व संहित दर्शत OPB - SP PQ = QB = QT; आकृति (१६). 2 PB 20R SP POS sp3 32. QR = म्यू. T2 टीप-आकर्षणसमीकरणांतील स्थिरांकाला से ही संज्ञा दिली आहे. या स्थिरांकाच्या रूपांतरापासून (भूदिनगतिकलावर्ग x भूमध्य मांतरघन ) = ३४९६.३ कला, हा स्थिरांक उत्पन्न होतो. उदाहरण १ लें- गुरूची दिनगति ५ कला आहे तर त्याचे मध्यमांतर किती ? ३४९६.३:२५ = १३९.८५, याचे घनमूळ ५.२ हे गुरूचें मध्यमांतर आहे. उदाहरण २ रें- इंद्राचे मध्यमांतर ३० आहे तर त्याची दिनगति केवढी ? ३४९६.३ : २७००० = ०.१२२ याचे वर्गमूल ०.३५ कला = २१ विकला ही इंद्राची दिनगति आहे. ( मराठी ग्रहगणित पृष्ठ ८१ पहा.) (३७) सूर्याच्या आकर्षणाचे मूलमान (unit):-- सूर्याचे आकर्षण ( F ) हे मध्यमांतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणांत बदलत असते, त्या अर्थी गणिताच्या सोईसाठी काही एका सर्व संमत मध्यमांतरावरील आकर्षणाला मूलमान मानावे लागते. पृथ्वी सूर्यापासून आपल्या मध्यमांतरा इतकी दूर असतांना तिच्यावर एका दिवसांत सूर्याचे जेवढे आकर्षण घडते, तेंच सूर्याच्या आकर्षणाचे मूलमान मानावें, असें सर्व पाश्चात्य ज्योतिर्विदांनी एकमताने ठरविले आहे. हे (u) म्यू या ग्रीक अक्षराने दाखविले जाते. याचे मान ठरविण्याच्या कामी पृथ्वीचे मध्यमांतर SP = १ व पृथ्वीचा नाक्षत्र प्रदक्षिणाकाल T = ३६५.२५६४ दिवस आणि व्यासपरिघांचे गुणोत्तर T = ३.१४१५९ हे मूलांक घेतले जातात. SP F. SPL -4 T यांत वरील मूलांक मांडून समीकरण सोडविलें म्हणजे म्यूची किंमत निघतें. १२ u = ४ (३.१४१५९)x (३६५.२५६४) :. ॥ = . ०००२९५८४ = . ०००३; सुमारें. ज्या अर्थी ·६. ५. ले. ३८] (२७) [नांचे आकर्षण. :. F. SP = u, आणि F = sp; इष्ट ग्रहावरील इष्ट कालीन आकर्षणाचें मान होते. उदाहरण-(लेख ८८ पहा ). ज्या दिवशी मंगळाचा मंदकर्ण १.६३७४ असेल, त्या दिवशी मंगळावर सूर्याचं आकर्षण किती? SP = .०००१८ हे इनकाली मंगळा- १.६३७४ वर सूर्याचे आकर्षण होतें. टीप-सूर्यसंस्थेच्या मोजणीत म्हणजे ग्रहगणिनांत पृथ्वीपासून मूर्यापर्यंत जे मध्यम अंतर अथवा पृथ्वीचा मध्यममंदकर्ण त्याला पाश्चात्य ज्योतिर्विद, देध्यं मापनाचा मानदंड (unit of Leajth) मानतात. यांची लांबी ९,३०,००,००० मैल आहे. म्हणजे सुमारे नऊ कोटी मैल किंवा ९३,००,००० योजनें आहे. म्हणून या उदाहरणांत-F = . ० ००१८ x ९३,०००,००० = १६२०० मैल हैं मंगळावरील सूर्याचे आकर्षण आहे. सूर्यापासून पृथ्वीचे मध्यमांतर ९ कोटी मैल मानिलें तर ची लांबी ९ कोटी ४.०००३ = २७००० मैल होते, व ज्यापक्षी कालाच्या मूल मानांतील अधःपतन, आकर्षणाच्या निम्में असतें. ( लेख ३५); त्या अर्थी सूर्याच्या आकर्षणामुळे पृथ्वी पहिल्या दिवशी, १३५०० मैल सूर्याकडे उतरते त्याचप्रमाणे भूमध्यापासून ४००० मैल दूर असणारे पदार्थ पहिल्या सेकंदांत १६ फूट पृथ्वीकडे येतात. (लेख २३ पहा ). यावरून सूर्याचे आकर्षण पृथ्वीच्या आकर्षणाच्या किती पट आहे हे पुढील रीतीने ठरविता येते. (३८) सूर्याचे द्रव्य (Mass) आणि त्याची घनता (Density): आकर्षण, द्रव्याच्या प्रमाणांत असते असें मानिले आहे. काल व दूर समान असतील तरच, आकर्षणाची किंवा पतनाची तुलना वास्तविक होईल. म्हणून पृथ्वीपासून ९ कोटी मैल अंतरावर, पहिल्या दिवशी पृथ्वीच्या आकर्षणामुळे, पदार्थ किती फूट खाली उतरेल तें प्रथम ठरविले पाहिजे. भूपृष्ठाजवळील पतन S = igt असते. (लेख २७ ). आणि आकर्षण व पतन ही अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणांत बदलतात. (लेख ३६). म्हणून s=kgtir हे पृथ्वीच्या आकर्षणामुळे घडणाऱ्या पतनाचे समीकरण आहे. यावरून एका दिवसांत म्हणजे ८६४०० सेकंदांत, ९ कोटी ·- २ %- =२२४ फट; २३१००२ प्र. ६. ले. ३९] (२८) [ केप्लरचा दुसरा नियम मैलांवर म्हणजे =९ कोटी ४ हजार = २३१०० इतक्या भूत्रिज्यांतरा- वर पृथ्वीकडे सूर्याचे किती फूट पतन घडेल, ते काढितां येते. जसें:- सूर्याचे पतन = S = ३४३२ फूट x ८६४०० सूर्याकर्षणमूलक पृथ्वीचे पतन १३५०० मैल = ७१२८०००० फूट असते. म्हणून पृथ्वीच्या द्रव्यापेक्षां सूर्याचे द्रव्य ७१२८०००० : २२४ = ३२०००० पट जास्त आहे हे सिद्ध. आतां सूर्याचें घनफळ पृथ्वीच्या मोठे असून त्याचें द्रव्य फक्त सवातीन लक्षपट मोठे आहे, म्हणून पृथ्वीची घनता (किंवा दाळ ) एक मानिली तर सूर्याची फक्त चतुर्थांस असली पाहिजे. ( मराठी ग्रहगणित पान ८१ पहा.). सूर्यही तन्निष्ठ द्रव्याच्या प्रेरणाशरणत्वामुळे, दररोज २२१ फूट म्हणजे सुमारे १०० पावले पृथ्वीकडे सरकत असतो. (ले. १५). सूर्याचे पतन म्हणण्यापेक्षा अभिसरण म्हणणे बरें. घनफळाच्या तेरा लक्षपट प्रकरण ६ वें. G केप्लरचा दुसरा नियम. (३९) ग्रह सूर्याभोवती फिरत असतां त्यांचे मंदकर्ण सारख्या कालांत सारख्या क्षेत्रावरून जातात, हे सिद्ध करण्याचें. आपण असे समजूं की, कोणे एके क्षणी ( आकृति ९ ) P ग्रह S या सूर्यापासून SP इतक्या अंतरावर असतांना त्याला PR दिशेत एक ट टोला बसला. त्यावेळी सूर्य नसतां तर, किंवा सूर्याच्या अंगी आकर्षण- शक्ति नसती तर, तो PD' या सरळ रेषेनें दररोज PR, RC, CD ही समान अंतर चालून गेला असतां ( लेख १६ पहा ). (आकृति ९) परंतु त्याच क्षणी S या सूर्यानें P ग्रह एका दिवसांत आपल्याकडे PJ इतका येईल असा एक त्याला हिसका SH ·म. ६. ले. ४० 7 । केपचा दुसरा नियम. दिला. आतां P ग्रह PP आणि PJ या दोन प्रेरणाच्या अमलांत असल्या- मुळे, तो पहिल्या दिवसाच्या शेवटी येथे न येतां P.JMR या समांतर भुजचौकोनाच्या PL या कर्णरेषेनें । येथे येईल. ( लेख २० ). दुस-या दिवसाच्या आरंभी सूर्य त्याला 2K हिसका न देईल तर, तो ग्रह PQF या कर्णरेषेनें PO=) येथे येईल. परंतु दुस-या दिव- साच्या आरंभी 3 दिशेत, सूर्याचा ५K हिसका बसल्यामुळे दुसन्या दिव- साच्या शेवटीं तो F येथे न जातां Q KCF या समांतर भुजचौकोनाच्या 20 कर्णरेषेने चालन C येथे येईल. (लेख २० ). त्याचप्रमाणे तिस-या दिवसाच्या आरंभी दिशैत CE हिसका बसल्यामुळे तो QC दिशेनें QC=CG, G येथे न जातां CLDG या समांतर भुजचौकोनाच्या CD या कर्णरेषेनें D येथें तिसऱ्या दिवसाच्या शेवटी येईल. (ले. २० ). आणि याचप्रमाणे चौथ्या दिवसाच्या शेवटी E येथे येईल. आतां पहिल्या दिवसाच्या प्रारंभी ग्रह P येथें होता तो पहिल्या दिवसाच्या शेवटी ) येथे आला. त्यामुळे त्याचा SP मंदकर्ण (किंवा दावें म्हटले असतां विशेष शोभेल;) पहिल्या दिवशी FSC त्रिकोणावरून फरफटत गेला, असे होते. दुसऱ्या दिवशी QSC त्रिकोणावरून, तिसऱ्या दिवशी CSD त्रिकोणावरून चवथ्या दिवशी DSE त्रिकोणावरून तो फरफटत गेला असें झालें. (४०) आतां या चारही त्रिकोणाची क्षेत्रफले समान आहेत असें सिद्ध करण्याचे. PQ=QF; QC=CG; CD=DH; (रचनेप्रमाणे). PSC,SS F हे त्रिकोण PO,QF या समान पायावर असून, त्यांचा शिरोबिंदु एकच आहे, म्हणून युक्लीड पु. १. सिद्धांत ३८ प्रमाणे या दोनही त्रिकोणाची क्षेत्रफलें, समान आहेत. पुनः QSC आणि QSF हे त्रिकोण sQ या एकाच पायावर आणि SQ,CF या समांतर रेषांच्या जोडांत आहेत. म्हणून युक्लीड पु. १. सिद्धांत ३७ प्रमाणे या दोन त्रिकोणांची क्षेत्रफलें समान आहेत.

·प्र. ६. ले. ११-४२] (३०) [ केप्लरचा दुसरा नियम. परंतु PSQ त्रिकोण QSF त्रिकोणासमान आहे असें पूर्वी सिद्ध केले आहे म्हणून ( युक्लीड पु. १ प्रत्यक्ष प्रमाण १ लें ). ... त्रिकोण PSQ-त्रिकोण Osc. पुनः त्रि. QSC=त्रि. CSG; कारण यांचे पाय QC, CG समान आहेत. आणि शिरोबिंदु S हा दोहोंस साधारण आहे. तसेंच त्रि. CSG=त्रि CSD; कारण ते CS या एकाच पायावर आणि CS,DG या समांतर रेषांच्या जोडांत आहेत. .:. त्रिकोण CSD= त्रिकोण QSC, ( प्रत्यक्ष प्रमाण १ लें.) परंतु वर त्रि. QSC= त्रि. PSQ असे सिद्ध केले आहे. म्हणून PSQQSC,CSD, हे त्रिकोण समान आहेत. म्हणजे यांची क्षेत्रफलें पर- स्पर समान आहेत. याचप्रमाणे PSQ,QSC,CSD,DSE इत्यादि सर्व दैनिक किंवा क्षणिक क्षेत्रे समान असतात, असे सिद्ध करितां येते. म्हणून ग्रह, सूर्याभोवती फिरत असतां त्यांचा मंदकर्ण SP, सारख्या कालांत सारखी क्षेत्रे चालून जातो. म्हणजे ग्रहाच्या मंदकर्णानें आक्रमि- लेली क्षेत्रे आक्रमणाला लागणाऱ्या कालाच्या प्रमाणात असतात हा केप्लरचा दुसरा नियम सिद्ध झाला. ग्रहगणिताची पृष्ठे १०९-११८ यांतील मंद- फलाच्या उपपत्तिला हाच नियम मुख्य आधार आहे. (४१) सूर्याच्या आकर्षणाचे हिसके, एकेका दिवसाच्या अंतराने बसतात असें में आम्ही वर कल्पिलें आहे, ते केवळ सिद्धतेच्या सोयीसाठी आहे. या ढोबळ कल्पनेमुळे PQCDE हा कक्षेचा भाग बहुकोनाकार निघाला आहे. परंतु वस्तुतः दर सेकंदांत आकर्षणाचे हजारों हिसके बसत असल्यामुळे हे कोपरे दिसतनासे होतात. आणि कक्षादर्शक रेषा, एक सुंदर गुळगुळीत वक्ररेषा उत्पन्न होते. (पहा लेख २५). (४२) मागील लेख ४० यांतील प्रतिपादनावरून असे दिसून येते की, सूर्याभोंवतीं समान कालांत समान क्षेत्रे आक्रमण्याचा ग्रहांचा जो नियम आहे, तो अबाधित चालण्यास आकर्षणाचा रोख नेहमी सूर्या- कडे असणे, ही एकच अट पुरे आहे. आकर्षणाचा नियम अंतराच्या समप्रमाणाचा असो, व्यस्तप्रमाणाचा असो, अथवा कोणत्याही घाताचा असो, त्याचा वरील नियमाशी यत्किंचितही संबंध नाही. फार कशास, ·प्र. ६. ले. ४.] ( [ केपरचा दुसग नियम. वून आकर्षण मुळीच नसले तरी, PSR,RSC,CSD क्षेत्रं समान असणारच. आकर्षणाबद्दल परावर्तन Repulsion असले तरी, या नियमाला बाध येणार नाही. दुसरी अशी एक गोष्ट दिसून येते की, SPQODE ही ग्रहकक्षेची पातळी, सूर्यमध्यबिंदूंतून गेली असते, म्हणून ती अचल असली पाहिजे. (४३) ग्रहाचा रेखीय वेग (1) अथवा गतिः--(आकृति ९ पहा.) येथें BSP त्रिकोणाची RP बाजू मागे वाढवून तिजवर S या सूर्यापासून SP लंब काढला आहे. कोणत्याही त्रिकोणाची एक बाजू वाढ- तिजवर शिरोबिंदूपासून लंब काढला तर ती बाजू व लंब यांचा गुणाकार त्या त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाच्या दुप्पट असतो. या क्षेत्रफळाच्या दुपटीला h, आणि लंबाला p म्हणूं. PQ, QC, CD, DE या रेषा संलग्ना- वस्थेत म्हणजे केवळ बिंदुद्वयरूपी असतां वेग (४) दर्शवितात. त्या पुढे किंवा त्या मागे वाढविल्या तर त्या त्या ठिकाणी काढलेल्या कक्षेच्या स्पर्शरेषा होतात. म्हणून त्या वाढवून त्यावर SY प्रमाणे लंब काढले आहेत असे समजा. तर PSQ, PSC, CSD इत्यादि प्रात्यहिक त्रिको- णांच्या क्षेत्रफळांची दुप्पट ॥ ही त्यांचा पाया व लंब यांच्या गुणाकारा- येवढी असली पाहिजे. पण रोजची क्षेत्रफलें समान असतात. असे लेख ४० यांत सिद्ध केले आहे. म्हणून h हा स्थिरांक ( Constant ) आहे. .:. बाजू x लंब = h स्थिरांक. rx p=h= स्थिरांक. a 1 .:.cp 8 p म्हणून ग्रहांचा वेग सूर्यापासून त्यांच्या स्पर्शरेषेवर काढलेल्या लंबाच्या व्यस्त प्रमाणांत असतो.

·प्र. ७. ले. x-r६] (३२) [ बेंदवभूमिति आणि अंतिमगुणोत्तर प्रकरण ७ दें. बैंदवभूमिति आणि अंतिमगुणोत्तर. (४४)बिंदू म्हणजे ज्याला स्थितिमात्र आहे, पण महत्त्व किंवा भाग नाहीत तो. ही युक्लीडची बिंदूची व्याख्या आहे. परंतु, अशा बिंदूची कल्पना करणे, शक्य नाही. ज्याला अल्प देखील महत्त्व नाही, तें असत् होय. असत् पासून सत्, किंवा असत् मिळून सत् होणे संभवत नाही. सशिवाय मानसिक व्यापार, अगर लौकिक व्यवहार, यांचा प्रारंभच होत नाही, म्हणून बिंदूला जेणेकरून व्यवहार्यता येईल, अशी नवीन व्याख्या करणे अवश्य आहे. (४५) बिंदू म्हणजे अत्यल्प वर्तुल, असें की ज्याची त्रिज्या, डोळ्यांना किंवा सूक्ष्मदर्शकयंत्रांतून देखील न दिसली तरी, जिच्या अस्ति- त्वाची कल्पना मनाला करितां येते. याचप्रमाणे परमाणु म्हणजे, अत्यल्प द्रव्य असे की, ज्याचे परिमाण डोळ्यांना अगोचर असले तरी, तें मनाला कल्पितां येते. अशा व्याख्या केल्या तर, रेषा व तिचे अवयव जे असंख्य बिंदू, तसेंच पदार्थ व त्याचे घटकावयव जे असंख्य परमाणु, त्यांना समान गणितयोग्यता, व व्यवहार्यता प्राप्त होते, म्हणजे रेषा जशा भूमितीला विषय आहेत, तसेंच त्यांचे अवयव जें बिंदू तेही भूमितीला विषय होतात. त्यामुळे रेखीय भूमितीसिद्धांत जितके सत्य आहेत, तित- केच बैंदवभूमितिसिद्धांतही सत्य आहेत, अशी खात्री होते. (४६) बैंदवभूमितीत असले दोन बिंदू एकमेकांस लागले म्हणजे, त्यांची एक बैंदव सरळ रेषा होते. तीन बिंदू एकमेकांस एकापुढे एक लावले म्हणजे, दोन बैंदवसरळरेषा उत्पन्न होतात. या दोन सरळरेषा एकाच दिशेत नसतील तर त्या दोन्ही मिळून, एक बैंदववक्ररेषा होते. या तीनही बिंदूंतून जाणाऱ्या वर्तुलास, वक्रतादर्शक वर्तुल ( Circle of curvature ) किंवा तात्कालिक वर्तुल ( Instantaneous Circle) म्हणतात. बिंदुद्वयमात्र रेषेला, बैंदव रेषा म्हणतात. अशा स्थितीला बैंदवदशा, संलग्नावस्था, संहितावस्था, संहितदशा, ही नांवें आम्ही योजिली आहेत; परः सन्निकर्षः संहिता" ही पाणिनीय व्याख्या, येथें लागू कारण ·प्र. ७. ले. ४७-४८] (३३) [ 3दव भूमिति आणि अंतिमगुणोत्तर. होते. संहितदशेत PR रेषा, ( आ. १३ पाहा ) वर्तुल परिधाचे दोन संलग्न बिंदूनी झाली असते. म्हणजे तिचे P,R, हे दोन्ही बिंदू, परिघावरच असतात हे ध्यानात ठेवावें; वर्तुल व सरळरेषा यांचे स्पर्शस्थानी, बैंदव रेषा असते, बिंदु असत नाही हे निराळे सांगण्याची आवश्यकता नाही. (४७) परमाणुगणिताची मूल कल्पनाः- दैर्घ्य, क्षेत्र, किंवा पिंडदर्शक, कोणत्याही संख्येला मूलमान कल्पून त्याचे भाग, प्रभाग, विभाग, प्रतिविभाग इत्यादि समान गुणोत्तराने लहान लहान होत गेले आहेत, असे मानणे हा परमाणुगणिताचा पाया आहे. दशांश गणित, हा त्याचा एक विशेष प्रकार आहे. सूर्याच्या द्रव्याला मूलमान कल्पिलें तर, आणि त्याचे भाग, प्रभाग, विभाग, प्रतिविभाग यांच्यामध्ये सहस्त्रांशांचे गुणोत्तर कल्पिलें तर, गुरू हा प्रथम दर्जाचा किंवा श्रेणीचा परमाणु होतो. मंगळ हा द्वितीय श्रेणीचा परमाणु होतो. आमचा चंद्र हा तृतीय श्रेणीचा परमाणु होईल. लेखांक २७ यांतील पतनास मूलपिंडं मानिला तर, वेग हा त्याचा प्रथम परमाणु होतो, व आकर्षण द्वितीय श्रेणीचा परमाणु होतो. कारण तेथें 0 =gS आहे. म्हणून* S : V:2g अशी समान गुणोत्तरें निघतात. परमाणूंच्या पिंडीकरणांत ज्या दऱ्यांच्या परमाणूंपर्यंत, सूक्ष्मता इष्ट असते त्याच्या खालच्या दऱ्यांच्या परमाणूंची उपेक्षा केली तरी चालते. चंद्राच्या द्रव्यापेक्षा, पृथ्वीचे द्रव्य, ८० पट जास्त आहे आणि पृथ्वीच्या द्रव्याच्या ३२०००० पट, सूर्याचे द्रव्य आहे. म्हणून चंद्राच्या द्रव्याच्या २५६००००० पट सूर्याचे द्रव्य जास्त आहे. अर्थात् सूर्यापुढे चंद्र कापदार्थ आहे. म्हणून सूर्य + चंद्र-सूर्य; असें मानण्यास हरकत नाही. (४८) वर्तुल आणि त्याची वक्रताः रेषा सरळ असो वा वक्र असो, तिचे परमाणु भाग, बिंदूरूप अस- तात असें ले. ४६ यांत सांगितले आहे. त्याची स्थूल कल्पना पुढील रीतीने आणून देतां येते. एक हात लांबीची एक बारीक तार घेऊन, तिच्या दोन्हीं * लेखांक २४ यांतील प्रयोगजनित वेग, त्या त्या सेकंदाच्या मध्यकालचे आहेत. समाप्तिकालीन वेग पूर्वोत्तर वेगाच्या बेरजेचा निमा असतो. उदाहरणार्थ, सेकंदाचा समाप्तिकालीन वेग, ३ (७+९) =८ दंड आहे म्हणून १६:८ ·(३४) [ बैंदव भूमिति आणि अंतिमगुणोत्तर. हैपरबला, टोकांपर्यंत मणी ओवावे. मग तिची टोके ताणून धरली तर, तिची एक सरळ रेषा होते. आणि ती पाहिजे तशी वाकवून तिला वर्तुल, दीर्घ वर्तुल, पराबला, इत्यादि वक्राकृतींची रूपें देता येतात. या ५ व्या आकृतींत वर सांगितल्याप्रमाणे तारेमध्ये मणी ओवून तिला वाकवून तिचे a bc de इत्यादि एक अर्धवर्तुल केले आहे. त्यांतील प्रत्येक मणी एकेक बिंदु आहे. ab bc cd हे मणी इतके लहान आहेत की ab व्यासाचें a टोंक b टोंकाला (आकृति १०) लागले आहे. c व्यासाचें । टोंक c टोकाला लागले आहे. ed व्यासाचें टोंक d टोकाला लागले आहे. याप्रमाणे इतर मण्यांविषयी समजावें. आतां ab, bc, cd इत्यादि व्यासांचे मध्यबिंदूंतून, A ह्या वर्तुलमध्याकडे लंब रेषा काढल्या तर वर्तुलधर्मा- प्रमाणे त्या सर्व A ह्या मध्यबिंदूंत मिळतात. म्हणजे वर्तुल ही आकृति एकाच त्रिज्येच्या वर्तुलाच्या परिघाचे लहान लहान असंख्य तुकडे जोडून केलेली आहे असे म्हणता येईल. यासाठीच वर्तुलाची वक्रता, परिघाच्या सर्व भागांत सारखीच असते. (४९) दीर्धवर्तुल आणि त्याची वक्रताः- येथे पूर्वीप्रमाणे एका तारेत मणी ओवून तिला वाकवून, तिचें एक दीर्घवर्तुल केलें आहे. AX हा महाव्यास, PG लघुव्यास, S हा एक फोकस आहे. मागील आकृतीप्रमाणे येथेही ab, bc, cd, ef व्यासांवर Bg, Ch, D, Pt लंब काढले आहेत. परंतु ते सर्व एकाच बिंदूंत मिळालेले नाहीत. प्रति दोन लंबांचें छेदस्थान निराळे आहे. यावरून असे सिद्ध होते की, दीर्धवर्तुलाचा परिघ, क्रमाने वाढत किंवा घटत जाणाऱ्या त्रिज्यांनी काढि. लेल्या वर्तुलांच्या परिघांचे लहान लहान असंख्य तुकड्यांचे जोडण्यापासून उत्पन्न जाहला आहे. अर्थात् दीर्घवर्तुलाच्या परिघांवरील प्रत्येक बिंदुस्था- नची वकता निराळी असते. पूर्वोक्त सर्व लंबांचे छेदनबिंदू g, h, Hk, t क्रमाने सांधून, जी वक्ररेषा उत्पन्न होते, तिला जवयित्री ( Evolute ) म्हणतात. - ·प्र. ७. ले. ५०] ३५) [बैदव भूमिति आणि अंतिमगुणोत्तर. अशा जनयित्रीचे गुणधर्म, बैजिक भूमितींत सिद्ध केलेले असतात. या परिघावरील काढिलेल्या लंबांनां ( Normal ) म्हणतात. वरील वर्णन परा- बला हैपरबला या आकृतींनांही लागू पडते. म्हणजे या दोन्ही आकृति निरनिराळ्या त्रिज्यांनी काढलेल्या वर्तुलांच्या परिघांचे तुकडे जोडून, झाल्या आहेत असें कल्पितां येते. P d/D 's g S' w G (आकृति ११.) (५०) वक्रतावर्तुलः -आकृति ११ पहा. क्रमिक (Consecutive) दोन लंबांच्या छेदनबिंदूपासून, त्या लंबाएवढ्या त्रिज्येनें परिघावरील क्रमिक तीन बिंदूतून जाणारें में वर्तुल, त्याला वक्रतादर्शक किंवा वक्रतावर्तुल म्हणतात, असें ले. ४६ यांत सांगितले आहे. ही वर्तुलें लंबाच्या लांबीप्रमाणे क्रमाने लहान किंवा मोठी होत गेली पाहिजेत हे उघडच आहे. या मध्यबिंदूंभोंवतीं tP त्रिज्येनें काढिलेलें PWQ हे अशा प्रकारचे वक्रतादर्शक वर्तुल आहे. PSW ही त्या PWQ वक्रतादर्शक-वर्तुलाची, दीर्घवर्तुलाच्या फोकसांतून जाणारी त्रिज्या आहे. 2Pt त्या वर्तुलाचा व्यास आहे. वक्रता-वर्तुलाची वक्रता, ( Cureature ) त्याच्या त्रिजेच्या व्यस्त प्रमाणांत असते. (आ. १२ पहा.) जितकीपद त्रिज्या मोठी, तितकी वक्रता कमी. एका वर्तुलाची त्रिज्या ·प्र. ७.ले. ५१] (३६) [दव भूमिति आणि अंतिमगुणोत्तर. R d दुसऱ्या वर्तुलाच्या त्रिज्येच्या दुप्पट असेल तर पहिल्या वर्तुलाची वक्रता दुसऱ्या लहान वर्तुलाच्या वक्रतेच्या द्वितीयांश असते. जसजसें वर्तुल लहान लहान होत जाते तसतसे त्याची वक्रता वाढत जाते; जसजसे मोठे होत जाते, तसतशी त्याची वक्रता घटत जाते. म्हणून अनंत त्रिज्येच्या वर्तु- लाची वक्रता शून्य असली पाहिजे. सरळ रेषेची वक्रता शून्य असते. म्हणून सरळ रेषा ही, ज्याची त्रिज्या अनंत आहे अशा वर्तुलाच्या परि- घाचा एक भाग आहे असे म्हणण्यास हरकत नाही. (५१) अंतिम गुणोत्तर ( Ultimate Ratio)- पुढील सर्व सिद्धांत या दोन कल्पनांच्या आधारें सिद्ध केले आहेत. म्हणून वाचकांनां त्यांची पक्की जाणीव असणे जरूर आहे. या कल्पना सकृदर्शनी चमत्कारिक वाटतात, पण थोडा विचार केला तर त्यांच्या सत्यतेची मनाला खात्री पटेल. (आकृति १२) आ. १३ यांत APQB हा दीर्घवर्तुल, पराबला किंवा हैपरबला यां- पैकी एकाया वक्राकृतीच्या परिघाचा एक भाग आहे. PR ही P स्थानची स्पर्श- रेषा आहे. PCWK P स्थानची वक्रता-दर्शक वर्तुल आहे. PSW ही 8 या इष्ट (आकृति १३). बिंदूतून पार जाणारी एक त्याची ज्या आहे. तिला CR रेषा समांतर आहे. हिला संमुखी ( Subtense ) म्हणतात. आतां PR हा स्पर्शरेषेचा भाग आहे. PQ हा दीर्घवर्तुलाचा भाग आहे. चाप PC हा वक्रता-वर्तुलाचा भाग आहे. PO ही त्याची ज्या आहे. R D 'B ·प्र. ७. ले. ५२-५३] (३७) [ बंदद भूमिति आणि अंतिमगुणोत्तर. या चारही रेषा आकृतीत दाखविलेल्या स्थितीत समान नाहीत म्हणजे त्यांची आद्य गुणोत्तरे समान नाहीत हे उघडच आहे. परंतु CR ही संमुखी, PSTV या इष्ट ज्येशी आपलें समांतरत्व कायम राखून जस- जशी P बिंदूकडे लोटत जाईल, तसतसे त्यांचे वैषम्य कमी होत जाते. आणि सरतेशेवटी PR ही एक बैंदव रेषा होते. (ले. ४६ पहा ). तेव्हां, म्हणजे संहितावस्थेत, C, हे बिंदू R बिंदूंत लीन होतात. त्यामुळे चारही रेषा परस्परांस समान होऊन, त्यांची अंतिम गुणोत्तरें समान किंवा एकरूप होतात. याच कारणामुळे CR रेषा QR रेषेएवढी होते. संहितावस्था व दुष्काळ, यांत बरेच साम्य आहे. सुकाळांत धान्यांच्या धारणींची गुणोत्तरें फारच भिन्न असतात. पण RC प्रमाणे जसजसा दुष्काळ लोटत जातो तसतशी हीं गुणोत्तरें समान होत जातात आणि शेवटी अंतिमावस्थेत म्हणजे भयंकर दुष्काळांत, सर्व धान्यांची धारण एकच होते. याचा प्रत्यय १८७६ साली चांगला आला. व हल्ली (मे १९१८) त येत आहे. संहिताव- स्थेत EQ आणि PQ यांना अनुक्रमें आकर्षण व वेग ही नांवें प्राप्त होतात. या गोष्टी एकदा पक्क्या बुद्धिस्थ झाल्या म्हणजे पुढील उपपत्तीचा मार्ग सुगम होतो. ( ५२ ) पराकाष्ठा ( Limit )-बिंदूंपासून क्रमाने वाढत जाणाऱ्या राशीच्या ( quantities) अंतिम मर्यादेला पराकाष्ठा ( ultimate) ह नांव आम्हीं योजिले आहे. त्रिज्या व व्यास ह्या अनुक्रमें भुजज्या व ज्या यांच्या पराकाष्ठा आहेत. व्यास हा व्युत्क्रमज्येची ( Versed Sine ) मर्यादा किंवा पराकाष्ठा आहे. आनंत्य ( Infinity ) हे स्पर्शरेषेची परा- काष्ठा आहे. उदाहरणः-( आ. १४ ) यांत Q बिंदू P बिंदूकडे सरकत जाईल, तसा V हा P कडे सरकत जातो. म्हणून OV या व्युत्क्रमज्येची पराकाष्ठा OP हा व्यास आहे. हीच गोष्ट संहितावस्थेत OV=DOP=CP या भाषेनें लेख ५५ यांत सांगितली आहे. (५३) आकृति १३ पहा. P या परिधिस्थ बिंदूपासून निघून 8 या इष्ट बिंदूंतून पार जाणारी वक्रतादर्शक वर्तुलाची ज्या PSW, आणि तिची संमुखी CR यांचा संबंध काढणे.:- PWC आणि CPR या दोन त्रिकोणांत PW बाजू RC बाजूला समांतर आहे. आणि PC रेघ या दोहोंना छेदिते, म्हणून युक्लिडची भूमिति ·प्र. ७ ले. ५३] (३८)[बैदव भूमिति आणि अंतिमगुणोत्तर पुस्तक १ लें. सि. २९ प्रमाणे WPC कोन PCR कोनाबरोबर आहे. आणि PWC कोन CPR कोनांबरोबर आहे. ( युक्लिड पुस्तक ३ रें, सि. ३२ पहा). म्हणून PWC आणि PCR हे सरूप म्हणजे समरूप त्रिकोण आहेत. सरूप त्रिकोणांच्या धर्माप्रमाणे PW: PC:: PC: CR. २ परंतु संहितावस्थेत PC= PQ असते. व अंतिमगुणोत्तर सिद्धांता- प्रमाणे RC= RQ आहे. ह्या किंमती वरील समीकरणांत मांडल्यानें- PW:PQ=PQ:QR म्हणून संहितावस्थेत इष्ट बिंदूतून जाणारी वक्रतादर्शक वर्तुलाची ज्या POP वेग (क्षणिककंस) PW = QR आकर्षण संमुखी याचप्रमाणे ( आ. १४ पहा ) PZY या वक्रतादर्शक-वर्तुलाचा PY व्यास व त्याची QR संमुखी, यांचा संबंधदर्शक समीकरण तयार होते. जेव्हां वक्रतादर्शक वर्तुलाची ज्या, वर्तुलाच्या मध्य बिंदूंतून गेली असते, तेव्हां तिला व्यास हे नांव येते व तिची QR' ही संमुखी PR स्पर्शरेषेवर लंब असते म्हणून- क्षणिककंसवर्ग :: वक्रतादर्शकवर्तुलव्यास स्पर्शरेषेवर लंबीभूत संमुखी म्हणजे PY = P Q2 QR - ·प्र. ८. ले. ५४ (३९) [ तात्कालिक वर्तुल व शंकुच्छिन्न. प्रकरण ८ वें. तात्कालिक वर्तुल व शंकुच्छिन्न यांचा परस्पर संबंध. (५४) आकृति १४ पहा. वक्रतादर्शक वर्तुळ या शब्दाबद्दल तात्कालिक वर्तुळ ( Instantaneous Circle ) हा शब्द या प्रकरणांत आम्हीं योजिला आ- ह.मागील प्रकरणांत बैंदव पद्धतीने S या इष्ट बिंदूंतून जाणारी तात्कालिक वर्तुल ज्या आणि तिची संमुखी QR" म्हणजे आकर्षण, यांचा भू- मितीय संबंध ठर- विला आहे. परंतु आकर्षणाचा उगम s या फोकसांत असतो. फोकसांतून (आकृति १४). पार जाणाऱ्या ज्ये- च्या, Z टोकांत तो असत नाही. म्हणून शंकुच्छिन्नांतील SP हा मंदकर्ण आणि त्यांतूनच जाणारी PSZ ही तात्कालिक वर्तुलज्या यांचा परस्पर संबंध प्रस्थापित केला म्हणजे, त्याच्या योगें मंदकर्ण व आकर्षण यांचा संबंध ठरविता येईल. तात्कालिक वर्तुल, भूमितिकृत्याच्या मदतीने काढणे सुलभ नाही. परंतु त्याचा व अभीष्ट शंकुच्छिन्न, यांचा संबंध कळल्यानंतर त्याच्या त्रिज्येची जी लांबी निघेल तिच्या साहाय्याने तात्कालिक वर्तुल काढता येते. परंतु तात्कालिक वर्तुळ काढण्याचा प्रसंगच पडत नाही. पराबला आकृतीमध्ये तात्कालिक वर्तुळ-ज्या SP या मंदकर्णाच्या चौपट लांब असते. परंतु दीर्घवर्तुळामध्ये असा सरळ संबंध सिद्ध करितां येत नाही. तो ·प्र. ८. ले. ५५] (४०) [ तात्कालिक वर्तुल व शंकुच्छिन्न. युग्मव्यासाच्या मदतीने ठरवावा लागतो. तो PSZ= RC DIAC असा असतो, असें पुढे सिद्ध केले आहे. ( पहा लेख ५८, ५७ ). (५५) दीर्घवर्तुलाच्या परिघस्थ P बिंदूपासून निघून, दीर्घवर्तुल-मध्य-बिंदूतून पार जाणा-या PCX या तात्कालिकवर्तुल- ज्येची लांबी काढणे. ( आकृति १४ वी पहा )-ADP हे एक दीर्घवर्तुल आहे. SH हे त्याचे दोन फोकस, PT ही स्पर्शरेषा असून तिला GD व्यास समांतर आहे. GD,PO हे युग्म व्यास ( Conjugate diameters ) आहेत. PF रेषा GD वर लंब आहे. QE, QR, QR' या रेषा अनुक्रमें PF,PC,PS, यांनां समांतर आहेत. V बिंदु CP रेषेत असून QV ही PT ला समांतर आहे. ZXYP हे एक P येथील वक्रतादर्शक म्हणजे तात्कालिक वर्तुळ आहे. PFM Y हा त्याचा व्यास आहे PCOX, PSZ या अनुक्रमें दीर्घ- वर्तुळाचा C मध्य बिंदु आणि त्याचा S फोकस यांतून जाणाऱ्या त्याच्या ज्या आहेत. तात्कालिक म्हणजे ग्रह ज्या क्षणीं P येथें होता, त्या क्षणी मात्र हे वर्तुळ येथील वक्रता दाखविते. पुढल्या क्षणी अत्यंत संन्निध, अशा Q येथें तो येतांच, तेथील वक्रतादर्शक वर्तुळाची त्रिज्या, व्यास, आणि मध्यबिंदु ही सर्व बदलतात. हे वाचकांनी लक्षात ठेवावें. ( पहा लेख ४९). संहितदशेत म्हणजे , बिंदू P बिंदूला लागलेला असतांनां (ले. ४६) PQ2 Qv2 PCX = QR (ले. ५३) (PV. VO): Qv2 = CPP : CD (दीर्घवर्तुलधर्म) CD (प्रमाण गणितधर्म) - PV ... ... eve PT.VO CP2 Ove % 3D CD2 VO; Cp2 . PV 2 परंतु संहित दर्शत VO= PO-2CP; (लेख ५२ पहा) CD2 CD PVT 2 CP-2 CP PQ2 CD2 .. PCX = QR CP Cp2 .

·3D - PF प्र. ८.ले. ५६-५७] (४१) [ तात्कालिक वर्तुल व शंकुच्छिन्न. याप्रमाणे दीर्घवर्तुलाच्या P बिंदूतून निघून त्याच्या C मध्यातून पार जाणाऱ्या तात्कालिक वर्तुलज्येची लांबी PCX ही निघाली. (५६) (आकृति १४) आतां दीर्घवर्तुलाच्या P या बिंदूतून जाणाऱ्या, तात्कालिक वर्तुलाच्या PFY व्यासाची लांबी काढून दाखवितो. PQP POP संहितदशेत- PF Y = QR यांपैकी QR sin QRR POS CD2 QR CP ; असें वर सिद्ध केलें आहे PF आणि Sin QRR = Sin PVQ=Sin PCD= PC PQP CD2 PC CD2 म्हणून QR CP PF PF PQ CD2 ::. PFY = QR याप्रमाणे दीर्घवर्तुलाच्या P बिंदूतून निघून जाणा-या तात्कालिक वर्तुलाचा व्यास PF Y याची लांबी निघाली. (५७) आतां दीर्घवर्तुलाची P पासून 8 या फोकसाकडे जाणारी ज्या PSZ इची लांबी काढून दाखविणे. संहितदशेतः- POP PQ2 POA PSZ = Sin QR'R QR QR CosecQR'R QR PF Sin QR”R = Sin PEF = Poe CDA आणि QR PF असें पूर्वी सिद्ध केलें आहे. PQ2 CD PF CD QR" PF PE PE परंतु दीर्घवर्तुळधर्माप्रमाणे PE = AC CDA .:. PSZ = AC 3. याप्रमाणे दीर्घवर्तुलांतील P बिंदूतून निघून S या फोकसांतून पार CD2 जाणान्या ज्येची लांबी 2 निघाली. AC %D PP PE; 2 ·प्र. ८.ले. ५८-५९] (४२) [ तात्कालिक वर्तुल व शंकुच्छिन्न. (५८) (आकृति १५ पहा ), पराबलेच्या परिधीतील विवक्षित P बिंदूपासून निघून, S या फोकसांतून जाणारी, तात्कालिक वर्तुलाची ज्या PSW इची लांबी ठरविणे. ( PS ही रेषा खाली वाढविली तर W येथे ती खालच्या बाजूला मिळते ). येथे AQPQ हा एक पराबलेचा भाग आहे; A हा शिरोबिंदु; S हा फोकस; ASB अक्ष; SP मंदकर्ण; PT स्पर्श- रेषा; PQ कंस; QR रेषा SP ला समांतर आहे. QNQ रेषा PT ला समां- तर; PV रेषा AB ला समांतर; QR, SY या PT वर लंब आहेत. N हा SP व Qर ज्या यांचा छेदनबिंदु आहे; आकृति (आकृति १५) म्हणून PSWही तात्कालिक वर्तुलाची संपूर्ण ज्या दाखविली नाही तरी ती S च्या पुढे PS रेषेच्या तिप्पट लांब आहे असे समजावें. संहितदशेत- POP PSW = ............(ले० ५३) QR T S वाढू नये QN .. : कारण PQ= QN; QR = PN; PN Ove कारण संहितदशेत QN = Qv PV. आणि PN = PV पराबलाधर्म. 34 SP; कारण = 4 SP पराबलाधर्म. PT (५९) पराबलेच्या, P बिंदूतील तात्कालिक वर्तुलाचा व्यास काढणे. हा व्यास आकृतीत दाखविला नाही. त्याची लांबी PBX आहे, असे समजा. लेख ५३ पहा. Ove ·प्र. ९. ले. ६०] (४३) [गमनाचे आकर्षण,पतन,क्षेत्र व अंतर. संहितदशेत- PO PO 1 PBX = ; यांपैकी QR QR Sin SPY PQ2 SY = 4 SP 3TITŪT Sin SPY = QR SP .:. PBX- 4 SP.S.P SY Spe SY प्रकरण ९ वें. , P गमनाचे आकर्षण, पतन, क्षेत्र व अंतर. एतद्विशिष्ट सर्वसाधारण समीकरण. (General Equation of Motion ) (६०) ( आकृति १६ पहा )-एथें P ग्रह S या सूर्याभोंवतीं PQU या कक्षेत फिरत आहे. असे समजा PF ही तिला स्पर्शरेषा आहे; QB तिला समांतर आहे; QT, SY रेषा अनुक्रमें SP व PE यावर लंब आहेत. QR ही SP ला समांतर आहे. ग्रहावर S सूर्याचे आकर्षण नसते तर तो PER स्पर्शरेषेनें T कालावधीत : एथें आला असता. पण तो P येथून निघतांच त्याच्यावर S च्या आकर्षणाचे हिसके बसू लागल्यामुळे, तो ST कालांत, सूर्याकडे खाली उतरत PQ या वक्र- मार्गानें, Q येथे येईल. (ले. ३४, आकृ. ६ पहा ). T काल अल्प असेल तर, म्हणजे संहितदशेत BQ ही PB ला समांतर आणि समान होईल. आणि SP च्या लांबीपुढे PB तुच्छ अथवा उपेक्षणीय (आकृति १६) होईल. म्हणून अशा स्थितीत SP-PB= SP असें मानितां येईल. ( लेख ४७ ). म्हणून भूमध्याच्या ४००० मैलांच्या दूरत्वा- मुळे, भूपृष्ठाजवळचे पृथ्वीचे हिसके अविकृत मानण्यांत जशी व्यावहारिक चक होत नाहीं तदत SP हे अंतर ९०,०००,००० मैल असल्यामुळे P ·प्र. ९. ले. ६१] (४४) [गमनाचे आकर्षण,पतन,क्षेत्र व अंतर, च्या आसपास सूर्याचे हिसके अविकृत असतात असे मानणे गैर होणार नाही. म्हणून लेख २७ यांतील, खाली पडणाऱ्या दगडावरील आकर्ष- णाचा नियम, प्रकृत प्रसंगी ग्रहास लागू करण्यास हरकत नाही. सदरहू नियम ( Formula), g= 2 S/t असा आहे. त्यांत F, QR आणि T असा फेरफार केला म्हणजे सूर्याच्या आकर्षणाचे पुढील सूत्र सिद्ध होते. F = 2 QR (a) T समीकरण, ग्रहावरील सूर्याचे आकर्षण F, पतन Q, आणि काल T, एतद् घटित आहे. यांत आकर्षणाच्या अंतराचा संबंध आलेला नाही. तो तर अवश्य पाहिजे आहे. म्हणून काल T, क्षेत्र SP.QT व अंतर SP एतद्घटित समीकरण उत्पन्न करून, या दोहोंमधून 'T कालाचा निरास ( Elimination ) केला म्हणजे, इष्ट समीकरण सिद्ध होईल. लेख ४३ प्रमाणे = एका सेकंदांत ग्रहाने सूर्याभोवती आक्रमलेल्या क्षेत्राची दुप्पट आहे, आणि संहितदशेचा काल = १ सेकंद आहे असे समजा. इतर दशेत- 2 PSQ ले. ४०. परंतु संहितदशेत, 2 PSQ सेक्टर =? PSQ त्रिकोण SPOT=h ... (b) SP-QT .:. T= SPOTA हिचा वर्ग T = h ही 2 ची किंमत समीकरण (a) यांत मांडून, 22 QR SP2 are ; हे सर्वसाधारण समीकरण आहे. म्हणजे हे गमनाचे आकर्षण, पतन, क्षेत्र व अंतर यांनी घटित आहे. (c) QR याचे F.SPA (d) सेक्टर क्षेत्र, T - h h 3; .. F - - 22. QTB ; असेंही रूप होते. (६१) वरील समीकरण (d) यावरून असे दिसते की, त्याची दुसरी बाजू स्थिर असेल तर पहिल्या बाजूंतील F आणि SP यांचा गुणाकारही स्थिर असला पाहिजे आणि जेव्हां दोन परिमाणांचा गुणाकार स्थिर असतो, तेव्हां त्यांचे व्यस्त प्रमाण असतें: दसया बाजना h2. टा ·प्र. १०. ले. ६२-६३] (४५) [ शंकुच्छिन्नकक्षा व स्थिरराशि. अवयव स्थिर आहे. (पहा प्रकरण ६ वें ले. ४३ ). फक्त QR/QT2 अवयव, ज्या शंकुच्छिन्नाकृति कक्षांत स्थिर असेल, त्या त्या कक्षांत आकर्षण अंतराच्या व्यस्त प्रमाणांत बदलते, असे म्हणण्यास हरकत नाही. म्हणून पुढील प्रकरणांत दीर्घ वर्तुल, हैपरवला आणि पराबला या आकृतीत पूर्वोक्त ERQT", ह्या अवयवाचें स्थिरत्त्व सिद्ध केले आहे. तसेंच QR/QT हा L या ऋज्वीचा व्युत्क्रम आहे, असें पुढें सिद्ध केले आहे. शंकुच्छिन्नांत फोकसांतून बृहदक्षावर लंब रेषा काढून, ती दोहों बाजूंस कक्षाकृतीपर्यंत वाढविली तर, तिला ऋज्वी ( Latus Rectum ) म्हणतात. वर्तुळांत फोकस, मध्यबिंदूंत असतो, म्हणून L = SP ही तिची किंमत असून, ती स्थिर असते. आकृति १७ यांत LSM ही रेषा ऋज्वी आहे. (६२) संहितदशेत | बिंदु PB रेषेत असतो. म्हणून SPY, QPT हे काटकोन-त्रिकोण सरूप असतात. म्हणून सरूप त्रिकोणाच्या धर्माप्रमाणे, QT : PQ: : SY: SP; SP.QT ::. PO= FeaT PQ · SY = SP. QT SY वर्ग करून, ::. SP2xQTDSY2x PO... (f) ही (f) किंमत समीकरण (c) यांत मांडली तर QR असें होतें (e) SY POP टीप:-हे समीकरण पुढे लेख ७२ यांत वेगप्रकरणांत उपयोगी पडते. 3. 2ha . प्रकरण १० वें. शंकुच्छिन्नकक्षेत असे सिद्ध करावयाचें की OF = स्थिरराशि; (६३) दीर्घवर्तुलकक्षेत QR/QT2 = ACIRBC असें सिद्ध करण्याचें ( आकृति १७ वी पहा).

·प्र. १०. ले. ६३] [ शंकुच्छिन्नकक्षा व स्थिरराशि. B R P un H येथे AM HL ही एक दीर्घ वर्तुलाकार कक्षा आहे. तिच्या S या फोकसांत सूर्य आहे. P येथे ग्रह आहे. Q बिंदु P च्या अत्यंत जवळ आहे. PVCO, GECD हे युग्म- व्यास आहेत. QR ही SP ला समांतर आहे आणि QX ही रेषा PR या स्पर्शरेषेला आणि GD या युग्मव्यासाला समांतर आहे. LSC, BCH, QTP, PFD हे काटकोन (आकृति १७) आहेत. LSM रेषेला ऋज्वी असे म्हणतात. QX, GD समांतर रेषा आहेत आणि EEP रेषा त्यांना छेदिते. म्हणून QTX, PFE या त्रिकोणांतील QXT कोन, PE F कोनासमान आहे; आणि E F P, XTQ हे कोन काटकोन आहेत म्हणून QTX, P FE हे त्रिकोण सरूप आहेत. म्हणून सरूप त्रिकोणाच्या धर्माप्रमाणे- QT2 PF2 PF2 ; कारण PE = AC%3B AC; (दी. व. ध.) PER M - - QX2 AC? ; FITOT PE .:. QT = QX.PF2 AC PX PV पुनः PXV, PEC हे सरूप त्रिकोण आहेत; PE AC आणि QR AC CP CP PV - CPI कारण PX QR; AC .: QR QR = PV. CP ; QR QT - PV.AC AC2 PV. AC3 CP QX2. PF CPQX.PF ; परंतु हा P शी संहित असतां QX = QV. PV AC3 QV CP.PF (a) ..

·% 3D Ov' QV" - प्र. १०.ले. ६३] (४७) [ शंकुच्छिन्नकक्षा व स्थिरराशि. परंतु दीर्घ वर्तुल धर्माप्रमाणे- ( PV . VO): Qv': : CPA : CD'; PV. VO CP Py CP अथवा CD CD.VO परंतु संहितदशेत VO = 2 CP; लेख ५२. PV CP CP CD. 2 CP 2 CD हा मध्यबिंदूंतून जाणारी जी तात्कालिक वर्तुलज्या. PCO तिचा, व्युत्क्रम आहे. (पहा लेख ५५). हा समी. (a) यांत मांड. QR CP AC3 AC3 2CDCP.PF 2CD . PF2 परंतु CD • PF = AC - BC; दी. व. धर्माप्रमाणे. QR AC3 AC स्थिर. QTA 2AC2:BCN OBC LI QV? QT 1 %D ज्या अर्थी दीर्घवर्तुलांत AC, BC व्यास स्थिर असतात. त्यापक्षी L ही ऋज्वी ही स्थिर असली पाहिजे. या ऋज्वीला Latus Rectum असे म्हणतात. H B (आकृति १७ अ) ·प्र. ६०. ले. ६.] (४८) [ शंकुच्छिन्नकक्षा व स्थिरराशि. 1 .. - दीर्घ वर्तुलांत 2 BC / AC ही LSM या ऋज्वीची किंमत असते. आणि ज्या अर्थी AC, BC ही व्यासार्धं स्थिर असतात, त्या अर्थी ही ऋज्वीही स्थिर असते. ही ऋज्वी ( Latus Rectum ) L या अक्षराने दर्शवितात. QR = स्थिरांक OT टीपः-हैपरबलारुति कक्षेत QR | QT यांची किंमत आणण्याची रीति हुबेहूब वरीलप्रमाणेच आहे, आणि फलनिष्पत्तीही वरीलप्रमाणेच होते. म्हणजे QRQT2 1; आकृति ( १७ अ ) पहा. पराबला (६४) पराबलाकृति कक्षेत QR | QT 4AS = स्थिरांक असे सिद्ध करण्याचें. आकृति १८ वी पहा. वरील आकृतींत PQA हा पराबलेचा एक भाग आहे. S हा तिचा फोकस. P हे विवक्षित काली ग्रहांचे स्थान, Q हा P अत्यंत सन्निध बिंदु; PRY ही स्पर्शरेषा; QR ही SP शी समां- चा P R तर; QXVQ ही ज्या, PR शी Y A S समांतर; QT ही SP वर लंब; आणि SY ही PRY वर लंब आहे; आणि, PV ही AS ला समांतर; A हा पराबलेचा शिरोबिंदु; (आकृति १८) आणि SAY हा काटकोन आहे. QR = PX; PQ हा समांतरभुज चौकोन आहे म्हणून. PX = PV ; ( पराबला धर्म ); म्हणून QR = PV. Qv = ASP. PV; पराबला धर्म; QV म्हणून... PV = परंतु संहितदशेत QV = Qx; QX :: PV = qig PV = QR; 4SP 4SP ·प्र. ११. ले. ६५] (४९) [शंकुच्छिन्नकक्षा व आकर्षण प्रमाण. .:. QR QX ASP . याच्या प्रत्येक बाजूला QT ने भागून Qx 8127 1 ... 4.. 4SP; QR 1 QX • (6) OTA 4SP QT संहितावस्थेत देखील PYS, QTX हे सरूप त्रिकोण असतात. SP QX" SP? .:. QT SY TA ही किंमत वरील (b) समीकरणांत मांडून, QR SPA SP OT 4S.P SY (6) परंतु पराबलेच्या धर्माप्रमाणे SA Y, SYF हे सरूप त्रिकोण आहेत. ...AS:SY :: SY: SP ::. SY' = AS • SP ही किंमत वरील ८ समीकरणांत मांडून, QR SP 4AS SP 4AS" पराबलेंत 4AS ही ऋज्वीची किंमत असते. आणि AS हैं शिरो- बिंदु ध फोकस, यांच्यामधील अंतर स्थिर असल्यामुळे, ही ऋज्वीची किंमत 4.AS ही स्थिर असते. म्हणून पराबलेंत QR स्थिरांक. 1 % 3D QT - 1 L % 3D OTI प्रकरण ११ वें. शंकुच्छिन्नाकृतिकक्षेत आकर्षण अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणांत असते. (६५) मागील प्रकरणांत दीर्घ वर्तुळ, हैपरबला, पराबला या शंकु- च्छिन्नाकृति कक्षांत QR स्थिरांक, असें सिद्ध केले आहे. ही किंमत ६० व्या लेखांतील (d) या समीकरणांत मांडली तर- I L - QTI ·प्र. ११. ले. ६६-६७] (५०)[ शंकुच्छिन्न कक्षा व आकर्षण प्रमाण. 22 असे सिद्ध होते; F.SP - L यांत : L ही दुसरी बाजू (पक्ष) स्थिर आहे, (पहा ले.४३,६३, ६४ ). म्हणून F है आकर्षण, SP या अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमा- णांत असते, असें सिद्ध झाले (लेख ६१). (६६) ज्या भूनिष्ट, गुरुत्वाकर्षणामुळे कोणताहि पदार्थ किंवा पाषाण, अंतरिक्षातून भूपृष्ठावर पडतो, त्याच गुरुत्वाकर्षणामुळे चंद्र पृथ्वी- सभोंवतीं सर्वकाल फिरत असेल, तर पाषाण व चंद्र यांच्या पतनांवरून, हा गुरुत्वाकर्षणनियम प्रकारांतराने सिद्ध झाला पाहिजे. आणि तसे होईल तर दुधांत साखर पडल्यासारखे होईल असे वाटून, न्यूटनने त्या कालच्या भूपरिधीच्या मोजणीवरून ठरविलेल्या, पृथ्वी व चंद्र यांच्यामधील अंतराच्या • सहाय्याने, गणित करून पाहिले. परंतु त्यांच्या पतनांत पूर्वोक्त आकर्ष- णाच्या नियमाची सूक्ष्म प्रतीति येईना, त्यामुळे तो मनांत फारच खजिल झाला. त्याच्यावेळी पृथ्वीच्या परिधीच्या एका अंशाची लांबी ६० मैल मानीत असत. हेच त्या पतनांत मेळ न पडण्याचे मुख्य कारण होते. पुढे १५ वर्षांनी फ्रान्ल देशांत पिकार्ड या ज्योतिष्याने फार जपून मोजणी केल्यामुळे भूपरिधीच्या एका अंशाची लांबी ७० मैल आहे असे फ्रान्स देशांत ठरले. या नवीन शोधाचा उपयोग करून, जेव्हां न्यूटन पंत- नाचे गणित करूं लागला व त्यावरून पूर्ण मेळ पडण्याची चिन्हें दिसू लागली, व आपल्या श्रमाचे साफल्य अगदी जवळ येते आहे असे त्याने पाहिले, तेव्हां असें सांगतात की, त्याचा कंठ आनंदाने व गहिवराने दाटून आला आणि त्याच्याने काही वेळ बोलवेनासे झाले. (६७) पूर्वोक्तवत् न्यूटननें अतुल बुद्धिसामर्थ्याने ठरविलेल्या आकर्षणाच्या नियमाचा प्रत्यंतर पुरावा-प्रथम चंद्रकक्षेच्या व्यासाची व परिघाची फुटात्मक लांबी काढली पाहिजे. पृथ्वीचा परिघ ३६० अंश मानिला तर, तिची त्रिज्या ५७.३ अंश भरते. पिकार्डच्या प्रमाणे दर अंशाची लांबी ७० मैल मानिली तर, ५७.३४ ७० = ४००० मैल ही भूत्रिज्येची लांबी झाली. भूत्रिज्येच्या ६० पट चंद्रकक्षेची त्रिज्या आहे. म्हणून २४०००० मैल ही चंद्रकक्षेच्या त्रिज्येची लांबी झाली. हिला ५२८० नी गुणून गुणाकार १२६७२००००० हे तिचे फुट झाले. सूक्ष्म मोजणी- ·LindasTV प्र.११. ले. ६८] (५१)[ शंकुच्छिन्नकक्षा व आकर्षण प्रमाण १ PB यावरून चंद्रकक्षेचा व्यास २५३४४००००० फुट आहे, व परिधि ७९६५२५७००० फुट आहे असे सिद्ध होते. चंद्राचा प्रदक्षिणाकाल २७.३२ दिवस आहे; याचे २३६०४४८ सेकंद होतात. यांनी चंद्रकक्षेच्या परिधीच्या फुट संख्येला भागिलें म्हणजे भागाकार ३३३२ फुट ही चंद्राची एका सेकंदांतील गति होते. (आकृति६ वी पहा.) येथें । Sही पृथ्वी, Pहा चंद्र, PQ = ३३३२ फुट ही चंद्राची एका सेकंदांतील गति, AP = २५३४४०१००० फुट, हा कक्षा व्यास; चंद्राचे एका सेकंदांतील पतन; अशी मानें आहेत. ही मानेले. ३४ यांतील पतनाच्या समीकरणांत मांडून, पतनाची किंमत काढितां (आकृ. ६) येते. जसे कंसवर्ग।व्यास = पतन; ३३३२२ ४४४ २५३४४००००० म्हणजे पृथ्वीच्या आकर्षणामुळे चंद्र पहिल्या सेकंदांत PB= ०.००४४४४ फुट खाली उतरतो. पतन हे पहिल्या सेकंदांत आकर्षणाच्या निमें असतें. ( लेख ३४ ) म्हणून ते आकर्षणाच्या नियमाप्रमाणे अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणांत बदलले पाहिजे, म्हणून चंद्राच्या पतनापेक्षां भूपृष्ठावरील पदार्थाचे पतन ६० x ६० = ३६०० पट जास्त असले पाहिजे, अर्थात् पहिल्या सेकंदांत .००४४४४ फुट x ३६०० = १६ फुट पतन. हे चंद्राच्या गतीवरून ठरविलेले पतन ले. २३ यांतील प्रयोगसिद्ध पतनाशी तंतोतंत जमते. म्हणून न्यूटननें शोधून काढलेला आकर्षणाचा नियम सत्य आहे, ही गोष्ट प्रत्यक्षप्रमाणाने सिद्ध झाली. (६८) केप्लरच्या ग्रहगतिविषयक तीन नियमांची उपपत्तिः- हे तीन नियम १ ल्या प्रकरणाच्या आरंभी दिले आहेत ते पहावे. ग्रहां- वरील सूर्याचे आकर्षण, सूर्यापासून त्यांच्या अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणांत असते, हा जो नियम न्यूटनने सिद्ध केला तो दीर्घक्तुल, ·प्र. ११. ले. ६९-७०] (५२)[शंकुच्छिन्नकक्षा व आकर्षण प्रमाण. हैपरबला, आणि पराबला या तीनही प्रकारच्या शंकुच्छिन्नाकृति कक्षांना लागू आहे. शेवटल्या दोन आकृतींचे फांटे कधीही एकमेकांस लागत नाहीत म्हणून, त्यांमध्ये फिरणाऱ्या पदार्थाची पूर्ण प्रदक्षिणा होणे शक्य नाही. धूमकेतु हे बहुशः सूर्याला वळसा घालून गेल्यावर, पुनः परत येत नाहीत, म्हणून ते पराबला किंवा हैपरबला अशा प्रकारच्या कक्षांत फिरत असले पाहिजेत. परंतु ग्रहांची गोष्ट अशी नाही. सूर्याभोवती त्यांच्या हजारों पूर्ण प्रदक्षिणा झालेल्या पहाण्यांत आल्या आहेत. म्हणून त्यांच्या कक्षा दीर्घवर्तुलाकार असल्या पाहिजेत. वर्तुळ हा दीर्घवर्तुळाचाच एक विशेष प्रकार आहे. वर्तुळ म्हणजे दोनही फोकस एके जागी असणारे दीर्घ वर्तुल असे म्हणतां येते. ज्याअर्थी आकर्षणाच्या नियमांतील अंतराचा प्रारंभ फोकसापासून होतो, त्याअर्थी ग्रहांस ओढून धरणारा सूर्य त्यांच्या कक्षांच्या एका फोकसांत असला पाहिजे हे उघड आहे. ही केप्ल. रच्या पहिल्या नियमाची उपपत्ति झाली. केप्लरच्या दुस-या नियमाची उपपत्ति ६ व्या प्रकरणांत दिलीच आहे; तिचा आकर्षणाच्या नियमाशी काही संबंध नाही. फक्त आकर्षणाचा शेख नेहमी सूर्याकडे असला म्हणजे झालें. ( लेख ४२ पहा.) आतां तिस-या नियमाची उपपत्ति देणे शिल्लक राहिले ते पुढील लेखांत पहावें. (६९) केप्लरचा ३ रा नियम, फक्त दीर्घवर्तुल कक्षांना मात्र लागू आहे म्हणून तेवढ्यापुरताच विचार केला म्हणजे झाले. दीर्घ वर्तुळांत- F . SP = u; लेख ३७ पहा. L= 2 BC / AC; ले. ६३ आणि ले. ६५, यांत F. SP = 2 hi|L असें सिद्ध केले आहे म्हणून- :.8h =uL; L= (१) 2 2h L 2BC2 AC 3 h BOU AC %3- का (२) (७०) इच्छिल्या ग्रहाच्या प्रदक्षिणा कालाचे दिवस P; आणि एका दिवसांत त्याच्या मंदकर्णाने लोटलेल्या क्षेत्रफलाची दुप्पट = h; आणि बृहदक्षार्ध = AC; लघ्वक्षार्ध = BC; असें मानिले तर %- ·प्र. ११, ले. ७.] (५३)[शंकुच्छिन्नकक्षा व आकर्षण प्रमाण. दीर्घ वर्तुळ कक्षेचे द्विगुण क्षेत्रफल P - .. h 27.AC. BC h BO2 pa 4TAC. BC2 h - परंतु समी २ u 4TAC2. BOD pa AC; • BOA Pe . - -- . pe AC3 pe ne - - % 3D . AC3 (a) Pआणि AC ही दुसऱ्या एका ग्रहाचे अनुक्रमें प्रदक्षिणा काल, आणि मध्यमांतर असतील तर वरील रीतीने 4re P' = AC, असे सिद्ध होईल. (8) (a) समीकरणाला (6) समीकरणानें भागून, PP अथवा (c) PP AC3 A.C3 AC3 म्हणजे आकर्षण, अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणांत असेल तर कोण- त्याही दोन ग्रहांच्या प्रदक्षिणाकालाच्या वर्गात जें गुणोत्तर असते, तेच गुणोत्तर सूर्यापासून जी त्यांची मध्यमांतरें, त्यांच्या घनामध्ये असते असें वरील उपपत्तीवरून सिद्ध होते. त्याचप्रमाणे कोणत्याही ग्रहाच्या प्रदक्षिणा- कालाच्या वर्गाला, त्याच्याच मध्यमांतराच्या घनानें भागून, येणारा भागा- सर्व ग्रहांच्या संबंधाने समान असतो, हेही सिद्ध होते. लेख ३६ पहा. वर जे आम्हीं सूर्याभोवती फिरणाऱ्या दोन ग्रहांचे प्रदक्षिणाकाल, व व त्यांची मध्यमांतरे यांचा संबंधदर्शक समीकरण सिद्ध केले आहे, तें सूर्य स्थिर आहे अशा भावनेच्या आधारावर केले आहे. परंतु द्रव्याच्या प्रेरणाशरणत्वामुळे (लेख १५,३८) जसे ग्रह सूर्याकडे ओढले जातात तसा सूर्यही ग्रहांकडे ओढला जातो. म्हणून सूर्याला स्थिर करण्यासाठी इष्ट ग्रहाच्या द्रव्याइतकें द्रव्य ग्रहांतून वजा करून, ते सूर्याच्या ॥ द्रव्यांत मिळविले पाहिजे. लेख ३८ वरून सिद्ध होते की, सूर्य व पृथ्वी यांची द्रव्ये ७१२८००००:२२४ या प्रमाणांत किंवा ३२००००:१ या कार, ·" दर्यामें खसखस" प्र. १२. ले. ७१] (५४) [ शंकुच्छिन्नकातील वेग. प्रमाणात आहेत. सूर्य व पृथ्वी यांच्या विरूद्ध. आकर्षणामुळे, त्याच्या आकर्षणाच्या बेरजेइतके त्यांच्यामधील अंतर कमी होते. म्हणून पृथ्वीचे द्रव्य शून्य मानून, सूर्याचे द्रव्य ३२०००१ इतकें मानिले तरी परिणाम सारखाच. या दृष्टीने गुरु शन्यादि इतर ग्रहांची द्रव्ये सूर्यद्रव्यांत मिळविली पाहिजेत. पृथ्वी बुध यांची द्रव्ये सूर्यद्रव्यापुढे प्रमाणे क्षुल्लक आहेत, म्हणून त्यांची उपेक्षा केली तरी चालेल. परंतु गुरूचे द्रव्य, सूर्याच्या द्रव्याच्या सहस्रावा हिंसा असल्यामुळे, त्याची उपेक्षा करणे योग्य होत नाही, म्हणून लेख ७० यांतील (a ), (b) समीकरणें अंशी असली पाहिजेत. जर M 4 M, ही अनुक्रमें पृथ्वी व गुरु यांची द्रव्ये मानिली तर AT P2 AC . हे पृथ्वीचे समीकरण ... (a) KHEM ire AC33 हे गुरूचे समीकरण (४) u+M, d) ला (8) ने भागून P u+M, AC3 P2 u+MAC अथवा A03 pi ACT Pu+M1 हे केप्लरच्या ३ या नियमाचे निर्दोष समीकरण सिद्ध झाले. मराठी ग्रहगणित पृष्ठ १०४ यांत दिलेले समीकरण पहा. त्यांत वरील फेरफार केला तरच गुरुं याचे खरे आंकडे येतात असे दाखविले आहे. to Pile %3D u+M प्रकरण १२ वें. शंकुच्छिन्नकक्षेतील वेग. (७१) आकर्षण अंतराच्या वर्गाच्या उलट प्रमाणात असते हा नियम सर्व शंकुच्छिन्नकक्षात सारखाच दृष्टीस पडतो. परंतु वेंगाची गोष्ट अशी नाही. वेगं कक्षेच्या आकृतीवर अवलंबून असतो. किंबहना वेगावरच ·प्र. १२, ले. ७२-७३ (५५) [ शंकुच्छिन्नकातील वेग. कक्षाकृति अवलंबन असते, असे म्हणणे जास्त वास्तविक आहे. याचा अनुभव पुढील विवेचनावरून येईल. वेग दोन प्रकारचे आहेत. पहिला रेखीय वेग (Linear Velocitly); दुसरा कोणीय वेग ( Angular. Velocity ). (७२) लेख ६२ यांतील समीकरण (e) आणि ले. ५३ यांतील इष्टबिंदु S या फोकसांतून जाणाऱ्या ज्येचे समीकरण ही घे. ले. ६२ समी (e), F = QR या दोहोंमधून SY PO QRP याच्या ले. ५३. फोकसज्या PW = निरसनार्थ 27 PO OR 20 SY ले. ७३, ठीपेप्रमाणे F = QR PQ2 PQ QR BF 1 PW' " v= (१) SY2.PW (७३) आतां वेगाची समीकरणे सिद्ध करण्याचें. एबिंदू P शी संहित असतेवेळी म्हणजे जेव्हां, PO &दव रेषा असते, तेव्हां तिला वेग हे नांव येते. वेगाला V ही संज्ञा दिली तर, PQ=V असे होते. आणि लेख ६२ यांतील PQ= SP. PTISy या (1) समीकरणांत हा फेरफार केला तर, SPOT संहितदशेत; लेख ६० समी. (b ) पहा. Sy Sy (२) y = Sy पुनः पुढील टीपेप्रमाणे समी. (१) व (२) यामधून याचे निरसन करण्यासाठी- h V2S Sy. PW (३) :. V = } F . PW; हे सिद्ध होते. येथे PW ही फोकसांतून जाणारी ज्या आहे. टीप- कोणत्याही राशीला, कोणत्यातरी समीकरणाच्या एका पक्षाने गुणन, त्याच्याच दुसऱ्या पक्षाने भागिलें तर, किंवा एका पक्षाने प्रथम भागून, नंतर दुसन्या पक्षाने गुणिलें तर, समीकरण न बिघडतां, अंशच्छेदांतील समान पदें, संक्षेप देऊन नाहीशी करिता येतात. या रुतीला निरास किंवा निरसन ( Elimination ) म्हणतात. अनुभवाने या कामी पटुता संपादिता येते. TA 12 %3D PR; यापासून -- ·प्र. १२. ले. ७४ sri (५६) [ शंकुच्छिन्नकक्षेतील वेग. लेख २७ समी. ( ४ ) या मध्ये * = g S असें सिद्ध केले आहे. त्यांत 9 हे पृथ्वीचे आकर्षण आहे. त्याच्या जागी F हे सूर्याचे आकर्षण घातले तर आणि ७ बद्दल " संज्ञा दिली तर ग्रहाचे वेग आकर्षण, आणि पतन एतदघटित समीकरण सिद्ध होतें. (४) V" = 21.8; ले. २७, समीकरणे (३) आणि (४) यांत V' च्या दोन निराळ्या स्वरूपाच्या किंमती सिद्ध केल्या आहेत. त्याच्या समीकरणा- पासून ग्रहांचे पतन (सूर्या कडे अभिगमन ) आणि सूर्यमध्यांतून जाणारी तात्कालिक वर्तुलाची ज्या, यांचा संबंध निघतो. जसे- म- 1 -t F. PW =3F.S; 1 .PW. 4 (५) :. S = म्हणजे पतन, फोक सांतून जाणान्या तात्कालिक वर्तुल कक्षेच्या ज्यच्या चतुर्थीश असते हे सिद्ध. (७४) वर सिद्ध केलली समीकरणे (२), (३), (४) आणि (५) ही, तात्कालिक वर्तुलांत ग्रह फिरतो, अशा भावनेची आहेत. परंतु वस्तुतः ग्रह शंकुच्छिन्नांत फिरतात. यास्तव शंकुच्छिन्नाच्या दीर्घवर्तुलादि आकृतिपरत्वें वेगाची समीकरणे, त्यांच्या साहाय्याने सिद्ध केली पाहिजेत. पुढील समीकरणांत uSP म्हणजे सूर्याचे ग्रहावरील तात्कालिक आकर्षण, (लेख ३७ पहा.) आणि PW ही ग्रहकक्षेच्या तात्कालिक वर्तुलाची, सूर्य असणान्या फोकसांतून पार जाणारी ज्या आहे हे ध्यानांत ठेवावें (आकृति १४ ). ५ ची किंमत •०००२९५८४ असते. (लेख ३७ पहा.) V = = F. PW ; ले. ७३; समीकरण (३ F = USP; लेख (३७) समीकरण (३) यांत F च्या किंमतीचा विन्यास (Substitution) केला तर- (६) me- PW - ७. SPI ·प्र १२. ले. ७४] (५७) [शंकुच्छिन्नकक्षेतील वेग. या समीकरणांतील PIV { 3 याची किंमत शंकुच्छिन्नाकृतींतील SP, AC, या अनुक्रमें स्पष्ट व मध्यम मंदकर्णाच्या रूपाने व्यक्त केली पाहिजे. दीर्घवर्तुलांत- लेख ५७; यांतील PSZ म्हणजे PW समजावें. PW CD AC 2 3 दीर्घवर्तुलधर्माप्रमाणे, S.PHP AC SP(RAC-SP) AC . - SP ( - याचप्रमाणे हैपरबलेंत SP AC ); PW - SP ( 2+ SP AC P); .. 2 - 2 लेख ३४; - 2 पराबलेंत PW = SP (2); लेख ५८; - वर्तुलांत PW SP; याप्रमाणे आलेल्या, PWD या फोकसांतून जाणाऱ्या, तात्कालिक वर्तुल ज्यार्थीच्या किंमती, समीकरण ( ६ ) यांत मांडून दोनही पक्षाचें वर्गमूळ काढिले तर त्या त्या शंकुच्छिन्नाकृति कक्षांतील वेगांची समीकरणे उत्पन्न होतात, जसे- दीर्घवर्तुळांतील वेग V = =VA( हैपरबलेंतील वेग ( - SP AC v=V 2 + SP AC SP पराबलेंतील वेग (e+ SA) SP वर्तुळांतील वेग SP ·प्र. १२. ले. ७५-७६ ] (५८) [ शंकुच्छिन्नकातील वेग. २- १.५.२९) पट असतो. उदाहरण-कोणे एके क्षणी मंगळाचा स्पष्टमंदकर्ण SP= १.६३७४; मध्यममंदकर्ण AC == १.५२२९ आहे. तर त्या वेळी त्याची एका दिवसाची गति किती भरेल ? u = .०००२९६. ( लेख ९१ पहा.) 1.०००२९६ १.६३७४ १.६३७४ = •०१२९२६ ; याला ९ कोटि मैलांनी गुणून ११६३३४० मैल, ही दिनगति झाली. (७५) वर्तुळांतील वेगाला मूलमान समजून, तदितर शंकुच्छिन्ना- कृतींतील वेगांना, त्यांना भागून येणारी गुणोत्तरे पुढे दिली आहेत. वर्तुळां- तील वेगापेक्षा दीर्घवर्तुळांतील वेग, (2- SPAC) पट असतो. हैपरबलेंतील वेग, V (2+ SPAC) पट असतो. पराबलेंतील वेग, V(2) पट =1-414 वरील गुणोत्तरावरून असे सिद्ध होते की पराबलेंतील वेग, वर्तुला- तील वेगाच्या १.४१४ पट असतो. दीर्घवर्तुलांतील वेग याच्याही पेक्षा कमी असतो. आणि हैपरबलेंतील वेग पराबलेंतील वेगापेक्षा जास्त असतो. वर्तुलांतील वेग म्हणजे, इतक्या अंतरावर तोच यह, वर्तुलकक्षेत फिरत असता तर, त्याच्या अंगी असणारा वेग. (७६) ग्रहांच्या कक्षांचा आकार-वरील विवेचनावरून असें सिद्ध होते की, कक्षेचा आकार ग्रहांच्या रेखीय वेगावर अवलंबून असतो. ग्रहांच्या कक्षेच्या आकारांत फेरफार करणे, त्याच्या कक्षेच्या केंद्रच्युतीत फरक पाडणे, सूर्याला शक्य नाही. हे काम ग्रह परस्परांस ओढून करीत असतात. दीर्घवर्तुळांत जेथें* SP= AC असते, म्हणजे जेथें स्पष्ट मंदकर्ण मध्यम मंदकर्णा येव्हढा असतो. तेथे वेग V(२-१) = १ म्हणजे वर्तुळांतील वेगासमान होतो. नीचापाशीं तो वर्तुलांतील वेगापेक्षा अधिक आणि उच्चा- पाशी कमी असतो. धूमकेतूंचा वेग प्रायः वर्तुळांतील वेगाच्या १.४१४ पट असतो. म्हणून त्यांच्या कक्षा पराबलाकार असतात. याही पेक्षा जास्त वेगाचे या ठिकाणी मंदफल परम असते व गति मध्यम असते. वर्तुळांतलि वेग म्हणजे मध्यगति. SP ·प्र. १२. ले. ७६ ] (५९) [ शंकुच्छिन्नकक्षेतील वेग. धूमकेतु हैपरबलांत फिरतात. परंतु असे धूमकेतु फारच कमी. धूमकेतु हे सूर्य संस्थेच्या बाहेर अत्यंत दूर अशा, स्वर्लोकांत वास करणारे, विरळ पदार्थ आहेत. सूर्य आपल्या ग्रहांच्या लटांबरासह विश्वांतून भ्रमण करीत असतां त्याच्या आकर्षणाच्या टप्यांत, एकादा धूमकेतु आला तर, त्यावेळी दोघांची परस्पर सापेक्ष गति, प्रायः शून्य असल्यामुळे, तो धूमकेतु वरून खाली पडणान्या दगडाप्रमाणे, जवळ जवळ सरळ रेषारूप मार्गाने सूर्या- कडे येऊ लागतो. पुढे सापेक्ष गतीच्या -हास वृद्धीमुळे, त्याच्या मार्गाची वक्रता वाढू लागते, त्यामुळे सूर्याला वळसा घालून तो पूर्ववत् सरळ रेषेनें स्वर्लोकाप्रत गमन करतो. परंतु नशीबानें कोणासही सोडिले नाही. हे स्वच्छंदी नारदमुनि सूर्याच्या भेटीला जात असतां किंवा भेट घेऊन परत जात असतां दैव. वशात् जर कां देवगुरु, किंवा शनि महाराज, त्यांच्या वाटेवर आले असले तर, त्यांच्या आग्रहाच्या पाहुणचारांत त्यांनां कांहीं काल घालविणे भाग पडते. मात्र या भिडेमुळे त्यांना आपल्या स्वधर्माला निरंतर मुकावे लागते. सारांश गुरु शनिसारख्या बड्या ग्रहांच्या आकर्षणामुळे धूमकेतूंचा वेग कमी होऊन त्यांच्या कक्षेचा आकार जो पूर्वी पराबलेसारखा असतो तो बदलून दीर्घ- वर्तुलाकार होतो. यामुळे त्यांचे स्वातंत्र्य नष्ट होऊन त्याला निरंतर सूर्याची परिचर्या करावी लागते. दुसरा दृष्टांत-जंगली हत्ती पकडण्याच्या कामी जशी शिकलेल्या पाळीव हत्तींची मदत घ्यावी लागते, तद्वत् धूमकेतु पकडण्याच्या कामी, सूर्याला गुरु शनि यासारख्या पाळीव हत्तींची मदत घ्यावी लागते. एरवीं त्याला एकट्याला, हे काम मुळीच साधत नाही. या धूमकेतुरूपी जंगली हत्तीनां, पूर्वी कधीही ताबेदारीचा अनुभव नसल्यामुळे, ते झुरणीस लागतात आणि वर्षानुवर्ष रोड होत होत आपला देह ठेऊन ते सूर्य आणि ग्रह यांची धन करितात. सांप्रत सूर्याभोंवतीं दीर्घवर्तुलांत फिरणारे, सुमारे २० धूमकेतु हयात आहेत. ते बहुतेक शनि गुरुनी धरून दिलेले असावे. कारण यांपैकी बहुतेक धूमकेतूंची उच्चे गुरुच्या कक्षेला जवळ आहेत. दोन तीन धूमकेतूंची उच्चे, शनीच्या कक्षेला जवळ आहेत. इसवी सन १९१० मध्ये जो हॉलेचा प्रचंड धूमकेतु येऊन गेला, त्याचे उच्च इंन्द्रकक्षेला जवळ असल्यामुळे, त्याला प्रायः इन्द्राने पूर्व युगांत धरून दिले असावें.

·प्र. १२. ले. ७६] (६०) [शंकुच्छिन्नकक्षेतील वेग. कांहीं धूमकेतूंची उच्चे हालेच्या उच्चापेक्षाही बरीच दूर आहेत. अशा धूमकेतूंना धरून देणारा एकादा बलाढ्य ग्रह इन्द्रकक्षेच्याही पलीकडे आहे की काय, या प्रश्नाचा विचार कांहीं पटाईत ज्योतिर्विदांनी चाल- विला आहे. परंतु त्यांच्या प्रयत्नाला अद्यापि यावे तसे यश आलेले नाही. हल्ली जे धुमकेतु सूर्याभोंवतीं दीर्घ वर्तुलाकार कक्षेत फिरत आहेत, ते ग्रहांनी धरून दिलेले असावेत, या कल्पनेस साधक असें बलवत्तर प्रमाण असें आहे की, क्रांतिवृत्ताच्या पातळीशी ज्यांच्या कक्षांच्या पातळ्यांचे तिर्यक्त्व २० अंशांपेक्षा जास्त नाही, असे धूमकेतु मात्र सूर्याभोंवतीं दीर्घ वर्तुळांत फिरत आहेत. सूर्याकडे जाण्याच्या धूमकेतूच्या वेगामध्ये फरक पाडणारे, ग्रहांचे आकर्षण किंवा सामर्थ्य, ग्रह व धूमकेतु यांच्या कक्षांच्या पातळ्यांच्या मधील कोनाच्या, म्हणजे तिर्यक्त्वाच्या कोटीज्येवर आणि त्यांच्यामधील अंतराच्या वर्गाच्या व्युत्क्रमावर, अवलंबून असते ही गोष्ट ले. २२ वरून दिसून येते. DAB तिर्यक्त्व जसजसे वाढते तसतशी त्याची कोटिज्या कमी कमी होत जाते. म्हणून ग्रहाचे पूर्वोक्त सामर्थ्य कोटिज्ये- प्रमाणे कमी कमी होत जाणे साहजिक आहे. यांवरून असे सिद्ध होतें की, २० अंशापेक्षा जास्त कक्षातिर्यक्त्व असणा-या धूमकेतूंना, गुलाम कर- ण्याचे सामर्थ कोणत्याही ग्रहांत नाही. यांवरून आणखी असेंही दिसून येते की, सूर्यकक्षेची पातळी, क्रांतिवृत्ताच्या पातळीहून फारशी भिन्न नसावी. यामुळे सूर्यकक्षेच्या सूर्यस्थानीय स्पर्शरेषेच्या दिशेत, किंवा दिशेच्या जवळ भ्रमण करणारे धूमकेतु मात्र, ग्रहांच्या तावडीत सांपडतात. परंतु या रेषांच्या लंब पातळीत दूर असणारे धूमकेतु ग्रहांना दाद न देतां, सूर्याला फक्त एकदां सलामी देऊन चालते होतात. एकदा एक धूमकेतु गुरूच्या फार जवळ आल्यामुळे उभयतांची झटापट झाली. तीत धूमकेतु गुरूभोवती २।३ प्रदक्षिणा करून निसटून गेला. सुमारे २०० धूमकेतूंच्या कक्षेतील नीचें, कक्षा- तिर्यक्त्वें, कक्षासंपातस्थाने इत्यादि महत्त्वाच्या गोष्टींचे गणित करून आम्ही एक यादी तयार केली आहे. यांपैकी १०० धूमकेतूंची गति अनुलोम आहे आणि बाकीच्यांची विलोम आहे. येवढ्यावरूनच, ते सूर्य संस्थेच्या बाहे- रचे रहिवाशी असावें, हे मत बरेंच संभवनीय दिसते. उल्का व धूमकेतु यांचा निकट संबंध आहे, असें बहुतेक सिद्ध झाले आहे. अशनींतील द्रव्याच्या पृथक्करणावरून, सर्व ब्रह्मांडांतील द्रव्यांचे घटक बहुतेक एकच आहेत असे दिसून येते.

·प्र. १३. ले. ७७-७८ ] (६१) [वेधावरून कक्षेचा निर्णय. P ७७ ) कोणीय वेग-आकृति १९ वी पहा. ग्रह Q बिंदूकडे जातांना, तो S या सूर्याभोंवतीं PSQ येव्हढा कोन करितो. या कोनाला, त्याचा कोणीय वेग, म्हणजे ज्योतिषभाषेत त्याची मंदस्पष्टगति असें म्हणतात. केप्लरच्या नियमाप्रमाणे दररोजच्या PSQ त्रिकोणांचे क्षेत्रफल समान असते. तथापि कोन PSQ नित्य निराळा असतो इतकेच नव्हे तर प्रतिक्षणी त्याचे मान निराळे होत असतें 'प्रतिक्षणं सा न समा' असें भास्कराचार्यांनी जे म्हटले आहे ते खरे आहे. म्हणून | बिंदू P ला अत्यंत समीप असतांनां PSQ कोनाचें जें मान असेल, त्यालाच कोणीय वेग ( angular velocity ) म्हणतात. QT/SQ ही PSQ कोनाची भुजज्या आहे. ९ बिंदु P च्या समीप जाईल तसतशी QT रेषा घटत जाते. आणि SQ रेषा वाढत शेवटी ती SP येव्हढी होते. म्हणून संहितावस्थेतील कोना- लाच कोणीय वेग म्हणणे बरें. या कोनाला W ही संज्ञा देऊ. तर संहितदशेत- QT Sin W= यांच्या अंशच्छेदांनां SP ने गुणून QTSP Sin W= SP ; परंतु SP . QT = 2 ( लेख ६०) h .. Sin W Sp' ; FIT h = Sin W.SP? SP; - प्रकरण १३ वें. वेधावरून कक्षेचा निर्णय. (७८) सूर्याचे आकर्षण अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणांत बद- लतें असें प्रकरण ११ वें यांत सिद्ध झालेले आहे. त्याचे मूलमान (u) याचीहि सूक्ष्म किंमत पृथ्वीच्या प्रदक्षिणाकालावरून ठरलेली आहे (लेख ३७ पहा). आतां सूर्यापासून SP या अंतरावर, या अंतराशी SPR हा स्पार्शिक- कोन करून, PSQ या दैनिक कोणीय वेगाने पुढे जाणारा असा एकादा नूतनग्रह, अथवा धूमकेतु आढळून येईल तर, त्याच्या कक्षेचा आकार, ·प्र. १३. ले. ७९] (६२) [ वधोवरून कक्षेचा निर्णय. P 0 या उच्चाचें स्थान, आणि प्रदक्षिणाकाल, या गोष्टींचा निर्णय कसा करतां येतो तें सांगतो. (आकृति १९ वी पहा). यांत SQ रेघ काढिली आहे असे समजा. असे समजा की, S या सूर्यावरून पहाणारास, ग्रह, रेवतीतान्यापासून LOSP इतक्या कोनावर कोणा एका क्षणी दिसत आहे. आणि पुढे लिहिलेल्या तद्विषयक ज्ञात गोष्टींवरून ज्ञेय गोष्टी ठरविण्याचे आहे. ज्ञातगोष्टी=ZOSP (कोण) LSPR ( कोण ). SP रेषा; PR रेषा; D दा S AQR = SP2 QR, SP समांतर रेषा QT लंब आकृति १९ = PR Sin SPR. ज्ञेयगोष्टी=OSD उच्चभोग; AC=मध्यमांतर,CS केन्द्रच्युति,व प्रदक्षिणाकाल. (७९) वरील ज्ञात गोष्टींवरून सिद्ध होणाऱ्या शंकच्छिन्नाकृति कक्षेला PR ही वेगदर्शक रेषा, तिची स्पर्शरेषा, असली पाहिजे. PR रेषा, मागे M पर्यंत वाढवून MPH कोन RPS कोनाएवढा करून PH रेषा काढली तर शंकुच्छिन्नाच्या धर्माप्रमाणे, H हा दुसरा फोकस, PH रेत कोठे तरी असला पाहिजे. म्हणून पहिल्यानें PH रेषेची लांबी ठरविली पाहिजे. SPH कोन =(१८०-3SPR कोन) हा माहीत होतो आणि SK रेषा PH रेषेवर लंब आहे म्हणून ( PK पाया = SP Cos SPH ) हाही माहीत होतो. विवरणाच्या सोयीसाठी PH रेषेची लांबी माहीत झाली आहे असे गृहीत धरून SP + PH येवढ्या दोऱ्याने A.PBD ही दीर्घ वर्तुलावर कक्षा काढिली आहे. ASCHD हा तिचा महाव्यास आहे. AC महाव्यासार्ध आहे. BC लघुव्यासार्ध आहे. CS=CH केंद्रच्युति. ही माहीत आहेत अशी कल्पना करूं.

·प्र. १३. ले. ८०-८१] (६३) [ वेधावरून कक्षेचा निर्णय, (८०) सिद्धताः- SPH या त्रिकोणांत 4 CH = SH = SP + PHP-3 KP.PH (युक्ति.२.१३.) पुनः 4 CH *=4 BH---4 BC (यु. बु. १ सि. ४७) परंतु 2 BH = AC= SP + PH ( दी. व. ध.) म्हणून 4 BH=( SP + PH ) आणि 4 BC° = ( 2 BC ) = 2 ACL (ले. ६३) FEUER 4 CHʻ=( SP+PH)2 ACL =( SP+PH)-L ( SP+PH) =(SP + PH+ASP.PH)--L(SP+ PH) ही 4 CH' ची किंमत पहिल्या ओळींतील 4 CH च्या किंमतीएवढी असली पाहिजे. म्हणून यांचे समीकरण मांडण्यास हरकत नाही. यांच्या दुसन्या पक्षांत SP + PH* हीं पदें साधारण आहेत. ती बाद करून, --2KP.PH = ASP.PH-L(SP+ PH) .:. L(SP+ PH) (2SP+2 KP )PH या समीकरणापासून PH ची किंमत काढण्यासाठी एकाक्षरी संज्ञांचा उपयोग केला तर गणित सोपें होते म्हणून SP = a; PH = x व KP = b: असें मानून वरील समीकर- णाचे रूपांतर L (a + x) (a + b) x असें होतें या पासून यांत पूर्वीच्या किंमती 2(a + b)-L L (SP) मांडून PH -: असे होते 2(SP + KP)-L (८१) वरील PH च्या समीकरणांत L या ऋज्वीची किंमत माहीत नाही. ती पुढील समीकरणाच्या साहाय्याने आणून, ती यथा- स्थानी मांडून समीकरण सोडविलें म्हणजे PH याची लांबी सिद्ध होते. (ले. ८९ पहा ). 2hu ले. ६९ समीकरण (१) = Sin W.Sp3B ले. ७७ •00029584; ले. ३७ La - wam - L = h ·प्र. १३. ले. ८२-८३] (६४) [ वेधावरून कक्षेचा निर्णय. . 2 1 •. % 3D %3D QT L (८२) मागें QR/QTE = 1 | L हैं, ले. ६३, ६४ यांत आकृतिपरत्वे सिद्ध करून, L या ऋज्वीचें अचलत्व सिद्ध केले आहे. आणि तिची किंमतही आकृतिपरत्वें निरनिराळी असते. म्हणजे L ची किंमत आकृतिनिर्णयोत्तर समजते, असें कल्पिलें आहे. परंतु ग्रहाच्या वेधावरून अज्ञात कक्षाकृतीचा निर्णय करावयाचा असतो, म्हणून आकृति- निर्णयाशिवाय L चे स्थैर्य व तिची किंमत सिद्ध करण्याचा प्रकार पुढे दाखविला आहे. प्रकरण ९ वें. लेख ३६, ३७ यांतील समीकरणे पहा. F. SP = 22. QR/QT = u = स्थिरांक F.SP?; 3TITUT F = 2QR ; संहितदशेत. = 2QR. SP आणि 1 = SP2. QT ले. ६० समी. (b QR ले. ६३. ६४. 22 योत ulh" ही बाजू स्थिर आहे म्हणून QR/QT" ही बाजूही स्थिर असली पाहिजे. आतां L ची किंमत काढणे. ( आकृति १९). QT2 PR2 . Sin SPR ; संहिदशेत; आणि QR 2 SP2 PR.Sin- SPR.SP : ::. LQT/QR = (८३) आकृतीचा नियमितपणा-आकर्षणे उत्पन्न होणाऱ्या आकृतीचे ठायीं, नियमितपणा येण्याला दोन अटी असल्या पाहिजेत. १ ली, आकर्षणाचा रोख आकर्षकाकडे असणे. व २ री, आकृष्यमाण आणि आकर्षक यांच्या मधील अंतरावर, आकर्षण अवलंबून असणे. म्हणजे आकर्षण व अंतर यांचा नित्य व नियमितसंबंध असला पाहिजे. अथवा परमाणुगणित भाषेप्रमाणे आकर्षण अंतराचे फलित (function) असलें पाहिजे. परमाणुगणित पद्धतीने हा संबंध a = f ( R ) असा दाख- विला जातो. हा संबंध अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणांत असो किंवा सरळ प्रमाणांत असो, किंवा अंतराच्या सरळ घन प्रमाणांत असो, अथवा पंचधातप्रमाणांत असो, किंवा दुसऱ्या काही तरी प्रमाणांत असो, पण संबंध असणे ही मुख्य गोष्ट आहे. 3- ·प्र. १३. ले. ८४] (६५) [ वेधावरून कक्षेचा निर्णय, F. SP2 Dh 2QR : या समीकरणांत, ले. ६० (d ) प्रमाणे QT2 F = 2 Q R आहे आणि b = SP . QT आहे. यांत कक्षाकृति व आकर्षकाचे स्थान, यांस अनुसरून दुसऱ्या पक्षाचे जें रूपांतर होतें, त्यांतील स्थिरावयवास u म्हणतात. अर्थात् त्यांतील चर अवयवानुसार आकर्षण F बदललेच पाहिजे. ले. ९८. पहा. वरील साधारण समीकरणांत पूर्वोक्त पहिली अट मोडिली तर रोजचे क्षेत्र h, चल होऊन कक्षाक्षेत्र अनियत होते. दुसरी अट मोडिली तर कक्षेचा आकार अनियत होतो. या दोनही अटी मोडल्या तर अंधारांत कोलीत फिरविल्यापासून जी अनियत कक्षाकृति दृष्टीस पडते तशा प्रकारच्या गणितबाह्य ग्रहकक्षा होतील. इतर ग्रहांच्या आकर्षणामुळे पूर्वोक्त दोनही अटी अत्यल्प अंशाने मोडल्या जातात. त्यामुळे ग्रह काटेकोर दीर्घ वर्तुलांत कधीही फिरूं शकत नाहीत. म्हणून गणिताच्या सोयीसाठी एक मध्यम कक्षा व तिचे मूलांक कल्पिले असतात. या मूलांकावरून येणान्या दीर्घवर्तुीय स्थानाच्या वर, खाली, डावीकडे, उजवीकडे, कोठे तरी जवळ ग्रह हिसके खात असतो. यावरून, इतर ग्रहांचे आकर्षण म्हणजे एक प्रकारची पीडाच आहे. म्हणून या त्यांच्या परस्पराकर्षणाला परिपीडन ( Perturbation ) हे नांव आम्ही योजिले आहे. परिपीडनाचे गणिताचे नियम, आकर्षणाच्या नियमाला अनुसरून असले तरी, आकृष्ट व आकर्षक यामधील अंतरें व दिशा फारच त्वरेनें बदलत असतात, यांमुळे आकर्षणाची ईयत्ता व दिशा ठरविणे महाप्रयासाचे काम होऊन बसते. असो. विश्वकाने आकर्षणशक्तीमध्ये या दोन अटीचा अभिनिवेश केला नसता तर ग्रह सूर्याला सोडून कोणीकडे भरकटले असते याचा त्यालाच थांग लागला नसता. म्हणून तो महागणिती व दूरदर्शी असला पाहिजे. (८४) आकर्षण व प्रकाश यांचे साधर्म्य-एक शंक्वाकृति प्रका- शाचा झोत, एका दिव्यापासून निघाला आहे असे समजा, तर दिव्यापासून एकेक फूट अंतरावर त्याचें जें वर्तुलाकार तळ असते, त्याच्यापेक्षा क्षेत्राने चौपट मोठे तळ २ फूट अंतरावर असतें, ९ पट मोठे तळ, ३ फूट अंतरा- ·प्र. १३. ले. ८५-८६ ] [वेवावरून कक्षे या निर्णय P वर असते. याप्रमाणे अंतराच्या वर्गाच्या सम प्रमाणांत वर्तुलाकार तळाचे क्षेत्रफळ वाढत जाते. परंतु झोतांतील प्रकाशाचे परिमाण कायम असल्या- मुळे तो चौपट, ९ पट, १६ पट, क्षेत्रावर वाटला जातो. म्हणून त्याची तीव्रता है, ३, हे म्हणजे अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणांत कमी होत जाते. याचप्रमाणे आकर्षण हे प्रकाशाप्रमाणेच, एकाच बिंदूपासून निघ- णान्या अत्यंत बारीक अशा तंतचा झोत आहे, अशी कल्पना केली तर तंतू अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणांत विरल होत गेल्यामुळे तज्जन्य आकर्षणही त्याच प्रमाणांत विरल होत जाणे स्वाभाविक आहे. (८५) कक्षेचा आकार-ले. ८० याच्या शेवटी, सिद्ध केलेल्या समीकरणांत त्या त्या राशीच्या किंमती मांडून समीकरण सोडविलें म्हणजे ग्रहापासून PH हे उच्चसंन्निध फोकसापर्यंत अंतर निघेल. सदर समी- करणाच्या दुसऱ्या पक्षाच्या छेदांतील . ( OP+ KP ) यापेक्षां L लहान असेल तर PH चे चिन्ह धन होईल; म्हणजे SP, PH या रेषा M.PR स्पर्शरेषेच्या धनबाजूकडे म्हणजे जिकडे आकर्षक S आहे त्या बाजूकडे पडतील, म्हणून अशा प्रसंगी कक्षेचा आकार दीर्घ वर्तुल असला पाहिजे. 2 (SP + KP ) एवढीच जर L ही ऋज्वी असेल तर च्छेद स्थानी शून्य जाहल्यामुळे PH ची किंमत अनंत (infinite ) होईल, म्हणजे दुसरा फोकस MPP स्पर्शरेषेच्या धन बाजूकडे अनंत अंतरावर असेल. अर्थात् कक्षेचा आकार पॅराबला ( Purabola ) असला पाहिजे. 2 ( SP+ KP) पेक्षां ही मोठी असेल तर, च्छेद ऋण झाल्यामुळे PH ची किंमत ऋण येईल. म्हणजे दुसरा फोकस MP R स्पर्शरेषेच्या ऋण बाजूकडे पडेल. ऋण बाजू म्हणजे कक्षेच्या बाहेरची बाजू, अर्थात् M PR रेषा SP,HP यांच्या मधून जाईल आणि कक्षेचा आकार हैपरबला होईल. (८६) कक्षापरिलेख--कक्षा दीर्घवर्तुलाकार असेल तर SP + PH+SH ( आकृती १९ ) एवढा दोरा घेऊन त्यांची दोन्ही टोकें जुळवून गांठ यावी. गांठ देण्यापासून कमी होणा-या लांबीचा दोरा पूर्वीच जास्त घ्यावा. म्हणजे गांठ दिल्यावर तो दुपदरी केला तर, त्याची लांबी १ (SP + PH+ SH) इतकी भरावी. मग SH इतक्या अंतरावर २ चुका फळीवर बसवून त्याच्या भोवती या गांठ दिलेल्या दोऱ्याचा वेढा घालून दोरा पेन्सिलीच्या टोकानें न निसरेल, असा ताणून धरावा. अशा ताण- ·प्र. १३. ले. ८६] (६७) [वेधावरून कक्षेचा निर्णय. लेल्या स्थितीत पेन्सिलीचें टोंक या चुकाभोवती फिरवावें, म्हणजे कक्षेच्या आकाराचे दीर्घ वर्तुल निघेल. हैपरबलेचा परिलेख--( आकृति १७ अ पहा ) हैपरबलेंत BA अक्षापेक्षां HS ही केन्द्रच्युति मोठी असते. उदाहरणार्थ-अक्ष १० असेल तर केन्द्रच्युति १२ असते. छत्रीची, एका टोकाला भोंक असलेली एक पोलादी सळई घेऊन, तिच्या भोंक नसलेल्या टोकाला, एक दोरा बांधावा. आणि या दोन्याच्या दुस-या टोकाला एक फांस करावा. सळईला दोरा लावून धरला तर सळईचे भोंक आणि दोन्याच्या फांसाचे टोंक यांमध्ये BA अक्षा एवढे अंतर राहील इतका तो दोरा लांब असावा. म्हणजे ( सळई -दोरा ) = अक्ष BA = ( HP-PS ) असें असावें. मग एका फळीवर, केन्द्रच्युति एवढ्या अंतरावर H व S हे दोन बारीक मोळे बसवून त्यापैकी H मोळ्याभोंवतीं सळईचे भोंक बसवावें, आणि दोन्याचा फांस दुसन्या 8 मोळ्या भोवती बसवावा. मग एक पेन्सील घेऊन तिचे टोंक सळईला लागलेले राहील अशा प्रकारे तिच्या योगानें तो दोरा ताणून धरावा व अशा ताणलेल्या स्थितीत H टोंकाभोंवतीं सळई हळूहळू फिरवावी म्हणजे पेन्सिलिच्या टोंकानें इष्ट हैपराबला आकृती निघेल. सळई 3 मोळ्याला लावून दोरा ताणला तर जेथें पेन्सिलीचे टोंक राहते, तो हैपरबलेचा A शिरोबिंदू जाणावा. H मोळ्याभोंवतीं फांस व S मोळ्याभोंवतीं सळईचे भोंक बसवून, पूर्वीप्रमाणे दोरा ताणून धरून जी आकृति निघते ती हैपराबलेची दुसरी शाखा होते. B हा दुसन्या शाखेचा शिरोबिंदू होतो. आणि H हा दुस-या शाखेचा फोकस होतो. सूर्यामध्ये आकर्षणाबद्दल, उत्सारण शक्ति असती तर धूमकेतू हैपरबलेच्या दुसऱ्या शाखेत फिरले असते. कक्षा पराबलाकार असेल तर, (आकृति २० पाहा) पूर्वीप्रमाणे सळई न घेतां EDH हा गुण्या घेऊन त्याच्यायोगानें EDH हा काटकोन काढावा. आणि ED रेषेला नियन्त्री ( Directrix ) म्हणावें. त्याच्या एका बाजू इतका म्हणजे HD इतका लांब दोरा घेऊन, त्याचे एक टोंक, गुण्याच्या H टोकाला बांधावें. DS= L करून, या जागी एक चक बसवून तिच्या भोंवतीं दोन्याच्या दुस-या टोंकाचा फांस बसवून द्यावा. मग गुण्या EDH या स्थितीत असतांना A या पेन्सिलीच्या टोकानें तो S ·प्र. १३. ले. ८७-८८] (६८) [ वेधावरून कक्षेचा निर्णय. तो M D A 8 ताणावा. म्हणजे DA= AS होईल आणि 4 हा पराबलेचा शिरोबिंदू होईल. मग गुण्या असा हळूहळू वर सरकवावा की, त्याची DE बाजू DE या नीयन्त्रीला लागली राहील, आणि पेन्सिलीचे टोंक असे ताणून धरावें की दोरा गुण्याच्या दुसऱ्या DH या बाजूला लागून राहील. असें केलें असतां पराबलेची आकृति निघते. ( आकृति २० पहा.) (८७) आकृतीच्या अटी- दीर्धवर्तुलांत PH+ SP ही बेरीज अचल असते. हैपरबलेंत PH-SP ही वजाबाकी अचल असते. आणि पराबलेंत PH रेषा A H या व्यासाला (आकृति २०) समांतर असून तिची लांबी अनंत असते. पराबला ही हैपरबला व दीर्घवर्तुळ यांच्या मधील सीमा आहे. म्हणून हिच्यांत या दोन्ही आकृतीचे गुण वास करितात. :. पराबलेंत, अनंत + SP = अनंत अचल. (८८) कक्षानिर्णयाचे सांख्य उदाहरण.- एथपर्यंत गोलद्दय- प्रश्नविमर्श या अभीष्ट विषयाचे विवेचन झालें. परंतु हे सर्व विवेचन प्रायः सांकेतिक अक्षरांनी केले असल्यामुळे, वाचकांनां त्यापासून खरा आनंद वाटणार नाही. म्हणून पूर्वसिद्ध सूत्रांतील, सांकेतिक अक्षरांबद्दल तद्दर्शित संख्यांचा उपयोग करून, एक उदाहरण सोडवून दाखवितो. वेध लब्ध अंकाबद्दल आमच्या मराठी ग्रहगणितांतील मंगळाच्या उदाहरणांतील अंक घेऊ. पान २१ यांतील मंगळांचे रविमध्यगणित पहा. उदाहरण-मंगळाच्या वेधावरून ता. २ ज्यानेवारी इ. स. १९०७ पारिसचे दोन प्रहर (मध्यम ) या वेळची मंगळाच्या कक्षेसंबंधीं खाकी दर्शविलेली मानें उपलब्ध झाली आहेत, असे समजून, त्याच्या साहाय्याने मंगळाच्या नीच स्थानाचा भोग, त्याच्या कक्षेची केन्द्रच्युति, त्याचें सूर्या- पासून मध्यमांतर, आणि प्रदक्षिणाकालाचे दिवस, या गोष्टी सिद्ध करा. ( आकृति २१ पहा ). वेधसिद्ध राशि. १. मंगळाचा निरयण रविमध्य स्पष्ट भोग विक्षेपवृत्तावर OSP कोन... १६५ ३०.० २. दिनगति ( संहितदर्शत) W%3D/PSQ... २७.१ ·प्र. १३. ले. ८९] (६९) [ वेधावरून कक्षेचा निर्णय. ... ... ... ... h 212 ३. मंदकर्ण व स्पर्शरेषा यांच्या मधील कोण ZSPR ५१.० ४. सूर्यापासून मंगळापर्यंत सरळरेषा- रुप अंतर-मंदकर्ण (SP). १.६३७४. (८९) प्रथम ८१ लेखांतील समीकरणापासून ते व L यांची मानें काढावी. h Sin W. SP आहे. घातांक Sinw = Sin २७.१ ७.८९६६६ SPP = (१.६३७४)... ०.४२८३१ = . ०२११३४,द्विगुण दैनंदिन क्षेत्र, बेरीज ८.३२४९७ नंतर 2 = 2h | u आहे. = ( .०२११३४) ६.६४९९४ .३०१०३ बेरीज, ६.९५०९७ = . ०००२९५८४ ६.४७१०५ L ३.०१९४ बाकी ०.४७९९२ या नंतर PK = SP Cos (१८०°- २SPR) लेख ७८, या सूत्रापासून PK चे मान आणलें म्हणजे, PF चे मान ठरवितां येते. (१८०°- २ SPR) = (१८०°- १७३०,४२') = ६°। १८ घातांक SP १.६३७४ ०.२१४१५ COS ६°।१८ ९.९९७३७ PK = १.६२७५ बेरीज ०.२११५२ आतां वर आणलेली मानें खालील समीकरणांत ठेवून ते सोडविलें म्हणजे PH हे दुसऱ्या फोकसाचे अंतर निघतें. L.SP ३.०१९४४१.६३७४ PH 2(SP+ KP)-L ३.५१०४ = १.४०८४; % 3D ऋज्बी, - %3- % 3D ·प्र. १३. ले. ९० ] (७०) [वेधावरून कक्षेचा निर्णय. ... ... R (रेवती घातांक L = ३.०१९४ ०.४७९९२ SP १.६३७४ ०.२१४१५ LSP बेरीज ०.६९४०७ २( SP+ PK)--L= ३.५१०४ ०.५४५३५ PH = १.४०८४ बाकी ०.१४८७२ (९०). ( आकृति २१ पहा ). आतां SPH त्रिकोणाच्या SP, PH या दोन बाजू आणि त्यांच्या- मधील कोन SPH, यांची मानें सिद्ध झाली आहेत. यापासून त्रिकोणमितीने बाकीचे अज्ञात B BPT ZPSH, ZPHS Sta कोन आणि तिसरी बाजू SH यांची माने ठरवितां येतात. प्रस्तुत प्रसंगी पुढील त्रिकोणमितीच्या सूत्राचा आकृति. २१. उपयोग केला पाहिजे. जशी त्रिकोणाच्या दोन बाजूची बेरीज, त्याच दोन बाजूच्या वजाबाकीस होते, तशी त्यांच्या समोरील कोनाच्या ऐक्यार्धाची स्पर्शरेषा त्याच कोनाच्या वजाबाकीच्या अर्धाच्या स्पर्शरेषेस होते. म्हणजे- (SP+PH ) tan (ZPHS+LPSH) (SP - PH) tani (ZPHS-2PSH) याप्रमाणे अव्यक्त दोन कोनांच्या वजाबाकीचे अर्ध निघते. व्यक्त SPH कोन १८० अंशतून वजा केला तर, बाकी अव्यक्त दोन कोनांची बेरीज राहते. तिसऱ्या अव्यक्त SH बाजूचे मान, व्यक्त झालेल्या दोन कोनांपैकी, कोणताही एक कोन, आणि त्याच्या समोरील बाजू, यांच्या गुणोत्तरापासून निघते. ३ ( १८००-६०.१८ ) = ८६°-५१ हे अव्यक्त दोन कोनांच्या बेरजेचे अर्ध जाहलें. ::

·प्र. १३. ले. ९१] (७१) [ वेधावरून कक्षेचा निर्णय %3 घातांक ( १.६३७४-१.४०८४) = ०.२२९०. ९.३५९८३ tan ८६०,५१ ११.२५९३७ बेरीज २०.६१९२० (१.६३७४ + १.४०८४) ३.०४५८. १०.४८३७० tan ५३०.४८ बाकी १०.१३५५० :. कोन PSH= ( ८६०,५१-५३०,४८) ::. कोन PHS= ( ८६,५१ + ५३०,४८) १४००,३९ आतां SH या दोन फोकसांमधील अंतर काढिले पाहिजे. ते पुढील त्रैराशिकाने निघतें. Sin PSH: Sin SPH :: PH: SH. घातांक Sin SPH (६१८) ९.०४०३४ PH = १.४०८४ ०.१४८७२ बेरीज ९.१८९०६ Sin PSH = Sin ३३,३ ९.७३६६९ SH = ०.२८३४ बाकी ९.४५२३७ (९१) याप्रमाणे PSH या त्रिकोणाचे ६ ही अवयव व्यक्त जाहले आहेत. आता त्यांचा उपयोग कसा करावयाचा ते सांगतो. OSP - PSH = ( १६५०-३३०.० ) = १३२०,५ हा मंगळा- च्या कक्षेचा उच्चबिंदूचा भोग झाला. यांत १८०° मिळविल्याने ३१२०.५ हा नीच स्थानाचा SP + PH = (१.६३७४ + १.४०८४) = ३.०४५८ हा बृहदक्ष झाला. याने दोन फोकसांतील अंतर SH = ·२८३४ याला भागून, भागाकार ०.०९३० ही कक्षेची केन्द्रच्युति ३.०४५८ याचे अर्ध १.५२२९ हे त्याचे मध्यमांतर झाले. क्लेपरच्या तिसऱ्या नियमाप्रमाणे, पृथ्वीच्या वर्षमानांवरून मंगळाचा प्रदक्षिणा काल काढितां येतो. ( लेख ७० वा समी. C पहा. ) यांतील सचिन्ह माने मंगळाची व चिन्ह नसलेली पृथ्वीची समजू. तर p AC,x P2 .:. P AC3 AC3 .... भोग झाला. झाली. बृहदक्ष P2 AC3 ·प्र. ११. ले. ९२-९३] (७२) [ पतनावरून कक्षानिर्णय. P. D - (१.५२२९) ४ (३६५.२५६३)२ १ = ६८४.४५७ दिवस. प्रकरण १४ वें. पतनावरून कक्षानिर्णय. ( ९२ ) मागील प्रकरणांत L ऋज्वीच्या मदतीने ग्रहापासून उच्च संनिधवर्ति फोकसापर्यंत असणारें अंतर PH आणून कक्षानिर्णय केला आहे. येथे ग्रहाच्या रेखीय वेगोत्पादक, (S) या पतनाच्या मदतीने तेच काम केले आहे. वेगोत्पादक पतन म्हणजे, P स्थानीय सूर्याचे आकर्षण, एक दिवस अविकारी कल्पून त्या आकर्षणामुळे ग्रहाच्या अंगांत P स्थानीय वेग उत्पन्न होण्याला, त्याला सूर्याकडे PS दिशेने किती लांब जावे लागले असते, ते अंतर. लेख २७ यांत, धबधब्याच्या कड्या- वरून सोडलेल्या दगडाच्या अंगांत, पृथ्वीच्या पृष्ठभागाजवळ अचल मानले- ल्या पृथ्वीच्या आकर्षणामुळे, दर सेकंदांत १४० फूट वेग उत्पन्न होण्यास, जसें त्याला कड्याखाली ९०० फूट उतरावे लागते, त्याप्रमाणेच तेथें ग्रहरूपी पाषाणाचें सूर्याकडे पतन होते, असे समजावें. वेधावरून रेखीय वेग कळत नाही. कोणीय वेग मात्र पाहिजे तितका सूक्ष्म ठरवितां येतो म्हणून प्रथम W या कोणीय वेगावरून, V रेखीय वेग ठरविण्याचे समी- करण खाली सिद्ध केले आहे. (९३) आकृति १६ पहा. संहितावस्थेत PQ हा रेखीय वेग असतो. व PSQ = W हा कोणीय वेग असतो. लेख ७७. त्रिकोण मिती प्रमाणे:- PQ = QT Cusec SPR ; दोन्ही पक्षांस SP में भागून PQ QT Cosec SPR; gia QT = Sin W; SP V=PQ = SP Sin W. Cosec SPR...... (1) नंतर V आणि S यांचा संबंध पुढे लिहिल्याप्रमाणे काढितां येतो. SP SP ·प्र. १४. ले. ९४-९५] (७३) [ पतनावरून कक्षानिर्णय. S लेख ७३ समीकरण (४ यांत F = ; आहे. ( लेख ३७ ) म्हणून; SP SP Sev3. 2 H B हे रेखीय वेगोत्पादक पतनाचे समीकरण झालें........) (९४) कृत्यः-आतां या वेगोत्पादक अधःपतनाच्या साहाय्याने, असें एक दीर्घवर्तुळ सिद्ध करावयाचें की, ज्याचा एक फोकस S या सूर्य- स्थानी असून, ज्याचा परीघ P मधून जाईल; आणि ज्याचें P बिंदूतील वेगोत्पादक पतन पूर्वोक्त वेधलब्ध S या पतनासमान असेल. पुढील २२ व्या आकृतींत S पतन, SP या मंदकर्णापेक्षा कमी आहे असे समजा. (पहा टीप, ले.९५) PS रेषेत S येवढा PK तुकडा पाड,आणि ZPH कोन VPS कोना एवढा कर. PHरेषेत PLD SK कर आणिSKL या तीनहि बिंदूंतून जाणारे SKLH हे वर्तुळ काढ; आणि PL रेषा या वर्तु- ळाला H या बिंदूंत मिळेपर्यंत वाढीव, नंतर S, H, हे फोकस कल्पून, SP+HP येवढाबृहदक्ष घेऊन,लेख८६ यांत सांगितल्याप्रमाणे APB हे दीर्घ- आकृति २२. वर्तुळ काढ.हीच इष्ट ग्रहाची कक्षा होईल. समजा की, विवक्षित ग्रह S सूर्याभोंवतीं BP दिशेने फिरत P स्थानी आला आहे. तर लेख ७३ समीकरण (५) प्रमाणे येणारे P येथील पतन, पूर्वोक्त वेध-लब्ध पतना येवढं असेल तरच, हे दीर्धवर्तुल त्या ग्रहाची कक्षा आहे असे म्हणता येईल. म्हणून तुलनेसाठी लेख ७३ समीकरण (५) प्रमाणे, पतन काढून, ती दोनहि समान आहेत असे दाखविले पाहिजे. (९५) सिद्धता- दीर्घवर्तुलांतील अथवा तदितर कोणत्याही आकृतींतील P स्थानाचे पतन, तेथून फोकसाकडे जाणान्या तात्कालिक वर्तुलाच्या ज्येच्या, चतुर्थांश असते, असें मागें सिद्ध केले आहे. S = PW, लेख ७३ समीकरण (५), म्हणून PW सांतून जाणान्या, तात्कालिक वर्तुलाच्या ज्येच्या, चतुर्थांशांची किंमत या फोक.

·- प्र.१४. ले. ९५] (७४) [ पतनावरून कक्षानिर्णय. काढून, ती वरील आकृत्तींतील PK येवढीच आहे, असे सिद्ध करून दाख- विले पाहिजे. म्हणजे- I PW = PK ही गोष्ट सिद्ध केली पाहिजे. लेख ५७ आकृति १४, यांत PW या फोकसांतून जाणान्या रेषेला PSZ हे नांव दिले आहे. आपण त्याबद्दल येथें PW हेच नांव देऊ. CD PW=2 -; लेख ५७, म्हणून AC' CD ( युग्मव्यासार्थ ) I PW= 2AC बृहदक्ष SP. HP SP+ HP दीर्घवर्तुल धर्माप्रमाणे. या अपूर्णांकाच्या अंशच्छेदांना HP ने भागून SP 1PW= SP (a) 1+ HP वरील आकृति २२ यांत, SKLH हे एक वर्तुल असून, त्याच्या बाहेरच्या P बिंदूपासून त्याला छेडून जाणाऱ्या, PKS व PLH या दोन रेषा काढल्या आहेत. म्हणून युक्लीड पु. ३ सि. ३६ प्रमाणे- SP . PK - HP . PL; ..........(b) SP PL HP PK हे दोनीही अपूर्णीक समान असल्यामुळे, वरील (a) समीकरणांत त्यांची अदलाबदल करण्यास हरकत नाही. SP SP. PK 1PW= - PK. PK+PL PK कारण, PK + PL = SP; म्हणून PW = PK ही इष्ट गोष्ट सिद्ध झाली. टीप-S, हे वेगोत्पादक पतन जेव्हां SP पेक्षा लहान असते, तेव्हां कक्षा दीर्घवर्तुलाकार असते, आणि जेव्हां S= SP असते, तेव्हां कक्षा पराबलाकार असते. आणि जेव्हां तें, SP पेक्षा मोठे असते, तेव्हां कक्षा हैपर- बला असते असे समजावे. पहा लेख ८५ आणि या लेखांतील समीकरण (रे). PL ·प्र. १४. ले. ९६] (७५) [ पतनावरून कक्षानिर्णय. (९६) वेधसमयीं अव्यक्त असलेली कक्षा, याप्रमाणे व्यक्त तिचा अक्ष व अक्षाची आकाशांतील स्थिति, यांचा निर्णय करणारी समीकरणे सिद्ध केली पाहिजेत. आकृति २२ वी पहा. गणितलाघवार्थ तिच्या अवयवासंबंधी पुढील पारि- भाषिक अक्षरें योजिली आहेत. SV, HZ हे, VPZ स्पर्शरेषेवर लंब आहेत. बृहदक्षार्ध लध्वक्षार्ध PL = (1-8). L= ऋज्वी PH = (2a-? -?). केंद्रच्युति SO - रेवती दिग्रेषा. A = SPV कोन. D PK = S. r - SP S) =S.", (ले.९५समीकरण) PL • PH = PK • SP यांत वरील किंमती मांडून- (7 (2a-r) यापासून 2a(r S)- + S •r=S , Par-8)-r= 0. ra 2 (7-8) - ............(8) । SV• HZ = SP. Sin A. HP Sin A: आतां b या लघ्वक्षार्धाचे समीकरण तयार करूं. -/ST. -/ (दी. व. धर्म) = / SP• #P • Sin A; VSP . HP याचे रूपांतर करण्यासाठी थोडा संचार केला पाहिजे. वरील समीकरण PL. HP = PK • SP, यांच्या प्रत्येक पक्षाला SP ने गुणून. PL. HP. SP = PK SP. S.92 HP.S.P PK.Sp PL - (7 - 8) ·प्र.१४. ले. ९७] (७६) [ पतनावरून कक्षानिर्णय. - Vs.ru V(r-S) % 3D - ga - . Sogo - - % ... .: । (2.S) Sin A • Sin A (4) (r-S) 26 2r.S 2(7-8) L SinA a (7 S) 22 = 4.S.SinA (5) PK.S.P HP (6) PL (?-S) 1 (7) ar आतां AB या नीचोच्च रेषेची. म्हणजे बृहदक्षाची, आकाशांत रेवती संबंधाने स्थिति ( Position) समजण्यासाठी, PSH कोनाचें, मंद- केंद्र दर्शन कोनाचें, मान ठरविले पाहिजे. आकृति २२ वी येथे SM रेषा VZ या स्पर्शरेषेला समांतर काढून, ZH लंब वाढविला तर तो SM रेषेला M या बिंदूंत छेदितो असे समजा. अर्थात् VSMZ हा काटकोन चौकोन आहे. SM Sin 2 HSV = cos 2 HSM SH SM (SP+ PH) cos. SPV SH e.2 AC Yig ( SP + PH ) = 2 AC (SP + PH) cos SPV e/SP + PH) % 3D .. 1 e Sin HST = cos SPV = cos A.........(8) याप्रमाणे HSV कोनाचे मान कळल्यानंतर, याच्या मदतीने PSB कोन, म्हणजे उच्चकेंद्र, आणि OSB कोन, म्हणजे उच्चस्थानाचा भोग, हे पुढील समीकरणांपासून आणावे. उच्चकेंद्र ZPSBDZHSV - ( 90 - A )............(9) उच्चभोग ZOSB = ZOSP-ZPSB............( 10 ) विशेष-या कक्षानिर्णयांत त्रिकोणमितिगणिताचे श्रम वांचतात. (९७) उदाहरण-मामील प्रकरण लेख ८८, यांतील वेधसिद्ध- राशि घेऊन, वरील दहा अवयवांच्या सांख्य किंमती आणून दाखवितों, ·- प्र. १४. ले. ९७ (७७) [पतनावरून कक्षानिर्णय. mms प्रथम समी ( १ ) ले० ९३ प्रमाणे, " या रेखीय वेगाचें मान आणू. घातांक SP १.६३७४ ०.२१४१५ Sin W = Sin २७.१ Cosec SPRE = Cosec ८६०५१ १०.०००६६ बेरीज ८.१११४७ विशेष पहा.-ही किंमत ७४ लेखांतील किमतीशी तंतोतंत जुळतें नंतर समी. (२), ले. ९३, प्रमाणे S ची किंमत आणतां येते. घातांक Va ६.२२२९४ SP ०.४२८३१ बेरीज बे. ६.६५१२५ = .०००२९५८४ ६.४७१०५ वजाबाकी बा. ०.१८०२० २ ०.३०१०३ S = .७५७१३ = PK ... बा. ९.८१९१७ ... ... ... 4.. - ra (१.६३७४) (३)बृहदक्षार्ध २ (7-8) २(१.६३७४-०७५७१) = १.५२३० ७५७१४१.६३७४२ ) (४) लघ्वक्षार्ध ९९८४९-१.५१६४ (१.६३७४-०.७५७१) (५) ऋज्वी = 4xSxSin A = ३.०२८५ Sin A%D ३.०१९४ (६) HP = ०.७५७१३४१.६३७४ ०.८८०३ = १.४०८४ (७) केंद्रच्युति =V (१-3/a) = -०.०९३० .०५४९५१ (८) Sin Z HSV= 3.५९०८७ = Sin ३६१३ •०९३० (९) उच्चमंदकेंद्र PSR = ( ३६१,१३-३,९') ३३".४ (१०) उच्चभोग = (१६५०,५-३३,१)= १३२.४ (११) नीचभोग = ३१२.४ ·प्र. १५. ले. ९८] (७८) [आकषणाचा दुसरा प्रकार प्रकरण १५ वें. आकर्षक पदार्थ दीर्घवर्तुलाच्या मध्यबिंदूंत असतांना आकर्षणाचा नियम ठरविणें- (९८) आकृति १७ पहा. तेथें SP रेषा आहे ती मुळीच नाही असे समजा व तसेंच QT ही CP रेषेवर लंब आहे आणि डावीकडे खालील ० च्या जागी G आहे असेही समजा. असें कल्पिल्यानंतर VQT, CPF हे सरूप त्रिकोण होतात. A H ran PT.VG CP CD; दी.व.ध.: Ov QT M - - - %3D . CP2 : सरूप त्रिकोण; PFA आकृति १७. यांच्या गुणाकारापासून- PV.VG Cp4 CP4 QTE PF2. CD AQ2 BC2 संहित दशेत-VG= & CP आणि PV=QR म्हणून QR CP+ Cp3 OTO AC2.BC2.2CP PAC. BC ले. ६० यांतील सर्वसाधारण समीकरण (C) घेऊन त्यांत SP बद्दल CP आणि QR/QT" बद्दल वरील किंमत मांडून h CP3 CP AC2. BC AC • BC यांतील स्थिरावयवाला ॥ हे उपलक्षण करून F = u • CP; म्हणून आकर्षण अंतराच्या प्रमाणांत बदलतें हैं सिद्ध. आतां कोणत्याही बिंदूंतील वेगांचें मान काढणे:- ले. ७३ समी- करण (३) VP=F.PW असें आहे. यांत F ची वरील किंमत आणि ले, ५५ यांतील दीर्घ वर्तुलाच्या मध्यबिंदूतून जाणारी ज्या- CP;

·प्र. १५. ले. १९] (७९) [ आकर्षणाचा दुसरा प्रकार. PCX = PW = 2 CD2 CP ही मांडून 2 CD - VE CP. - h AC2. BC . CP CD2 AC . BC MORh CD; अथवा AC. BC V = Vă. CD म्हणून वेग युग्मव्यासार्धाच्या प्रमाणांत असतो. आतां प्रदक्षिणाकाल काढणे:- वरील सिद्धतेंत- आहे. आणि % 3D h AC BCN CD ACBC P D %- % 3D %3- h = NA : CD, म्हणून AC. BC h = AC. BC NH; त्याचप्रमाणे दीर्घवर्तुलाचे क्षेत्रफल = T : AC - BC असें आहे म्हणून प्रदक्षिणाकाल मानिला तर २ क्षेत्रफल AT AC. BC P h AC. BC. VL स्थिरांक. Na (९९) यावरून असे सिद्ध होते की, एकाच बिंदूभोवती काढ- लेल्या अनेक दीर्घवर्तुलकक्षेत फिरणान्या पदार्थाचे प्रदक्षिणाकाल, सारखेच असतात. यावरून विचार करतां सूर्याचे आकर्षण अंतराच्या सरळ प्रमा- णांत असते तर, बुधापासून इन्द्रापर्यंत सर्व ग्रहांचे प्रदक्षिणा काल सारखेच झाले असते. आणि त्यांची परस्परामधील क्रांतिवृत्तावरील अंतरे, (मन्द फलसंबंधी संस्कार सोडून दिला तर) सूर्यावरून पाहणाऱ्यांस, सर्वदा सारखींच दिसली असती. इतकेच नव्हे तर पृथ्वीवरून पहाणाऱ्यांस देखील ती तशीच हा मन्दफलसंस्कार चन्द्राच्या तिथिसंस्कारासारखा असतो. म्हणजे एका मन्द्रकेन्द्राच्या पूर्ण प्रदक्षिणाकालांत त्याची चार वेळां व्हासवृद्धी होते.

·प्र. १५. ले. १०.] (८०) [आंदोलन. दिसली असती. यामुळे ग्रहगणितही बरेंच सोपे झाले असते. अशाप्रसंगी फलज्योतिषांतील दृष्टी, शुभाशुभ फलें इत्यादि गोष्टी कशाप्रकारे वर्तवाव्या लागल्या असत्या त्याचा विचार करणे तज्ज्ञ फलज्योतिषी लोकांचे काम आहे. आकाशांत कांहीं तारे ग्रहाप्रमाणे एकमेकाभोवती फिरत आहेत. त्यांचा आकर्षणाचा नियम पूर्वोक्त अंतराच्या सरळ प्रमाणांत असता तर, मध्यवर्ति तारा त्यांच्या कक्षांच्या मध्य बिंदूंत दिसला असता. परंतु अशी गोष्ट कोठेही निदर्शनास आलेली नाही म्हणून असे म्हणतां येईल की, अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्तप्रमाणाचा आकर्षण नियम सूर्यमालेतच आहे असे नव्हे तर अखिल ब्रह्मांडांतही हा नियम पाळिला जात आहे. (१००) आंदोलन-आंदोलन हे, अशाच प्रकारच्या दीर्घवर्तु- लीय भ्रमणाचा एक विशेष प्रकार आहे, कारण या दोहोंत, आकर्षण अंत- राच्या सरळ प्रमाणांत असणे, व कालाचलत्व, हे दोनही धर्म साधारण आहेत. (पहा ले. ३१ वा. प्रयोग-आंदोलन हे एक रेषारूप दीर्घवर्तुल आहे. याचे दीर्घवर्तु- लीयत्व, पुढील प्रयोगाने दाखवितां येते. एका अभिषेकपात्राला दोरीने बांधून, तिचे दुसरे टोंक तक्तपोशींतील एका मध्यवर्ति लोखंडी कडीला बांधावें. तें असें कीं, अभिषेक पात्र निश्चल असतांना, त्याचे खालचे टोंक जमिनीपासून ५ किंवा ६ इंच वर राहील. अशा स्थितीत त्याला एक हेल- कावा दिला तर, तें अभिषेकपात्र आंदोलनाचे अनुकरण करील; परंतु त्याला हेलकावा देतांना, हेलकाव्याच्या दिशेच्या लंबदिशेत थोडा झोंका यावा, म्हणजे तेच अभिषेक पात्र, दीर्घवर्तुलाकार मार्गाने फिरत राहील. या दीर्घवर्तुलाचे प्रत्यक्ष दर्शन पाहिजे असेल तर, जमिनीवर एक स्वच्छ पांढरें धोतर ताठ पसरून, अभिषेकपात्रांत काळी बारीक वाळू भरावी. म्हणजे वाळवेच्या धारेपासून धोतरावर एक सुंदर दीर्ववर्तुलाचे चित्र उत्पन्न होईल. समाप्त

·No text on this page.

·No text on this page.

·No text on this page.

·No text on this page.

·No text on this page.